Uma lata cilíndrica homogênea tem massa \mathrm{m}_{\mathrm{L}}=0,14 \mathrm{~kg}, altura \mathrm{H}=12 \mathrm{~cm} e contém \mathrm{m}_{\mathrm{R}}=0,354 \mathrm{~kg} de refrigerante. Pequenos furos são feitos na base (com perda de massa desprezível) para drenar o líquido. Qual é a altura h do centro de massa da lata (incluindo o conteúdo)
a) inicialmente.
b) após a lata ficar vazia?
c) O que acontece com h enquanto o refrigerante está sendo drenado?
d) Se x é a altura do refrigerante que ainda resta na lata em um dado instante, determine o valor de x no instante em que o centro de massa atinge o ponto mais baixo.

Passo 1

Vou explicar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
O enunciado pede:
a) A altura do centro de massa da lata (incluindo o conteúdo) inicialmente, isto é, quando a lata está cheia.
b) A altura do centro de massa depois que a lata ficar vazia.
c) O que acontece com a altura do centro de massa h enquanto o refrigerante está sendo drenado (ou seja, qual é a tendência: sobe, desce, tem mínimo, etc.).
d) Se x é a altura do refrigerante que ainda resta na lata em um dado instante, determinar o valor de x no instante em que o centro de massa atinge o ponto mais baixo.
Dados fornecidos (vou escrever todos explicitamente):
\mathrm{m}_L = 0,14\\ \mathrm{kg} (massa da lata vazia),
\mathrm{H} = 12\\ \mathrm{cm} (altura total da lata),
\mathrm{m}_R = 0,354\\ \mathrm{kg} (massa do refrigerante quando a lata está cheia).
Observação: a perda de massa da lata por pequenos furos é desprezível, ou seja, a massa da carcaça metálica permanece \mathrm{m}_L. A massa do refrigerante remanescente quando a coluna tem altura x será proporcional a x (assumimos densidade uniforme).
A partir daqui eu começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Conceitos básicos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Centro de massa de um sistema de partículas ou corpos compostos: se temos partes com massas m_i localizadas em alturas z_i (medidas a partir da mesma referência, aqui a base da lata), a posição do centro de massa h é
h=\frac{\sum_i m_i z_i}{\sum_i m_i}.
Isto é só uma média ponderada das posições, ponderada pelas massas.
  • Centro de massa da lata (carcaça), por simetria: a lata é homogênea em altura, então o centro de massa da lata vazia está no meio da altura. Assim a posição do centro da lata é
z_{\text{lata}}=\frac{\mathrm{H}}{2}.
  • Centro de massa do refrigerante quando ocupa uma coluna de altura x (medida a partir da base): para uma coluna de líquido de altura x e densidade uniforme, o centro de massa do líquido está no meio da coluna, isto é,
z_{\text{líq}}=\frac{x}{2}.í
  • Massa do refrigerante quando a coluna tem altura x: a massa é proporcional à altura ocupada, logo
m(x)=\mathrm{m}_R\frac{x}{\mathrm{H}}.
Esta relação vem do fato de que quando x=\mathrm{H} temos m(x)=\mathrm{m}_R, e a proporcionalidade com x é linear.
Com essas fórmulas já podemos montar a expressão do centro de massa do sistema lata+líquido para uma dada x.

Passo 3

Montando a expressão de h quando há altura x de refrigerante:
Usando a fórmula da média ponderada,
h(x)=\frac{\mathrm{m}_L\cdot z_{\text{lata}} + m(x)\cdot z_{\text{líq}}}{\mathrm{m}_L + m(x)}.í
Substituindo z_{\text{lata}}=\dfrac{\mathrm{H}}{2}, z_{\text{líq}}=\dfrac{x}{2}í e m(x)=\mathrm{m}_R\dfrac{x}{\mathrm{H}}, obtemos
h(x)=\frac{\mathrm{m}_L\cdot\frac{\mathrm{H}}{2} + \left(\mathrm{m}_R\frac{x}{\mathrm{H}}\right)\cdot\frac{x}{2}}{\mathrm{m}_L + \mathrm{m}_R\frac{x}{\mathrm{H}}}.
Posso simplificar um pouco a expressão, mas por enquanto vale tê-la assim para usar em casos particulares.

Passo 4

a) Caso inicial: lata cheia, ou seja x=\mathrm{H}.
Substituindo x=\mathrm{H} em h(x):
h(\mathrm{H})=\frac{\mathrm{m}_L\cdot\frac{\mathrm{H}}{2} + \left(\mathrm{m}_R\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{H}}\right)\cdot\frac{\mathrm{H}}{2}}{\mathrm{m}_L + \mathrm{m}_R\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{H}}} =\frac{\mathrm{m}_L\frac{\mathrm{H}}{2} + \mathrm{m}_R\frac{\mathrm{H}}{2}}{\mathrm{m}_L + \mathrm{m}_R} =\frac{(\mathrm{m}_L+\mathrm{m}_R)\frac{\mathrm{H}}{2}}{\mathrm{m}_L+\mathrm{m}_R}=\frac{\mathrm{H}}{2}.
Ou seja, inicialmente o centro de massa do conjunto está no meio da altura. Numericamente,
\frac{\mathrm{H}}{2}=\frac{12\\ \mathrm{cm}}{2}=6\\ \mathrm{cm}.
Comentário amigável: faz sentido — quando a lata está cheia, tanto a carcaça quanto o líquido têm seus centros no meio, então o combinado também fica no meio.

Passo 5

b) Caso vazio: x=0.
Se x=0 então m(0)=0 e sobra apenas a lata. Logo
h(0)=z_{\text{lata}}=\frac{\mathrm{H}}{2}=6\\ \mathrm{cm}.
Comentário: portanto o centro de massa inicial (cheia) e final (vazia) coincidem na metade da altura. Mas isso não diz ainda o que acontece durante o esvaziamento — pode haver um deslocamento intermediário.

Passo 6

c) Comportamento de h(x) enquanto o refrigerante drena.
Primeiro vamos estudar a função h(x) para 0\le x\le\mathrm{H}. Reescrevendo a expressão de forma compacta (para facilitar diferenciação), defina o numerador N(x) e o denominador D(x):
N(x)=\mathrm{m}_L\frac{\mathrm{H}}{2} + \frac{\mathrm{m}_R x^2}{2\mathrm{H}},\qquad D(x)=\mathrm{m}_L + \frac{\mathrm{m}_R x}{\mathrm{H}},
assim
h(x)=\frac{N(x)}{D(x)}.
Para saber se h(x) sobe ou desce à medida que x muda, calculamos a derivada h'(x). Usando a regra do quociente,
h'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^2}.
Calculemos as derivadas parciais:
N'(x)=\frac{\mathrm{m}_R x}{\mathrm{H}},\qquad D'(x)=\frac{\mathrm{m}_R}{\mathrm{H}}.
Substituindo em h'(x) obtemos no numerador a expressão
N'(x)D(x)-N(x)D'(x)=\frac{\mathrm{m}_R x}{\mathrm{H}}D(x)-N(x)\frac{\mathrm{m}_R}{\mathrm{H}}=\frac{\mathrm{m}_R}{\mathrm{H}}\big( xD(x)-N(x)\big).
Assim o sinal de h'(x) é o sinal de xD(x)-N(x).
Uma observação elegante: note que
\frac{N(x)}{D(x)}=h(x),
portanto a condição de ponto crítico h'(x)=0 (i.e. numerador zero) reduz-se a
x=\frac{N(x)}{D(x)}=h(x).
Logo os pontos críticos ocorrem quando
x=h(x).
Interpretacão física rápida: o extremo ocorre quando a posição do centro de massa coincide com a altura x do topo do líquido (ou seja, o centro de massa está exatamente na superfície livre do líquido).
Agora, avaliando as bordas: em x=\mathrm{H} temos h(\mathrm{H})=\mathrm{H}/2 e em x=0 temos h(0)=\mathrm{H}/2. Como em ambos extremos h=\mathrm{H}/2, e existe um ponto crítico interior onde x=h, isso indica que h(x) desce a partir de 6\\ \mathrm{cm}, atinge um mínimo quando x=h, e depois sobe de volta para 6\\ \mathrm{cm} ao esvaziar completamente. Em palavras: o centro de massa primeiro desce, alcança um ponto mais baixo, e depois sobe até o valor final.

Passo 7

d) Determinar x no instante em que o centro de massa é mínimo (ou seja, resolver x=h(x)).
Começamos da igualdade x=\dfrac{N(x)}{D(x)}. Multiplicando ambos os lados por D(x) obtemos
x\big(\mathrm{m}_L + \frac{\mathrm{m}_R x}{\mathrm{H}}\big)=\mathrm{m}_L\frac{\mathrm{H}}{2} + \frac{\mathrm{m}_R x^2}{2\mathrm{H}}.
Multiplicando todos os termos por 2\mathrm{H} para eliminar denominadores:
2\mathrm{H} x\mathrm{m}_L + 2\mathrm{m}_R x^2 = \mathrm{m}_L\mathrm{H}^2 + \mathrm{m}_R x^2.
Reorganizando todos os termos para um lado:
\mathrm{m}_R x^2 + 2\mathrm{m}_L\mathrm{H} x - \mathrm{m}_L\mathrm{H}^2 = 0.
Isto é uma equação quadrática em x:
\mathrm{m}_R x^2 + 2\mathrm{m}_L\mathrm{H}\,x - \mathrm{m}_L\mathrm{H}^2 = 0.
Agora substituímos os valores numéricos (mantendo \mathrm{H} em \mathrm{cm} para obter x em \mathrm{cm}):
\mathrm{m}_L=0,14, \mathrm{m}_R=0,354, \mathrm{H}=12.
Coeficientes:
a=\mathrm{m}_R=0,354,\qquad b=2\mathrm{m}_L\mathrm{H}=2\cdot 0,14\cdot 12=3,36,
c=-\mathrm{m}_L\mathrm{H}^2=-0,14\cdot 144=-20,16.
A solução positiva da quadrática é (fórmula de Bhaskara)
x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Calculemos o discriminante:
\Delta=b^2-4ac=3,36^2-4(0,354)(-20,16)=11,2896+28,54656=39,83616.
Logo
\sqrt{\Delta}\approx 6,311.
Assim
x=\frac{-3,36+6,311}{2\cdot 0,354}=\frac{2,951}{0,708}\approx 4,17\\ \mathrm{cm}.
A outra raiz é negativa (desprezível fisicamente), por isso a única solução física é x\approx 4,17\\ \mathrm{cm}.
Como nos passos anteriores vimos que no ponto crítico vale x=h, isso também dá a altura do centro de massa mais baixo:
h_{\min}=x\approx 4,17\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) h_{\text{inicial}}=6\\ \mathrm{cm}.
(b) h_{\text{vazia}}=6\\ \mathrm{cm}.
(c) Enquanto o refrigerante drena, h primeiro desce, atinge um mínimo interno e depois sobe novamente até 6\\ \mathrm{cm} quando a lata fica vazia.
(d) x\approx 4,17\\ \mathrm{cm}.

Exercícios relacionados