Considere o campo de velocidade permanente e bidimensional
onde os comprimentos estão em unidades de m , o tempo está em s e as velocidades em m
. Calcule as diversas propriedades cinemáticas, a saber, a taxa de translação, a taxa de rotação, a taxa de deformação linear, a taxa de deformação por cisalhamento e a taxa de deformação volumétrica. Verifique se o escoamento é incompressível. (Çengel e Cimbala, 2015).
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade permanente e bidimensional
com velocidades em
. O que nos pediram calcular (cada item será explicitado depois):
- a taxa de translação;
- a taxa de rotação (spin);
- a taxa de deformação linear (componentes normais);
- a taxa de deformação por cisalhamento;
- a taxa de deformação volumétrica;
- verificar se o escoamento é incompressível.
Vou fazer passo a passo, explicando cada conceito e calculando os valores numéricos a partir do campo dado.
Passo 2
Primeiro precisamos das derivadas parciais das componentes de velocidade — essas derivadas formam o gradiente de velocidade, que é a base para todas as taxas cinemáticas.
As componentes são
Calculamos as derivadas parciais:
Explicação didática:
mede como a componente
muda quando nos movemos no eixo
(alongamento ou contração na direção
). Similarmente para as outras derivadas.
Passo 3
Taxa de translação:
- Conceito: a taxa de translação de um pequeno elemento fluido é simplesmente o movimento rígido de translação do seu centro — ou seja, a própria velocidade
no ponto considerado. Não é uma derivada; é o vetor velocidade que desloca o centro do elemento. - Assim, a taxa (velocidade) de translação é
Interpretação prática: cada partícula num ponto
se desloca com essa velocidade; por exemplo, no ponto
a velocidade é
.
Passo 4
Taxa de rotação (spin):
- Conceito: a parte antissimétrica do gradiente de velocidade representa a rotação rígida local do elemento. Definimos a tensora de rotação
onde
.
- Em duas dimensões a rotação local (taxa escalar de rotação em torno do eixo perpendicular ao plano) é
Substituindo as derivadas que calculamos:
Interpretação:
significa que o escoamento não imprime rotação rígida local ao elemento — não há giro local, apenas deformação pura (estiramento/encolhimento).
Passo 5
Taxa de deformação linear (componentes normais):
- Conceito: a parte simétrica do gradiente de velocidade é a taxa de deformação (tensor de taxa de deformação)
, com
As componentes normais (taxas de alongamento/compressão ao longo dos eixos) são
Usando os valores:
Interpretação: o elemento é alongado na direção
com taxa
e comprimido na direção
com taxa
.
Passo 6
Taxa de deformação por cisalhamento:
- Conceito: a componente de cisalhamento da taxa de deformação no plano
é
Substituindo:
Também podemos escrever
. Interpretação: não há deformação por cisalhamento no plano
; o elemento não sofre distorção angular (além do possível efeito da rotação, que aqui também é zero).
Passo 7
Taxa de deformação volumétrica (divergência):
- Conceito: a taxa volumétrica (variação relativa do volume por unidade de tempo) é a divergência do campo de velocidade:
Calculando:
Interpretação:
significa que o volume de um pequeno elemento fluido não muda com o tempo — o escoamento é incompressível.
Passo 8
Resumo físico e interpretação final (rápida):
- O escoamento traduz localmente (cada partícula tem a velocidade
dada). - Não há rotação rígida local (
). - Há alongamento em
( ) e compressão em ( ). - Não há cisalhamento (
). - A taxa volumétrica é zero, logo o escoamento é incompressível.
Se quiser, eu desenho (em palavras) como um quadradinho de fluido se deforma com essas taxas: ele se estica horizontalmente, se comprime verticalmente na mesma razão e não gira nem sofre cisalhamento — na prática sua área permanece constante.
Resposta
Taxa de translação:
.\n
Taxa de rotação: .\n
Taxas de deformação linear: .\n
Taxa de deformação por cisalhamento: (ou
).\n
Taxa de deformação volumétrica: (escoamento incompressível).
Taxa de rotação:
Taxas de deformação linear:
Taxa de deformação por cisalhamento:
Taxa de deformação volumétrica: