Um sinal contínuo de áudio m(t) foi quantizado por um conversor A/D com quantizador uniforme Mid-Rise e transmitido usando modulação PCM.
(a) Foram utilizados 7 níveis de quantização. Qual é a menor resolução em bits do conversor A/D que pode ser utilizada.
(b) Considere que este sinal na saída do conversor A/D é transmitido a uma taxa de R_{b}=30 \mathrm{kbps}. Considerando a resolução do conversor A/D do item (a), que frequência de amostragem você deverá utilizar neste conversor A/D?
(c) Qual a máxima frequência do sinal de áudio que pode ser quantizada com este sistema?

Passo 1

O enunciado e os dados importantes são:
  • Um sinal contínuo de áudio m(t) foi quantizado por um conversor A/D com quantizador uniforme Mid-Rise e transmitido por PCM.
  • Foi utilizado 7 níveis de quantização.
  • A taxa de transmissão (bit rate) é R_{b}=30\\ \mathrm{kbps}.
    As perguntas são:
    (a) Qual a menor resolução em bits do conversor A/D que pode ser utilizada?
    (b) Considerando a resolução do item (a), qual frequência de amostragem f_s deve ser usada se R_{b}=30\\ \mathrm{kbps}?
    (c) Qual a máxima frequência do sinal de áudio que pode ser quantizada com esse sistema?

Passo 2

Entendendo o que significa “resolução em bits” e “número de níveis”:
  • Um conversor A/D com resolução de B bits pode representar exatamente 2^{B} níveis discretos de amplitude (assumindo codificação binária padrão usada em PCM).
  • Portanto, para acomodar 7 níveis de quantização é necessário que o número de níveis disponíveis 2^{B} seja pelo menos 7.
    Vou usar essa relação direta entre B e o número de níveis para responder (a). Não preciso agora entrar em detalhes do formato Mid-Rise além de que ele é um quantizador uniforme onde o número de níveis é a quantidade de códigos disponíveis.

Passo 3

Determinar o menor B inteiro com 2^{B}\ge 7. Calculo:
2^{1}=2,\quad 2^{2}=4,\quad 2^{3}=8.
O menor inteiro B que satisfaz 2^{B}\ge 7 é B=3, pois 2^{3}=8\ge7. Logo a menor resolução em bits é B=3 bits.
(Aqui expliquei porque se usa teto de potência de dois: códigos binários exigem número de níveis igual a potência de dois; se se tem menos níveis reais do que códigos, alguns códigos ficam não usados — isso é aceitável — mas não se pode ter menos códigos do que níveis requeridos.)

Passo 4

Relação entre taxa de bits R_{b}, número de bits por amostra B e frequência de amostragem f_{s}:
  • Em PCM cada amostra é codificada em B bits, e o fluxo total de bits é R_{b}=B\cdot f_{s}.
    Isto é uma fórmula direta: R_{b} em bits/segundo, B em bits/amostra e f_{s} em amostras/segundo. Para encontrar f_{s} basta isolar:
f_{s}=\frac{R_{b}}{B}.

Passo 5

Aplicar os números para calcular f_{s}. Substituindo R_{b}=30\\ \mathrm{kbps}=30\,000\\ \text{bits/s} e B=3\\ \text{bits}:
f_{s}=\frac{30\,000}{3}=10\,000\\ \text{amostras/s} = 10\\ \text{kHz}.
Portanto a frequência de amostragem a ser utilizada é f_{s}=10\\ \text{kHz}.

Passo 6

Determinar a máxima frequência do sinal que pode ser corretamente representada sem aliasing:
  • Pelo Teorema de Amostragem de Nyquist–Shannon, para evitar aliasing é preciso que a frequência máxima do sinal f_{\max} satisfaça f_{\max}\le \dfrac{f_{s}}{2}.
    Com f_{s}=10\\ \text{kHz} temos:
f_{\max}=\frac{f_{s}}{2}=\frac{10\\ \text{kHz}}{2}=5\\ \text{kHz}.
Comentário prático: isso assume que antes da amostragem existe um filtro anti-aliasing que remove componentes acima de 5\\ \text{kHz}. Sem esse filtro, sinais com componentes acima de 5\\ \text{kHz} causarão aliasing.

Resposta

B=3\\ \text{bits}
f_{s}=10\\ \text{kHz}
f_{\max}=5\\ \text{kHz}

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