Seu colega implementou um transmissor digital em banda base utilizando pulsos sinc. Ele utilizou um gerador de impulsos polares variando entre -1 e 1 para representar os bits 0 e 1 . Os impulsos são atrasados pelo período de símbolos T_{s}=0,1 \mathrm{~s} e filtrados pelo filtro g(t) abaixo:
g(t)=\sin c(10 t)
Supondo que foram transmitidos os bits 1101, o sinal x(t) de impulsos antes da filtragem é dado por
x(t)=\delta(t)+\delta\left(t-T_{s}\right)-\delta\left(t-2 T_{s}\right)+\delta\left(t-3 T_{s}\right)
(a) Apresente um esboço do sinal de impulsos x(t) antes da filtragem.
(b) O sinal transmitido pelo transmissor digital é obtido realizando a filtragem deste sinal x(t) com filtro formatador de pulsos g(t), ou seja, s(t)=x(t) * g(t). Apresente um esboço deste sinal transmitido s(t), esboçando cada um dos quatro símbolos transmitidos.
(c) Segundo o critério de Nyquist, esta implementação está correta? Justifique.
(d) Seu colega implementou outro transmissor digital utilizando o mesmo gerador de impulsos x(t). Porém, ele aplicou um novo filtro formatador de pulsos dado por
g_{2}(t)=\operatorname{sinc}(20 t)
Segundo o critério de Nyquist, esta implementação está correta?
(e) Em relação ao uso de largura de banda, este novo filtro g_{2}(t) utiliza mais largura de banda que o filtro g(t) ?

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei tudo do enunciado):
    • Período de símbolo T_{s}=0,1\\ \mathrm{s}.
    • Filtro 1: g(t)=\operatorname{sinc}(10 t).
    • Filtro 2: g_{2}(t)=\operatorname{sinc}(20 t).
    • Sequência de impulsos (bits 1101, com polarização -1/+1): x(t)=\delta(t)+\delta\!\left(t-T_{s}\right)-\delta\!\left(t-2 T_{s}\right)+\delta\!\left(t-3 T_{s}\right).
  • O enunciado pede:
    (a) esboço do sinal de impulsos x(t) antes da filtragem;
    (b) esboço do sinal transmitido s(t)=x(t)*g(t), mostrando cada um dos quatro símbolos;
    (c) verificar pelo critério de Nyquist se a implementação com g(t)=\operatorname{sinc}(10 t) está correta; justificar;
    (d) verificar o mesmo para g_{2}(t)=\operatorname{sinc}(20 t);
    (e) comparar as larguras de banda de g e g_{2} (qual usa mais largura de banda?).

Passo 2

Primeira coisa importante: definir o que se entende por \operatorname{sinc}. Aqui é conveniente usar a definição normalizada muito usada em comunicações:
\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.
Com essa definição vale a propriedade útil de zeros em inteiros não nulos:
\operatorname{sinc}(n)=0\quad\text{para todo }n\in\mathbb{Z},\\ n\neq0,
porque \sin(\pi n)=0 quando n é inteiro.
Aplicando isso aos filtros:
g(t)=\operatorname{sinc}(10 t)=\frac{\sin(\pi\cdot10 t)}{\pi\cdot10 t}, \qquad g_{2}(t)=\operatorname{sinc}(20 t)=\frac{\sin(\pi\cdot20 t)}{\pi\cdot20 t}.
Observe onde estão os zeros no tempo:
  • Para g(t)=\operatorname{sinc}(10 t) os zeros (não nulos) ocorrem em t=\dfrac{k}{10} para todo inteiro k\neq0.
  • Para g_{2}(t)=\operatorname{sinc}(20 t) os zeros ocorrem em t=\dfrac{k}{20} para todo inteiro k\neq0.
Note que T_{s}=0,1\\ \mathrm{s}=\dfrac{1}{10}\\ \mathrm{s}. Assim T_{s}=\dfrac{1}{10} coincide com um zero de g(t) (quando k=1) e também com um zero de g_{2}(t) (quando k=2, isto é \dfrac{2}{20}=\dfrac{1}{10}).

Passo 3

Vou descrever com precisão o esboço (um desenho mental que você pode reproduzir no caderno):
  • Há deltas (impulsos de Dirac) somente em quatro instantes:
    • em t=0: amplitude +1,
    • em t=T_{s}=0{,}1\\ \mathrm{s}: amplitude +1,
    • em t=2T_{s}=0{,}2\\ \mathrm{s}: amplitude -1,
    • em t=3T_{s}=0{,}3\\ \mathrm{s}: amplitude +1.
Em forma de tabela (útil para o esboço):
\begin{array}{c|c} t & \text{amplitude de }x(t)\\hline 0 & +1\\\ T_{s} & +1\\\\ 2T_{s} & -1\\\\ 3T_{s} & +1\\\ \text{outros }t & 0 \end{array}
Para desenhar: marque no eixo t os pontos 0,\\\ 0{,}1,\\\ 0{,}2,\\\ 0{,}3 e em cada um desenhe uma seta vertical (impulso) cujo rótulo seja o valor \pm1 indicado acima. Pronto — esse é o esboço de x(t).

Passo 4

Convolução de um trem de deltas com uma forma g(t) é muito simples: cada delta gera uma réplica de g(t) centrada na posição do delta multiplicada pela amplitude do delta. Assim:
s(t)=x(t)*g(t)=\sum_{k=0}^{3} a_k\,g(t-kT_{s}),
onde a_0=+1,\\ a_1=+1,\\ a_2=-1,\\ a_3=+1. Explicitamente:
\boxed{\,s(t)=g(t)+g(t-T_{s})-g(t-2T_{s})+g(t-3T_{s})\,.}
Interpretação prática e esboço:
  • Cada símbolo transmitido corresponde a uma cópia de g(t) centrada em t=kT_{s} e com sinal \pm1.
  • Como g(t)=\operatorname{sinc}(10 t), cada pulso tem forma de sinc com pico em t=kT_{s} (valor g(0)=1) e zeros em t=kT_{s}\pm nT_{s} (porque T_{s}=1/10 é um ponto nulo da sinc quando n é inteiro não nulo).
  • Portanto, ao desenhar: sobreponha quatro cópias de uma sinc (uma centrada em cada 0,\\ T_{s},\\\ 2T_{s},\\\ 3T_{s}) com sinais +,+,-,+. Cada uma tem pico unitário (ou unitário com sinal) no centro e cruza zero exatamente nos instantes de amostragem dos outros símbolos.
  • Consequência prática muito útil: no instante de decisão em t=kT_{s}, apenas a cópia centrada em kT_{s} contribui (as outras cópias têm valor zero nesse instante). Isso garante ausência de interferência entre símbolos nos instantes de amostragem.
Dica para o esboço no caderno: desenhe a sinc central (pico em 1), depois desenhe a segunda deslocada para a direita com o mesmo formato (pico em t=T_{s}), a terceira invertida (pico em -1 em t=2T_{s}), e a quarta em t=3T_{s}. Onde as réplicas se sobrepõem entre amostras haverá soma (podendo cancelar parcialmente), mas nos instantes t=kT_{s} só aparece o pico do símbolo correspondente.

Passo 5

Vou usar duas maneiras complementares (tempo e frequência) para justificar:
  1. Critério no domínio do tempo (forma mais direta aqui): uma condição suficiente e usual para zero ISI é
g(nT_{s})=0\quad\text{para todo }n\in\mathbb{Z},\\ n\neq0.
Calcule:
g(nT_{s})=\operatorname{sinc}(10\cdot nT_{s})=\operatorname{sinc}(10\cdot n\cdot 0{,}1)=\operatorname{sinc}(n).
Para n\neq0 inteiro temos \operatorname{sinc}(n)=0. Logo g(nT_{s})=0 para n\neq0. Isso significa que amostrando s(t) em t=kT_{s} não há contribuição dos símbolos vizinhos — isto é exatamente ausência de ISI. Portanto, pelo critério de Nyquist (condição de amostragem no tempo), esta implementação está correta: não haverá ISI.
  1. Visão em frequência (intuição): para a definição normalizada \operatorname{sinc}(a t) a transformada tem suporte retangular e a largura de banda útil (meia-largura) é
B=\frac{a}{2}.
Para a=10 obtemos B=5\\ \mathrm{Hz}. A taxa de símbolos é 1/T_{s}=10\\ \mathrm{symbols/s}. A condição mínima (Nyquist mínimo) para transmitir 1/T_{s} símbolos sem ISI é
B\ge\frac{1}{2T_{s}}.
Aqui \dfrac{1}{2T_{s}}=\dfrac{1}{0{,}2}=5\\ \mathrm{Hz}. Portanto g(t) tem exatamente a largura de banda mínima necessária (é um caso ideal, “pulsos Nyquist” com largura mínima). Isso confirma a conclusão do tempo: implementação correta e eficiente em largura de banda.

Passo 6

Novamente uso o teste no domínio do tempo (mais simples):
Calcule:
g_{2}(nT_{s})=\operatorname{sinc}(20\cdot nT_{s})=\operatorname{sinc}(20\cdot n\cdot0{,}1)=\operatorname{sinc}(2n).
Para todo inteiro n\neq0, 2n é inteiro não nulo, então \operatorname{sinc}(2n)=0. Logo g_{2}(nT_{s})=0 para n\neq0. Isso implica, da mesma maneira que antes, que ao amostrar em t=kT_{s} cada símbolo não sofre interferência dos demais — portanto também não há ISI.
Observação comentada (importante para prova / interpretação): embora g_{2} tenha largura de banda maior que o mínimo, isso não impede que seja um pulso Nyquist. O requisito de Nyquist é sobre as amostras no tempo (ou sobre uma soma periódica no domínio da frequência), e aqui os zeros no tempo estão alinhados com T_{s}, então o critério é satisfeito.

Passo 7

Usando a propriedade da transformada da \operatorname{sinc} normalizada:
  • Para g(t)=\operatorname{sinc}(10 t) o parâmetro é a=10 e a largura total de suporte no domínio da frequência é W=a=10\\ \mathrm{Hz}, portanto a meia-largura (bandwidth) é B_{1}=\frac{10}{2}=5\\ \mathrm{Hz}.
  • Para g_{2}(t)=\operatorname{sinc}(20 t) o parâmetro é a=20 e a meia-largura é B_{2}=\frac{20}{2}=10\\ \mathrm{Hz}.
Conclusão: g_{2} ocupa largura de banda maior. Numericamente B_{2}=2\cdot B_{1} (ou seja, usa o dobro da largura de banda de g). Em palavras: aumentar a “freqüência de zero” no tempo (fazer a sinc mais estreita no tempo) alarga o seu espectro — princípio tempo/frequência clássico.

Resposta

(a) Impulsos em t=0,\\ T_{s},\\\ 2T_{s},\\\ 3T_{s} com amplitudes +1,\\\ +1,\\\ -1,\\\ +1, respectivamente (desenhar quatro deltas nessas posições).
(b) \displaystyle s(t)=g(t)+g(t-T_{s})-g(t-2T_{s})+g(t-3T_{s}); cada símbolo é uma cópia de \operatorname{sinc}(10t) centrada em 0,\\ T_{s},\\\ 2T_{s},\\\ 3T_{s} com sinais +,+,-,+ (picos unitários no centro e zeros em múltiplos de T_{s}).
(c) Sim. Porque g(nT_{s})=\operatorname{sinc}(n)=0 para todo inteiro n\neq0, logo não há ISI; além disso a largura de banda é B=5\\ \mathrm{Hz}=1/(2T_{s}) (caso Nyquist mínimo).
(d) Sim. Porque g_{2}(nT_{s})=\operatorname{sinc}(2n)=0 para todo inteiro n\neq0, logo também não há ISI.
(e) Sim. g tem largura de banda 5\\ \mathrm{Hz} enquanto g_{2} tem 10\\ \mathrm{Hz}; g_{2} usa o dobro da largura de banda de g.

Exercícios relacionados