Considere o campo de velocidade permanente e bidimensional \vec{V} =(u, v)=(0,5+0,8 x) \hat{\imath}+(1,5-0,8 y) \hat{\jmath} onde os comprimentos estão em unidades de m , o tempo está em s e as velocidades em m \mathrm{s}^{-1}. Calcule as diversas propriedades cinemáticas, a saber, a taxa de translação, a taxa de rotação, a taxa de deformação linear, a taxa de deformação por cisalhamento e a taxa de deformação volumétrica. Verifique se o escoamento é incompressível. (Çengel e Cimbala, 2015).

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade permanente e bidimensional
\vec{V}=(u,v)=(0,5+0,8x)\,\hat\imath+(1,5-0,8y)\,\hat\jmath,
com velocidades em \mathrm{m\,s^{-1}}. O que nos pediram calcular (cada item será explicitado depois):
  • a taxa de translação;
  • a taxa de rotação (spin);
  • a taxa de deformação linear (componentes normais);
  • a taxa de deformação por cisalhamento;
  • a taxa de deformação volumétrica;
  • verificar se o escoamento é incompressível.
Vou fazer passo a passo, explicando cada conceito e calculando os valores numéricos a partir do campo dado.

Passo 2

Primeiro precisamos das derivadas parciais das componentes de velocidade — essas derivadas formam o gradiente de velocidade, que é a base para todas as taxas cinemáticas.
As componentes são
u(x,y)=0,5+0,8x,\qquad v(x,y)=1,5-0,8y.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial u}{\partial x}=0,8,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=0,
\frac{\partial v}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-0,8.
Explicação didática: \partial u/\partial x mede como a componente u muda quando nos movemos no eixo x (alongamento ou contração na direção x). Similarmente para as outras derivadas.

Passo 3

Taxa de translação:
  • Conceito: a taxa de translação de um pequeno elemento fluido é simplesmente o movimento rígido de translação do seu centro — ou seja, a própria velocidade \vec{V} no ponto considerado. Não é uma derivada; é o vetor velocidade que desloca o centro do elemento.
  • Assim, a taxa (velocidade) de translação é
\vec{V}=(0,5+0,8x)\,\hat\imath+(1,5-0,8y)\,\hat\jmath.
Interpretação prática: cada partícula num ponto (x,y) se desloca com essa velocidade; por exemplo, no ponto (0,0) a velocidade é (0,5;1,5)\,\mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 4

Taxa de rotação (spin):
  • Conceito: a parte antissimétrica do gradiente de velocidade representa a rotação rígida local do elemento. Definimos a tensora de rotação
\mathbf{W}=\tfrac{1}{2}\big(\nabla\vec{V}-(\nabla\vec{V})^{T}\big),
onde (\nabla\vec{V})_{ij}=\partial u_i/\partial x_j.
  • Em duas dimensões a rotação local (taxa escalar de rotação em torno do eixo perpendicular ao plano) é
\omega_z=\tfrac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right).
Substituindo as derivadas que calculamos:
\omega_z=\tfrac{1}{2}(0-0)=0.
Interpretação: \omega_z=0 significa que o escoamento não imprime rotação rígida local ao elemento — não há giro local, apenas deformação pura (estiramento/encolhimento).

Passo 5

Taxa de deformação linear (componentes normais):
  • Conceito: a parte simétrica do gradiente de velocidade é a taxa de deformação (tensor de taxa de deformação) \mathbf{D}, com
\mathbf{D}=\tfrac{1}{2}\big(\nabla\vec{V}+(\nabla\vec{V})^{T}\big).
As componentes normais (taxas de alongamento/compressão ao longo dos eixos) são
\dot\varepsilon_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x},\qquad \dot\varepsilon_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}.
Usando os valores:
\dot\varepsilon_{xx}=0,8\\ \mathrm{s^{-1}},\qquad \dot\varepsilon_{yy}=-0,8\\ \mathrm{s^{-1}}.
Interpretação: o elemento é alongado na direção x com taxa 0,8\\ \mathrm{s^{-1}} e comprimido na direção y com taxa 0,8\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 6

Taxa de deformação por cisalhamento:
  • Conceito: a componente de cisalhamento da taxa de deformação no plano xy é
\dot\gamma_{xy}= \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=2D_{xy}.
Substituindo:
\dot\gamma_{xy}=0+0=0\\ \mathrm{s^{-1}}.
Também podemos escrever D_{xy}=0. Interpretação: não há deformação por cisalhamento no plano xy; o elemento não sofre distorção angular (além do possível efeito da rotação, que aqui também é zero).

Passo 7

Taxa de deformação volumétrica (divergência):
  • Conceito: a taxa volumétrica (variação relativa do volume por unidade de tempo) é a divergência do campo de velocidade:
\dot\varepsilon_{v}=\nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}.
Calculando:
\dot\varepsilon_{v}=0,8+(-0,8)=0\\ \mathrm{s^{-1}}.
Interpretação: \dot\varepsilon_{v}=0 significa que o volume de um pequeno elemento fluido não muda com o tempo — o escoamento é incompressível.

Passo 8

Resumo físico e interpretação final (rápida):
  • O escoamento traduz localmente (cada partícula tem a velocidade \vec{V} dada).
  • Não há rotação rígida local ( \omega_z=0).
  • Há alongamento em x ( 0,8\\ \mathrm{s^{-1}}) e compressão em y ( -0,8\\ \mathrm{s^{-1}}).
  • Não há cisalhamento ( \dot\gamma_{xy}=0).
  • A taxa volumétrica é zero, logo o escoamento é incompressível.
    Se quiser, eu desenho (em palavras) como um quadradinho de fluido se deforma com essas taxas: ele se estica horizontalmente, se comprime verticalmente na mesma razão e não gira nem sofre cisalhamento — na prática sua área permanece constante.

Resposta

Taxa de translação: \vec{V}=(0,5+0,8x)\,\hat\imath+(1,5-0,8y)\,\hat\jmath.\n
Taxa de rotação: \omega_z=0\\ \mathrm{s^{-1}}.\n
Taxas de deformação linear: \dot\varepsilon_{xx}=0,8\\ \mathrm{s^{-1}},\quad \dot\varepsilon_{yy}=-0,8\\ \mathrm{s^{-1}}.\n
Taxa de deformação por cisalhamento: \dot\gamma_{xy}=0\\ \mathrm{s^{-1}} (ou D_{xy}=0).\n
Taxa de deformação volumétrica: \nabla\cdot\vec{V}=0\\ \mathrm{s^{-1}} (escoamento incompressível).

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