No seu TCC, você precisa digitalizar um sinal de áudio contínuo usando um coversor A/D com resolução 12 bits e frequência de amostragem de 48000 Hz . Você usou um conversor A/D externo que envia os dados em tempo real para um microcontrador usando modulação PCM.
(a) Qual será a taxa de transmissão em bps na saída deste conversor A/D?
(b) Suponha que você transmitiu os sinais do item acima com um código de linha Polar NRZ. Qual é o valor do período de um bit T_{b} do sinal transmitido?
(c) Qual será a largura de banda nulo a nulo do sinal transmitido?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem ainda resolver nada.
  • Dados fornecidos:
    • Resolução do conversor A/D: 12 bits por amostra.
    • Frequência de amostragem: 48\,000 amostras por segundo (isto é, 48{,}000\\ \text{Hz}).
    • O conversor envia os dados em PCM em tempo real (assumir que cada amostra gera exatamente 12 bits transmitidos, sem compressão extra nem bits de sincronismo adicionais).
    • O código de linha usado na transmissão do item (b) é Polar NRZ.
  • O que o enunciado pede:
    (a) A taxa de transmissão em bps na saída do conversor A/D (bit rate).
    (b) O período de um bit T_{b} do sinal transmitido quando usado Polar NRZ.
    (c) A largura de banda nulo a nulo do sinal transmitido (isto é, largura do main lobo entre os primeiros nulos de amplitude zero).

Passo 2

Entendendo como obter a taxa de transmissão (aula rápida e prática sobre PCM).
  • Em PCM (Pulse Code Modulation) cada amostra do sinal analógico é quantizada e representada por um certo número de bits.
  • Se cada amostra gera N bits e a taxa de amostragem é f_s amostras/segundo, então a taxa de transmissão (bit rate) R_b é o produto:
R_b = N \cdot f_s.
  • Aqui: N=12 e f_s=48{,}000. Aplicando a fórmula passo a passo:
R_b = 12 \cdot 48{,}000.

Passo 3

Cálculo numérico da taxa de transmissão com explicação das contas.
  • Multiplicando 12 por 48{,}000:
12 \cdot 48{,}000 = 12 \cdot (48 \cdot 1{,}000) = (12\cdot48)\cdot1{,}000.
  • Calcular 12\cdot48: 12\cdot48 = 576.
  • Portanto:
R_b = 576 \cdot 1{,}000 = 576{,}000\\ \text{bps}.
  • Interpretação: o conversor gera 576{,}000 bits por segundo.

Passo 4

Encontrando o período de um bit T_b (aula sobre relação bit rate ↔ bit duration).
  • O período de um bit T_b é o inverso da taxa de bits:
T_b = \frac{1}{R_b}.
  • Substituindo R_b=576{,}000:
T_b = \frac{1}{576{,}000}\\ \text{s}.
  • Fazer a divisão para obter valor em segundos e em microssegundos:
T_b \approx 1{,}73611\times 10^{-6}\\ \text{s} = 1{,}73611\\ \mu\text{s}.
  • Explicação intuitiva: em cada 1{,}73611\\ \mu\text{s} é transmitido um bit; isso bate com a alta taxa de 576 kbps.

Passo 5

Entendendo a largura de banda nulo a nulo para Polar NRZ (aula sobre espectro de NRZ).
  • Modelo útil: código Polar NRZ gera pulsos retangulares de duração T_b (nível +A ou -A por duração T_b). O espectro de um pulso retangular de largura T_b é proporcional a uma função sinc. A transformada contínua do retângulo dá zeros em frequências f = k\cdot\frac{1}{T_b} com k inteiro não nulo.
  • O primeiro nulo (em frequência positiva) ocorre em
f_{\text{nulo}} = \frac{1}{T_b}.
  • Como o espectro é simétrico em torno de DC, o primeiro nulo aparece em +1/T_b e em -1/T_b. Portanto a largura de banda do main lobo (nulo a nulo) é
B_{\text{nulo-a-nulo}} = 2\cdot \frac{1}{T_b}.
  • Usando que \dfrac{1}{T_b}=R_b, a expressão fica mais simples:
B_{\text{nulo-a-nulo}} = 2 R_b.
  • Observação prática: essa é a largura do lobo principal do espectro de base; sinais reais codificados podem ter conteúdo DC dependente dos dados, mas a posição dos primeiros nulos do pulso retangular depende apenas de T_b.

Passo 6

Cálculo numérico da largura de banda nulo a nulo e conclusão.
  • Já temos R_b=576{,}000\\ \text{bps}. Então:
B_{\text{nulo-a-nulo}} = 2 \cdot 576{,}000 = 1{,}152{,}000\\ \text{Hz}.
  • Em unidades mais usuais: 1{,}152{,}000\\ \text{Hz} = 1{,}152\\ \text{kHz} \approx 1{,}152\\ \text{MHz?} (corrigir: 1{,}152\\ \text{kHz}=1{,}152{,}000\\ \text{Hz}=1{,}152\\ \text{kHz}; em MHz é 1{,}152{,}000/10^{6}=1{,}152\\ \text{MHz} — atenção: 1{,}152{,}000\\ \text{Hz}=1{,}152\\ \text{kHz}=1{,}152\times10^{-3}\\ \text{MHz}=1{,}152\\ \text{kHz}=1,152\\ \text{MHz} é incorreto; o correto é 1{,}152{,}000\\ \text{Hz}=1{,}152\\ \text{kHz}=1,152\\ \text{MHz} seria errado porque 1,152 MHz = 1.152×10^6 Hz which equals 1,152,000 Hz — so it’s consistent; better to keep in Hz and kHz to avoid confusion.)
  • Mantendo em Hz: B_{\text{nulo-a-nulo}}=1{,}152{,}000\\ \text{Hz} (aproximadamente 1{,}152\\ \text{kHz}).

Resposta

(a) 576{,}000\\ \text{bps}
(b) T_{b}=\dfrac{1}{576{,}000}\\ \text{s}\approx 1{,}73611\times10^{-6}\\ \text{s}
(c) B_{\text{nulo-a-nulo}}=2R_{b}=1{,}152{,}000\\ \text{Hz}

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