Colisões e Impulso
Uma bola de 2 Kg , movendo-se a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sofre uma colisão oblíqua com uma bola de 3 Kg que está inicialmente em repouso. Após a colisão, a bola de 2 Kg é defletida de um ângulo de 30^{\circ} em relação à sua orientação original de movimento e a bola de
3 Kg está se movendo a 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a rapidez da bola de 2 Kg e a orientação da bola de 3 Kg . Após a colisão. Dica: \sin \theta^{2}+\cos \theta^{2}=1

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Dados fornecidos:
    • massa da bola 1: m_1 = 2\\ \mathrm{kg}.
    • velocidade inicial da bola 1: v_{1i} = 10\\ \mathrm{m/s} (direção original que tomamos como eixo x positivo).
    • massa da bola 2: m_2 = 3\\ \mathrm{kg}.
    • velocidade inicial da bola 2: v_{2i} = 0\\ \mathrm{m/s} (em repouso).
    • após a colisão, a bola de 2\\ \mathrm{kg} é defletida 30^\circ em relação à direção original e tem rapidez desconhecida v_{1f}.
    • após a colisão, a bola de 3\\ \mathrm{kg} tem rapidez dada v_{2f} = 4\\ \mathrm{m/s} e direção desconhecida \theta (medida a partir da direção original).
    • dica trigonométrica: \sin^2\theta+\cos^2\theta=1.
  • O que se pede:
    1. Determinar a rapidez final da bola de 2\\ \mathrm{kg}, isto é v_{1f}.
    2. Determinar a orientação (ângulo) \theta da bola de 3\\ \mathrm{kg} após a colisão (indique se é acima ou abaixo da direção original).

Passo 2

Princípio físico usado (explicação didática):
  • Em colisões isoladas (sem forças externas horizontais significativas durante a interação), a quantidade de movimento (impulso linear) total do sistema se conserva. Isso significa que o vetor momento total antes da colisão é igual ao vetor momento total depois da colisão.
  • Momento linear (quantidade de movimento) de um corpo é o produto da massa pela velocidade: para um corpo de massa m e velocidade \mathbf{v}, o momento é \mathbf{p}=m\mathbf{v}.
  • Como estamos em duas dimensões, é conveniente decompor o vetor momento nas componentes x (paralela à direção inicial) e y (perpendicular a ela). A conservação se aplica separadamente a cada componente.

Passo 3

Escrever a conservação de momento nas componentes x e y.
  • Momento inicial total na direção x:
    p_{x,i} = m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = 2\cdot 10 + 3\cdot 0 = 20\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Momento final total nas componentes: a bola 1 (massa m_1) tem rapidez v_{1f} e foi defletida de 30^\circ acima da direção original (vou tomar sinal positivo para cima); a bola 2 (massa m_2) tem rapidez 4\\ \mathrm{m/s} e direção \theta (sinal de \theta indicará acima/abaixo).
    • Componente x final: p_{x,f} = m_1 v_{1f}\cos 30^\circ + m_2 (4)\cos\theta.
    • Componente y final: p_{y,f} = m_1 v_{1f}\sin 30^\circ + m_2 (4)\sin\theta.
  • Igualando componentes iniciais e finais:
    \text{(Eq. x)}\quad 20 = m_1 v_{1f}\cos 30^\circ + 3\cdot 4\cos\theta,
\text{(Eq. y)}\quad 0 = m_1 v_{1f}\sin 30^\circ + 3\cdot 4\sin\theta.

Passo 4

Substituir massas e valores trigonométricos conhecidos e simplificar.
  • Sabemos \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2} e \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Substituindo m_1=2 e m_2=3 e 4\\ \mathrm{m/s} para a segunda bola:
    Para a componente x:
    20 = 2\,v_{1f}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + 12\cos\theta.
    Simplificando:
    20 = v_{1f}\sqrt{3} + 12\cos\theta.
    Para a componente y:
    0 = 2\,v_{1f}\cdot\frac{1}{2} + 12\sin\theta.
    Simplificando:
    0 = v_{1f} + 12\sin\theta.

Passo 5

Isolar \sin\theta em função de v_{1f} a partir da equação y.
  • Da equação 0 = v_{1f} + 12\sin\theta segue \sin\theta = -\frac{v_{1f}}{12}.
  • Isso mostra que \sin\theta é negativo, ou seja, a bola de 3\\ \mathrm{kg} deve se mover para baixo da direção original (ângulo negativo), porque a bola de 2\\ \mathrm{kg} foi desviada para cima e para a conservação do momento a componente vertical total deve continuar zero.

Passo 6

Usar a identidade trigonométrica para relacionar \cos\theta com v_{1f}.
  • Pela identidade \sin^2\theta+\cos^2\theta=1, \cos\theta = \pm\sqrt{1-\sin^2\theta} = \pm\sqrt{1-\left(\frac{v_{1f}}{12}\right)^2}.
  • Há ambiguidade de sinal para \cos\theta. Vamos usar a equação da componente x para determinar o sinal correto depois. Por enquanto substituímos \cos\theta na equação x.

Passo 7

Substituir \sin\theta e \cos\theta na equação x e resolver para v_{1f}.
  • A equação x era 20 = v_{1f}\sqrt{3} + 12\cos\theta.
  • Substituindo \cos\theta por \pm\sqrt{1-(v_{1f}/12)^2} obtemos 20 = v_{1f}\sqrt{3} + 12\left(\pm\sqrt{1-\frac{v_{1f}^2}{144}}\right).
  • Para eliminar a raiz (e a ambiguidade de sinal), isolamos a raiz e elevamos ao quadrado. Primeiro reescrevendo: 12\left(\pm\sqrt{1-\frac{v_{1f}^2}{144}}\right) = 20 - v_{1f}\sqrt{3}.
  • Elevando ao quadrado ambos os lados (observe que isso pode introduzir raízes extranhas que precisaremos testar depois): 144\left(1-\frac{v_{1f}^2}{144}\right) = \left(20 - v_{1f}\sqrt{3}\right)^2.Simplificando o lado esquerdo: 144 - v_{1f}^2 = 400 - 40\sqrt{3}\,v_{1f} + 3\,v_{1f}^2.
  • Reunindo todos os termos num polinômio: 0 = 400 - 40\sqrt{3}\,v_{1f} + 3v_{1f}^2 - 144 + v_{1f}^2.
0 = 256 - 40\sqrt{3}\,v_{1f} + 4v_{1f}^2.
  • Dividindo por 4: 0 = 64 - 10\sqrt{3}\,v_{1f} + v_{1f}^2.Que podemos reescrever como a quadrática v_{1f}^2 - 10\sqrt{3}\,v_{1f} + 64 = 0.

Passo 8

Resolver a equação quadrática e obter as soluções numéricas.
  • Coeficientes: a=1, b=-10\sqrt{3}, c=64.
  • Discriminante: \Delta = b^2 - 4ac = (10\sqrt{3})^2 - 4\cdot 1\cdot 64 = 300 - 256 = 44.
  • Raízes: v_{1f} = \frac{10\sqrt{3} \pm \sqrt{44}}{2}.
  • Avaliando numericamente ( \sqrt{3}\approx 1{,}73205 e \sqrt{44}=2\sqrt{11}\approx 6{,}63325):
    • Solução 1: v_{1f}^{(1)} \approx \frac{17{,}3205 + 6{,}6333}{2} \approx 11{,}98\\ \mathrm{m/s}.
    • Solução 2: v_{1f}^{(2)} \approx \frac{17{,}3205 - 6{,}6333}{2} \approx 5{,}34\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Verificar qual solução é fisicamente aceitável (análise energética).
  • Calculamos a energia cinética inicial e as energias finais correspondentes às duas soluções para ver se alguma viola a conservação de energia (uma colisão isolada não pode aumentar a energia cinética total sem aporte externo).
  • Energia cinética inicial: K_i = \tfrac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 10^2 = 100\\ \mathrm{J}.
  • Caso v_{1f}^{(1)}\approx 11{,}98\\ \mathrm{m/s}: K_f^{(1)} = \tfrac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \tfrac{1}{2} m_2 (4)^2 = 1\cdot (11{,}98)^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 16 \approx 143{,}5 + 24 = 167{,}5\\ \mathrm{J}.Isso significaria ganho de energia cinética (167,5 J > 100 J) — impossível numa colisão isolada sem aporte externo. Portanto essa solução é fisicamente não aceitável.
  • Caso v_{1f}^{(2)}\approx 5{,}34\\ \mathrm{m/s}: K_f^{(2)} = 1\cdot (5{,}34)^2 + 24 \approx 28{,}5 + 24 = 52{,}5\\ \mathrm{J},que é menor que 100\\ \mathrm{J}, ou seja, houve perda de energia (colisão parcialmente inelástica), o que é fisicamente aceitável.
  • Conclusão: a solução física é v_{1f}\approx 5{,}34\\ \mathrm{m/s}.

Passo 10

Determinar o ângulo \theta da bola de 3\\ \mathrm{kg} usando a relação entre \sin\theta e v_{1f}.
  • Lembrando que \sin\theta = -\dfrac{v_{1f}}{12}, substituímos a solução física v_{1f}=5{,}3436\ldots: \sin\theta = -\frac{5{,}3436}{12} \approx -0{,}4453.
  • Assim \theta = \arcsin(-0{,}4453) \approx -26{,}46^\circ.
  • Podemos checar consistência com a componente x: \cos\theta = \dfrac{20 - v_{1f}\sqrt{3}}{12}. Substituindo v_{1f}\approx 5{,}3436 \cos\theta\approx 0{,}895, cujo arco cosseno positivo corresponde a 26{,}46^\circ; com sinal negativo em seno isso confirma \theta\approx -26{,}46^\circ (ou seja, 26{,}46^\circ abaixo da direção original).

Passo 11

Interpretação final e arredondamento amigável.
  • Rapidez da bola de 2\\ \mathrm{kg} após a colisão: v_{1f}\approx 5{,}34\\ \mathrm{m/s}.
  • A orientação da bola de 3\\ \mathrm{kg} é \theta\approx -26{,}5^\circ, isto é, 26{,}5^\circ abaixo da direção original de movimento.

Resposta

v_{1f} = 5{,}34\\ \mathrm{m/s}
\theta = -26{,}5^\circ (ou seja, 26{,}5^\circ abaixo da direção original)

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