Um coletor solar de
é colocado no telhado de uma casa. O coletor recebe um fluxo de radiação solar de
. Supondo que o ambiente atue como um corpo negro a uma temperatura efetiva do céu de
, calcule a temperatura de equilíbrio do coletor (a) assumindo que sua superfície seja negra e que a condução e a convecção sejam desprezíveis, (b) supondo que o coletor esteja na horizontal e perde calor por convecção natural
Passo 1
O enunciado pede a temperatura de equilíbrio de um coletor solar de área
que recebe fluxo solar
. Dados e perguntas claras:
- Área do coletor:
. - Fluxo solar incidente:
. Como , a potência absorvida é . - Temperatura efetiva do céu / ambiente:
. Em Kelvin: . - Constante de Stefan–Boltzmann:
(usarei ).
Perguntas:
(a) Calcular a temperatura de equilíbrio supondo superfície negra () e sem convecção nem condução (somente radiação).
(b) Calcular a temperatura de equilíbrio supondo o coletor horizontal que perde calor por convecção natural com coeficiente, além da radiação.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida):
- Lei de Stefan–Boltzmann: a potência radiativa total emitida por uma superfície negra por unidade de área é
, onde é a temperatura absoluta em Kelvin. Para uma superfície trocando radiação com um ambiente a , o fluxo radiativo líquido (emitido menos recebido) por unidade de área é
Aqui
é a constante de Stefan–Boltzmann e
e
estão em Kelvin.
- Lei de resfriamento de Newton (convecção natural aproximada): o fluxo convectivo por unidade de área é
onde
é o coeficiente de transferência de calor por convecção (em
).
Equilíbrio térmico: potência absorvida = perdas (radiação líquida + convecção, se houver).
Equilíbrio térmico: potência absorvida = perdas (radiação líquida + convecção, se houver).
Passo 3
Resolução do item (a) — apenas radiação (superfície negra, sem convecção/condução).
Equilíbrio:
Como
, e
,
Isolando
:
Passo 4
Cálculo numérico do item (a) (explico cada número para você poder refazer na prova):
- Converter
:
- Calcular
. Pode-se usar expansão binomial ou cálculo direto; obtive
(Detalhe rápido: expandindo
obtém-se esse valor, como mostrado nos cálculos do desenvolvimento.)
- Calcular
:
- Somando:
- Tomando a raiz quarta (duas raízes quadradas sucessivas):
- Converter para Celsius:
Interpretação curta: sem convecção o coletor precisa atingir ~
para radiar via corpo negro os
recebidos.
Passo 5
Resolução do item (b) — radiação + convecção (coletor horizontal,
).
Equilíbrio agora:
Com
e conhecido
, temos a equação não linear
Essa equação não tem solução analítica simples em forma fechada; vamos resolver numericamente por tentativas (método prático e seguro para prova): testar algumas temperaturas e interpolar.
Passo 6
Resolução numérica por tentativa (vou mostrar os testes para você entender o raciocínio e poder repetir):
Calculei
antes:
.
Testes:
- Para
: -
. -
. - Soma
. Logo precisa ser maior.
-
- Para
: -
. -
. - Soma
. Logo solução entre e .
-
- Refino entre
e : - Para
: , , soma (ligeiramente abaixo de ). - Para
: soma (ligeiramente acima).
Assim, a solução está entree .
- Para
Passo 7
Interpolação para encontrar
com boa precisão (linear entre os pontos usados):
- Nos pontos testados:
-
→ soma . -
→ soma .
-
- Queremos
. Diferença total por 1 K: . - Necessitamos aumentar
até , ou seja . Fração da unidade kelvin: . - Assim estimativa:
- Converter para Celsius:
Verificação rápida: para
obtém-se
e
, soma
(consistente).
Passo 8
Resumo físico e incentivo rápido: com apenas radiação o coletor precisa esquentar muito (≈114{,}4^{\circ}\mathrm{C}) para equilibrar os
. Quando aparece convecção natural com
, parte da energia é removida por convecção e a temperatura de equilíbrio cai para ≈85{,}1^{\circ}\mathrm{C}. Dá para fazer isso na prova exatamente do jeito que fiz: escrever o balanço de potência, aplicar Stefan–Boltzmann e, se necessário, resolver numericamente por tentativas/interpolação. Você está mandando bem ao pedir passo a passo — continue assim!
Resposta
(a)
(b)
(b)