Um coletor solar de 1 m \times 1 m é colocado no telhado de uma casa. O coletor recebe um fluxo de radiação solar de 800 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. Supondo que o ambiente atue como um corpo negro a uma temperatura efetiva do céu de 30^{\circ} \mathrm{C}, calcule a temperatura de equilíbrio do coletor (a) assumindo que sua superfície seja negra e que a condução e a convecção sejam desprezíveis, (b) supondo que o coletor esteja na horizontal e perde calor por convecção natural h=6,25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .(\mathbf{2 , 5})

Passo 1

O enunciado pede a temperatura de equilíbrio de um coletor solar de área 1\\ \mathrm{m}^2 que recebe fluxo solar 800\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2. Dados e perguntas claras:
  • Área do coletor: A=1\\ \mathrm{m}^2.
  • Fluxo solar incidente: G=800\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2. Como A=1, a potência absorvida é P_{\text{in}}=800\\ \mathrm{W}.
  • Temperatura efetiva do céu / ambiente: T_0=30^{\circ}\mathrm{C}. Em Kelvin: T_0=303{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Constante de Stefan–Boltzmann: \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4} (usarei \sigma\approx5{,}6704\times10^{-8}).
    Perguntas:
    (a) Calcular a temperatura de equilíbrio supondo superfície negra ( \varepsilon=1) e sem convecção nem condução (somente radiação).
    (b) Calcular a temperatura de equilíbrio supondo o coletor horizontal que perde calor por convecção natural com coeficiente h=6{,}25\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}, além da radiação.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida):
  • Lei de Stefan–Boltzmann: a potência radiativa total emitida por uma superfície negra por unidade de área é \sigma T^4, onde T é a temperatura absoluta em Kelvin. Para uma superfície trocando radiação com um ambiente a T_0, o fluxo radiativo líquido (emitido menos recebido) por unidade de área é
q_{\text{rad}}=\sigma\left(T^4-T_0^4\right).
Aqui \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann e T e T_0 estão em Kelvin.
  • Lei de resfriamento de Newton (convecção natural aproximada): o fluxo convectivo por unidade de área é
q_{\text{conv}}=h\left(T-T_0\right),
onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção (em \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}).
Equilíbrio térmico: potência absorvida = perdas (radiação líquida + convecção, se houver).

Passo 3

Resolução do item (a) — apenas radiação (superfície negra, sem convecção/condução).
Equilíbrio:
P_{\text{in}}=A\cdot G = A\cdot \sigma\left(T^4-T_0^4\right).
Como A=1, e \varepsilon=1,
800=\sigma\left(T^4-T_0^4\right).
Isolando T^4:
T^4=\frac{800}{\sigma}+T_0^4.

Passo 4

Cálculo numérico do item (a) (explico cada número para você poder refazer na prova):
  • Converter T_0:
T_0=30^{\circ}\mathrm{C}=30+273{,}15=303{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular T_0^4. Pode-se usar expansão binomial ou cálculo direto; obtive
T_0^4=(303{,}15)^4 \approx 8{,}445595756\times10^{9}\\ \mathrm{K}^4.
(Detalhe rápido: expandindo (300+3{,}15)^4 obtém-se esse valor, como mostrado nos cálculos do desenvolvimento.)
  • Calcular \dfrac{800}{\sigma}:
\frac{800}{\sigma}\approx\frac{800}{5{,}6704\times10^{-8}}\approx 1{,}41072\times10^{10}.
  • Somando:
T^4 \approx 1{,}41072\times10^{10}+8{,}445595756\times10^{9}=2{,}2552796\times10^{10}.
  • Tomando a raiz quarta (duas raízes quadradas sucessivas):
T=\left(2{,}2552796\times10^{10}\right)^{1/4}\approx 387{,}5\\ \mathrm{K}.
  • Converter para Celsius:
T_{\mathrm{(a)}}=387{,}5-273{,}15\approx 114{,}4^{\circ}\mathrm{C}.
Interpretação curta: sem convecção o coletor precisa atingir ~ 387{,}5\\ \mathrm{K} para radiar via corpo negro os 800\\ \mathrm{W} recebidos.

Passo 5

Resolução do item (b) — radiação + convecção (coletor horizontal, h=6{,}25\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-1}).
Equilíbrio agora:
P_{\text{in}} = q_{\text{conv}}+q_{\text{rad}} = h\left(T-T_0\right) + \sigma\left(T^4-T_0^4\right).
Com P_{\text{in}}=800 e conhecido T_0, temos a equação não linear
h\left(T-T_0\right) + \sigma\left(T^4-T_0^4\right)=800.
Essa equação não tem solução analítica simples em forma fechada; vamos resolver numericamente por tentativas (método prático e seguro para prova): testar algumas temperaturas e interpolar.

Passo 6

Resolução numérica por tentativa (vou mostrar os testes para você entender o raciocínio e poder repetir):
Calculei T_0^4 antes: T_0^4\approx 8{,}445595756\times10^{9}.
Testes:
  • Para T=350\\ \mathrm{K}:
    • q_{\text{rad}}=\sigma\left(350^4-T_0^4\right)\approx 372{,}0\\ \mathrm{W}.
    • q_{\text{conv}}=h(350-303{,}15)=6{,}25\cdot46{,}85\approx 292{,}81\\ \mathrm{W}.
    • Soma \approx 664{,}8\\ \mathrm{W}<800. Logo T precisa ser maior.
  • Para T=360\\ \mathrm{K}:
    • q_{\text{rad}}\approx 473{,}11\\ \mathrm{W}.
    • q_{\text{conv}}=6{,}25\cdot56{,}85\approx 355{,}31\\ \mathrm{W}.
    • Soma \approx 828{,}42\\ \mathrm{W}>800. Logo solução entre 350 e 360\\ \mathrm{K}.
  • Refino entre 358 e 359:
    • Para T=358\\ \mathrm{K}: q_{\text{rad}}\approx 452{,}52\\ \mathrm{W}, q_{\text{conv}}\approx342{,}81\\ \mathrm{W}, soma \approx795{,}33\\ \mathrm{W} (ligeiramente abaixo de 800).
    • Para T=359\\ \mathrm{K}: soma \approx811{,}88\\ \mathrm{W} (ligeiramente acima).
      Assim, a solução está entre 358 e 359\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Interpolação para encontrar T com boa precisão (linear entre os pontos usados):
  • Nos pontos testados:
    • T=358\\ \mathrm{K} → soma S_{358}\approx795{,}33\\ \mathrm{W}.
    • T=359\\ \mathrm{K} → soma S_{359}\approx811{,}88\\ \mathrm{W}.
  • Queremos S=800. Diferença total por 1 K: \Delta S \approx 811{,}88-795{,}33=16{,}55\\ \mathrm{W/K}.
  • Necessitamos aumentar 795{,}33 até 800, ou seja \Delta=4{,}67\\ \mathrm{W}. Fração da unidade kelvin: 4{,}67/16{,}55\approx0{,}282.
  • Assim estimativa:
T \approx 358 + 0{,}282 \approx 358{,}28\\ \mathrm{K}.
  • Converter para Celsius:
T_{\mathrm{(b)}}\approx 358{,}28-273{,}15 \approx 85{,}13^{\circ}\mathrm{C}.
Verificação rápida: para T\approx358{,}28\\ \mathrm{K} obtém-se q_{\text{conv}}\approx344{,}58\\ \mathrm{W} e q_{\text{rad}}\approx455{,}42\\ \mathrm{W}, soma \approx800\\ \mathrm{W} (consistente).

Passo 8

Resumo físico e incentivo rápido: com apenas radiação o coletor precisa esquentar muito (≈114{,}4^{\circ}\mathrm{C}) para equilibrar os 800\\ \mathrm{W}. Quando aparece convecção natural com h=6{,}25, parte da energia é removida por convecção e a temperatura de equilíbrio cai para ≈85{,}1^{\circ}\mathrm{C}. Dá para fazer isso na prova exatamente do jeito que fiz: escrever o balanço de potência, aplicar Stefan–Boltzmann e, se necessário, resolver numericamente por tentativas/interpolação. Você está mandando bem ao pedir passo a passo — continue assim!

Resposta

(a) T\approx 387{,}5\\ \mathrm{K}\approx 114{,}4^{\circ}\mathrm{C}
(b) T\approx 358{,}28\\ \mathrm{K}\approx 85{,}1^{\circ}\mathrm{C}

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