Um sinal contínuo de áudio
foi quantizado por um conversor A/D com quantizador uniforme Mid-Rise e transmitido usando modulação PCM.
(a) Foram utilizados 7 níveis de quantização. Qual é a menor resolução em bits do conversor A/D que pode ser utilizada.
(b) Considere que este sinal na saída do conversor A/D é transmitido a uma taxa de
. Considerando a resolução do conversor A/D do item (a), que frequência de amostragem você deverá utilizar neste conversor A/D?
(c) Qual a máxima frequência do sinal de áudio que pode ser quantizada com este sistema?
(a) Foram utilizados 7 níveis de quantização. Qual é a menor resolução em bits do conversor A/D que pode ser utilizada.
(b) Considere que este sinal na saída do conversor A/D é transmitido a uma taxa de
(c) Qual a máxima frequência do sinal de áudio que pode ser quantizada com este sistema?
Passo 1
O enunciado e os dados importantes são:
- Um sinal contínuo de áudio
foi quantizado por um conversor A/D com quantizador uniforme Mid-Rise e transmitido por PCM. - Foi utilizado
níveis de quantização. - A taxa de transmissão (bit rate) é
.
As perguntas são:
(a) Qual a menor resolução em bits do conversor A/D que pode ser utilizada?
(b) Considerando a resolução do item (a), qual frequência de amostragemdeve ser usada se ?
(c) Qual a máxima frequência do sinal de áudio que pode ser quantizada com esse sistema?
Passo 2
Entendendo o que significa “resolução em bits” e “número de níveis”:
- Um conversor A/D com resolução de
bits pode representar exatamente níveis discretos de amplitude (assumindo codificação binária padrão usada em PCM). - Portanto, para acomodar
níveis de quantização é necessário que o número de níveis disponíveis seja pelo menos .
Vou usar essa relação direta entree o número de níveis para responder (a). Não preciso agora entrar em detalhes do formato Mid-Rise além de que ele é um quantizador uniforme onde o número de níveis é a quantidade de códigos disponíveis.
Passo 3
Determinar o menor
inteiro com
. Calculo:
O menor inteiro
que satisfaz
é
, pois
. Logo a menor resolução em bits é
bits.
(Aqui expliquei porque se usa teto de potência de dois: códigos binários exigem número de níveis igual a potência de dois; se se tem menos níveis reais do que códigos, alguns códigos ficam não usados — isso é aceitável — mas não se pode ter menos códigos do que níveis requeridos.)
(Aqui expliquei porque se usa teto de potência de dois: códigos binários exigem número de níveis igual a potência de dois; se se tem menos níveis reais do que códigos, alguns códigos ficam não usados — isso é aceitável — mas não se pode ter menos códigos do que níveis requeridos.)
Passo 4
Relação entre taxa de bits
, número de bits por amostra
e frequência de amostragem
:
- Em PCM cada amostra é codificada em
bits, e o fluxo total de bits é .
Isto é uma fórmula direta:em bits/segundo, em bits/amostra e em amostras/segundo. Para encontrar basta isolar:
Passo 5
Aplicar os números para calcular
. Substituindo
e
:
Portanto a frequência de amostragem a ser utilizada é
.
Passo 6
Determinar a máxima frequência do sinal que pode ser corretamente representada sem aliasing:
- Pelo Teorema de Amostragem de Nyquist–Shannon, para evitar aliasing é preciso que a frequência máxima do sinal
satisfaça .
Comtemos:
Comentário prático: isso assume que antes da amostragem existe um filtro anti-aliasing que remove componentes acima de
. Sem esse filtro, sinais com componentes acima de
causarão aliasing.