Um coletor solar sem placa de cobertura, possui uma superfície de absorção seletiva com emissividade de 0,1 e absortividade solar de 0,95 . Em uma determinada hora di dia a temperatura da superfície absorvedoura T_{s}=120^{\circ} C, quando a irradiação solar é de 750 W / m^{2}, a temperatura efetiva do céu é de -10^{\circ} C. Admita que o coeficiente de transferência de calor por convecção para as condições do dia calomo, possa ser estimado pela expressão h=0,22\left(T_{s}-T_{\infty}\right)^{1 / 3} W / m^{2} K, a temperatura do ar ambiente T_{\infty} é de 30^{\circ} C. Para essas condições :
  • Calcule a taxa de remoção de calor util \left(W / m^{2}\right) no coletor.
  • Qual é a eficiência do coletor ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (sem resolver ainda) e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • Absorptividade solar da superfície: \alpha=0,95.
  • Emissividade (termorradiativa) da superfície: \varepsilon=0,1.
  • Irradiação solar: G=750\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Temperatura da superfície absorvedora: T_{s}=120^\circ C.
  • Temperatura efetiva do céu: T_{\text{sky}}=-10^\circ C.
  • Temperatura do ar ambiente: T_{\infty}=30^\circ C.
  • Coeficiente de convecção estimado por h=0,22\,(T_{s}-T_{\infty})^{1/3}\\ \mathrm{W/m^{2}K}.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a taxa de remoção de calor útil por área do coletor, isto é q_u em \mathrm{W/m^{2}}.
  • Calcular a eficiência do coletor \eta (razão entre calor útil removido e irradiação incidente).

Passo 2

Conversões de temperatura e fórmulas físicas que vamos usar (pequena aula):
  • Para radiación térmica de corpos aproximados por corpos cinzentos usamos a lei de Stefan–Boltzmann:
q_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\left(T_{s}^{4}-T_{\text{sky}}^{4}\right),
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann com valor aproximado
\sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
  • A convecção livre/forçada estimada aqui usa q_{\text{conv}}=h\,(T_{s}-T_{\infty}).
  • A potência solar absorvida pela superfície (por unidade de área) é
q_{\text{abs}}=\alpha\,G.
  • O calor útil removido por área é a energia absorvida menos as perdas convectiva e radiativa:
q_{u}=q_{\text{abs}}-q_{\text{conv}}-q_{\text{rad}}.
Observação importante: temperaturas devem entrar na lei de Stefan–Boltzmann em Kelvin. Vou converter:
T_{s}=120^\circ C=120+273{,}15=393{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\text{sky}}=-10^\circ C=-10+273{,}15=263{,}15\\ \mathrm{K}.
A diferença para convecção usa as temperaturas em Celsius ou Kelvin, pois é a diferença T_s-T_\infty (mesma em K e °C):
\Delta T=T_{s}-T_{\infty}=120-30=90\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Calcular o coeficiente de convecção h usando a expressão dada e explicar o que é:
  • A expressão fornecida é empírica: h=0,22\,(T_{s}-T_{\infty})^{1/3}. Esse h tem unidades \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}} e representa a facilidade com que o ar retira calor da superfície por convecção.
    Cálculo:
h=0,22\,(90)^{1/3}=0,22\;\sqrt[3]{90}.
Estimando \sqrt[3]{90}\approx4{,}4814, obtemos
h\approx0,22\times4{,}4814\approx0{,}986\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.

Passo 4

Calcular a perda convectiva q_{\text{conv}} e explicar:
  • Fórmula: q_{\text{conv}}=h\,(T_{s}-T_{\infty}). Aqui h é o coeficiente que acabamos de achar e (T_{s}-T_{\infty}) é a diferença de temperatura que “força” a troca convectiva.
    Cálculo:
q_{\text{conv}}=0{,}986\times90\approx88{,}7\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 5

Calcular a perda radiativa q_{\text{rad}} com explicação passo a passo:
  • Usamos a lei de Stefan–Boltzmann para um corpo cinzento trocando calor com um reservatório (céu) com temperatura efetiva T_{\text{sky}}:
q_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\left(T_{s}^{4}-T_{\text{sky}}^{4}\right).
Já temos T_{s}=393{,}15\\ \mathrm{K} e T_{\text{sky}}=263{,}15\\ \mathrm{K}. Agora calculamos as potências de quatro:
T_{s}^{2}=393{,}15^{2}=154\,566{,}9225\quad\Rightarrow\quad T_{s}^{4}=(154\,566{,}9225)^{2}\approx2{,}388112\times10^{10}\\ \mathrm{K^{4}}.
T_{\text{sky}}^{2}=263{,}15^{2}=69\,247{,}9225\quad\Rightarrow\quad T_{\text{sky}}^{4}=(69\,247{,}9225)^{2}\approx4{,}796100\times10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}.
Diferença:
T_{s}^{4}-T_{\text{sky}}^{4}\approx2{,}388112\times10^{10}-4{,}796100\times10^{9}\approx1{,}908502\times10^{10}\\ \mathrm{K^{4}}.
Agora aplicamos a constante e a emissividade:
q_{\text{rad}}=0{,}1\times5{,}670374419\times10^{-8}\times1{,}908502\times10^{10}.
Multiplicando:
5{,}670374419\times10^{-8}\times1{,}908502\times10^{10}\approx1{,}082196\times10^{3},
portanto
q_{\text{rad}}\approx0{,}1\times1{,}082196\times10^{3}\approx108{,}22\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Interpretação rápida: apesar da baixa emissividade \varepsilon=0,1, a radiação ainda é significativa porque T_s é bem maior que a temperatura do céu.

Passo 6

Calcular a energia solar absorvida q_{\text{abs}}:
  • Fórmula: q_{\text{abs}}=\alpha\,G, que é a fração da irradiação solar que a superfície realmente absorve (o resto é refletido).
    Cálculo:
q_{\text{abs}}=0{,}95\times750=712{,}5\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 7

Calcular o calor útil removido q_{u} e explicar o raciocínio final:
  • Subtrai-se das entradas (energia absorvida) as perdas convectiva e radiativa:
q_{u}=q_{\text{abs}}-q_{\text{conv}}-q_{\text{rad}}.
Substituindo os valores calculados:
q_{u}=712{,}5-88{,}7-108{,}22\approx515{,}6\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Significado: por metro quadrado do coletor, cerca de 515{,}6\\ \mathrm{W} estão sendo efetivamente removidos como calor útil nas condições dadas.

Passo 8

Calcular a eficiência do coletor \eta e interpretar:
  • Definição: eficiência é a fração da irradiação solar incidente que é transformada em calor útil:
\eta=\frac{q_{u}}{G}.
Cálculo:
\eta=\frac{515{,}6}{750}\approx0{,}6875\approx68{,}75\%.
Interpretação: o coletor recupera cerca de 68{,}8\% da energia solar incidente nessas condições. É razoavelmente alto porque a absorptividade é elevada e as perdas (especialmente convectivas) são moderadas; a radiação para um céu frio reduz um pouco o aproveitamento.

Resposta

q_{u}\approx515{,}6\\ \mathrm{W/m^{2}}
\eta\approx68{,}8\%

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