Uma lata cilíndrica homogênea tem massa
, altura
e contém
de refrigerante. Pequenos furos são feitos na base (com perda de massa desprezível) para drenar o líquido. Qual é a altura h do centro de massa da lata (incluindo o conteúdo)
a) inicialmente.
b) após a lata ficar vazia?
c) O que acontece com h enquanto o refrigerante está sendo drenado?
d) Se x é a altura do refrigerante que ainda resta na lata em um dado instante, determine o valor de x no instante em que o centro de massa atinge o ponto mais baixo.
a) inicialmente.
b) após a lata ficar vazia?
c) O que acontece com h enquanto o refrigerante está sendo drenado?
d) Se x é a altura do refrigerante que ainda resta na lata em um dado instante, determine o valor de x no instante em que o centro de massa atinge o ponto mais baixo.
Passo 1
Vou explicar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
O enunciado pede:
a) A altura do centro de massa da lata (incluindo o conteúdo) inicialmente, isto é, quando a lata está cheia.
b) A altura do centro de massa depois que a lata ficar vazia.
c) O que acontece com a altura do centro de massa enquanto o refrigerante está sendo drenado (ou seja, qual é a tendência: sobe, desce, tem mínimo, etc.).
d) Se é a altura do refrigerante que ainda resta na lata em um dado instante, determinar o valor de
no instante em que o centro de massa atinge o ponto mais baixo.
a) A altura do centro de massa da lata (incluindo o conteúdo) inicialmente, isto é, quando a lata está cheia.
b) A altura do centro de massa depois que a lata ficar vazia.
c) O que acontece com a altura do centro de massa
d) Se
Dados fornecidos (vou escrever todos explicitamente):
(massa da lata vazia),
(altura total da lata),
(massa do refrigerante quando a lata está cheia).
Observação: a perda de massa da lata por pequenos furos é desprezível, ou seja, a massa da carcaça metálica permanece
. A massa do refrigerante remanescente quando a coluna tem altura
será proporcional a
(assumimos densidade uniforme).
A partir daqui eu começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Conceitos básicos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Centro de massa de um sistema de partículas ou corpos compostos: se temos partes com massas
localizadas em alturas (medidas a partir da mesma referência, aqui a base da lata), a posição do centro de massa é
Isto é só uma média ponderada das posições, ponderada pelas massas.
- Centro de massa da lata (carcaça), por simetria: a lata é homogênea em altura, então o centro de massa da lata vazia está no meio da altura. Assim a posição do centro da lata é
- Centro de massa do refrigerante quando ocupa uma coluna de altura
(medida a partir da base): para uma coluna de líquido de altura e densidade uniforme, o centro de massa do líquido está no meio da coluna, isto é,
- Massa do refrigerante quando a coluna tem altura
: a massa é proporcional à altura ocupada, logo
Esta relação vem do fato de que quando
temos
, e a proporcionalidade com
é linear.
Com essas fórmulas já podemos montar a expressão do centro de massa do sistema lata+líquido para uma dada
.
Passo 3
Montando a expressão de
quando há altura
de refrigerante:
Usando a fórmula da média ponderada,
Substituindo
,
e
, obtemos
Posso simplificar um pouco a expressão, mas por enquanto vale tê-la assim para usar em casos particulares.
Passo 4
a) Caso inicial: lata cheia, ou seja
.
Substituindo
em
:
Ou seja, inicialmente o centro de massa do conjunto está no meio da altura. Numericamente,
Comentário amigável: faz sentido — quando a lata está cheia, tanto a carcaça quanto o líquido têm seus centros no meio, então o combinado também fica no meio.
Passo 5
b) Caso vazio:
.
Se
então
e sobra apenas a lata. Logo
Comentário: portanto o centro de massa inicial (cheia) e final (vazia) coincidem na metade da altura. Mas isso não diz ainda o que acontece durante o esvaziamento — pode haver um deslocamento intermediário.
Passo 6
c) Comportamento de
enquanto o refrigerante drena.
Primeiro vamos estudar a função
para
. Reescrevendo a expressão de forma compacta (para facilitar diferenciação), defina o numerador
e o denominador
:
assim
Para saber se
sobe ou desce à medida que
muda, calculamos a derivada
. Usando a regra do quociente,
Calculemos as derivadas parciais:
Substituindo em
obtemos no numerador a expressão
Assim o sinal de
é o sinal de
.
Uma observação elegante: note que
portanto a condição de ponto crítico
(i.e. numerador zero) reduz-se a
Logo os pontos críticos ocorrem quando
Interpretacão física rápida: o extremo ocorre quando a posição do centro de massa coincide com a altura
do topo do líquido (ou seja, o centro de massa está exatamente na superfície livre do líquido).
Agora, avaliando as bordas: em
temos
e em
temos
. Como em ambos extremos
, e existe um ponto crítico interior onde
, isso indica que
desce a partir de
, atinge um mínimo quando
, e depois sobe de volta para
ao esvaziar completamente. Em palavras: o centro de massa primeiro desce, alcança um ponto mais baixo, e depois sobe até o valor final.
Passo 7
d) Determinar
no instante em que o centro de massa é mínimo (ou seja, resolver
).
Começamos da igualdade
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Multiplicando todos os termos por
para eliminar denominadores:
Reorganizando todos os termos para um lado:
Isto é uma equação quadrática em
:
Agora substituímos os valores numéricos (mantendo
em
para obter
em
):
,
,
.
Coeficientes:
A solução positiva da quadrática é (fórmula de Bhaskara)
Calculemos o discriminante:
Logo
Assim
A outra raiz é negativa (desprezível fisicamente), por isso a única solução física é
.
Como nos passos anteriores vimos que no ponto crítico vale
, isso também dá a altura do centro de massa mais baixo:
Resposta
(a)
(b)
(c) Enquanto o refrigerante drena, primeiro desce, atinge um mínimo interno e depois sobe novamente até
quando a lata fica vazia.
(d)
(b)
(c) Enquanto o refrigerante drena,
(d)