(FGV-SP) Dividindo o binômio P(x)=3 x^101+1 pelo binômio D(x)=x^2-1, obtemos como resto o binômio R(x)=a x+b. Determine os coeficientes a e b do binômio R(x).

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio P(x)=3x^101+1 por D(x)=x^2-1 e encontrar o resto R(x)=ax+b. O conteúdo envolvido é o teorema do resto para divisores quadráticos, e vamos precisar usar as raízes de D(x).

Passo 2

Como D(x)=x^2-1 se anula em x=1 e x=-1, o teorema do resto garante que P(1)=R(1) e P(-1)=R(-1).

Passo 3

Calculando P(1) e P(-1):
P(1)=3cdot1^101+1=4
P(-1)=3cdot(-1)^101+1=3cdot(-1)+1=-2
Isso gera o sistema
a+b=4
-!a+b=-2

Passo 4

Resolvendo o sistema
Somando as duas equações: (a+b)+(-a+b)=4+(-2) 2b=2, logo b=1.
Substituindo em a+b=4 obtemos a+1=4, logo a=3.

Resposta

a = 3 e b = 1

Exercícios relacionados