Seu colega implementou um transmissor digital em banda base utilizando pulsos sinc. Ele utilizou um gerador de impulsos polares variando entre -1 e 1 para representar os bits 0 e 1 . Os impulsos são atrasados pelo período de símbolos
e filtrados pelo filtro
abaixo:
Supondo que foram transmitidos os bits 1101, o sinal
de impulsos antes da filtragem é dado por
(a) Apresente um esboço do sinal de impulsos
antes da filtragem.
(b) O sinal transmitido pelo transmissor digital é obtido realizando a filtragem deste sinal
com filtro formatador de pulsos
, ou seja,
. Apresente um esboço deste sinal transmitido
, esboçando cada um dos quatro símbolos transmitidos.
(c) Segundo o critério de Nyquist, esta implementação está correta? Justifique.
(d) Seu colega implementou outro transmissor digital utilizando o mesmo gerador de impulsos
. Porém, ele aplicou um novo filtro formatador de pulsos dado por
Segundo o critério de Nyquist, esta implementação está correta?
(e) Em relação ao uso de largura de banda, este novo filtro
utiliza mais largura de banda que o filtro
?
(b) O sinal transmitido pelo transmissor digital é obtido realizando a filtragem deste sinal
(c) Segundo o critério de Nyquist, esta implementação está correta? Justifique.
(d) Seu colega implementou outro transmissor digital utilizando o mesmo gerador de impulsos
(e) Em relação ao uso de largura de banda, este novo filtro
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (peguei tudo do enunciado):
- Período de símbolo
. - Filtro 1:
. - Filtro 2:
. - Sequência de impulsos (bits
, com polarização ):
- Período de símbolo
-
O enunciado pede:
(a) esboço do sinal de impulsosantes da filtragem;
(b) esboço do sinal transmitido, mostrando cada um dos quatro símbolos;
(c) verificar pelo critério de Nyquist se a implementação comestá correta; justificar;
(d) verificar o mesmo para;
(e) comparar as larguras de banda dee (qual usa mais largura de banda?).
Passo 2
Primeira coisa importante: definir o que se entende por
. Aqui é conveniente usar a definição normalizada muito usada em comunicações:
Com essa definição vale a propriedade útil de zeros em inteiros não nulos:
porque
quando
é inteiro.
Aplicando isso aos filtros:
Observe onde estão os zeros no tempo:
- Para
os zeros (não nulos) ocorrem em para todo inteiro . - Para
os zeros ocorrem em para todo inteiro .
Note que
. Assim
coincide com um zero de
(quando
) e também com um zero de
(quando
, isto é
).
Passo 3
Vou descrever com precisão o esboço (um desenho mental que você pode reproduzir no caderno):
- Há deltas (impulsos de Dirac) somente em quatro instantes:
- em
: amplitude , - em
: amplitude , - em
: amplitude , - em
: amplitude .
- em
Em forma de tabela (útil para o esboço):
Para desenhar: marque no eixo
os pontos
e em cada um desenhe uma seta vertical (impulso) cujo rótulo seja o valor
indicado acima. Pronto — esse é o esboço de
.
Passo 4
Convolução de um trem de deltas com uma forma
é muito simples: cada delta gera uma réplica de
centrada na posição do delta multiplicada pela amplitude do delta. Assim:
onde
. Explicitamente:
Interpretação prática e esboço:
- Cada símbolo transmitido corresponde a uma cópia de
centrada em e com sinal . - Como
, cada pulso tem forma de sinc com pico em (valor ) e zeros em (porque é um ponto nulo da sinc quando é inteiro não nulo). - Portanto, ao desenhar: sobreponha quatro cópias de uma sinc (uma centrada em cada
) com sinais . Cada uma tem pico unitário (ou unitário com sinal) no centro e cruza zero exatamente nos instantes de amostragem dos outros símbolos. - Consequência prática muito útil: no instante de decisão em
, apenas a cópia centrada em contribui (as outras cópias têm valor zero nesse instante). Isso garante ausência de interferência entre símbolos nos instantes de amostragem.
Dica para o esboço no caderno: desenhe a sinc central (pico em 1), depois desenhe a segunda deslocada para a direita com o mesmo formato (pico em
), a terceira invertida (pico em
em
), e a quarta em
. Onde as réplicas se sobrepõem entre amostras haverá soma (podendo cancelar parcialmente), mas nos instantes
só aparece o pico do símbolo correspondente.
Passo 5
Vou usar duas maneiras complementares (tempo e frequência) para justificar:
- Critério no domínio do tempo (forma mais direta aqui): uma condição suficiente e usual para zero ISI é
Calcule:
Para
inteiro temos
. Logo
para
. Isso significa que amostrando
em
não há contribuição dos símbolos vizinhos — isto é exatamente ausência de ISI. Portanto, pelo critério de Nyquist (condição de amostragem no tempo), esta implementação está correta: não haverá ISI.
- Visão em frequência (intuição): para a definição normalizada
a transformada tem suporte retangular e a largura de banda útil (meia-largura) é
Para
obtemos
. A taxa de símbolos é
. A condição mínima (Nyquist mínimo) para transmitir
símbolos sem ISI é
Aqui
. Portanto
tem exatamente a largura de banda mínima necessária (é um caso ideal, “pulsos Nyquist” com largura mínima). Isso confirma a conclusão do tempo: implementação correta e eficiente em largura de banda.
Passo 6
Novamente uso o teste no domínio do tempo (mais simples):
Calcule:
Para todo inteiro
,
é inteiro não nulo, então
. Logo
para
. Isso implica, da mesma maneira que antes, que ao amostrar em
cada símbolo não sofre interferência dos demais — portanto também não há ISI.
Observação comentada (importante para prova / interpretação): embora
tenha largura de banda maior que o mínimo, isso não impede que seja um pulso Nyquist. O requisito de Nyquist é sobre as amostras no tempo (ou sobre uma soma periódica no domínio da frequência), e aqui os zeros no tempo estão alinhados com
, então o critério é satisfeito.
Passo 7
Usando a propriedade da transformada da
normalizada:
- Para
o parâmetro é e a largura total de suporte no domínio da frequência é , portanto a meia-largura (bandwidth) é - Para
o parâmetro é e a meia-largura é
Conclusão:
ocupa largura de banda maior. Numericamente
(ou seja, usa o dobro da largura de banda de
). Em palavras: aumentar a “freqüência de zero” no tempo (fazer a sinc mais estreita no tempo) alarga o seu espectro — princípio tempo/frequência clássico.
Resposta
(a) Impulsos em
com amplitudes
, respectivamente (desenhar quatro deltas nessas posições).
(b) ; cada símbolo é uma cópia de
centrada em
com sinais
(picos unitários no centro e zeros em múltiplos de
).
(c) Sim. Porque para todo inteiro
, logo não há ISI; além disso a largura de banda é
(caso Nyquist mínimo).
(d) Sim. Porque para todo inteiro
, logo também não há ISI.
(e) Sim. tem largura de banda
enquanto
tem
;
usa o dobro da largura de banda de
.
(b)
(c) Sim. Porque
(d) Sim. Porque
(e) Sim.