(Tipler cap 8 Ex 86) O corpo A, com massa m e velocidade v_{0} \hat{\imath} colide com o B, com massa 2 m e velocidade \frac{v_{0}}{2} \hat{\jmath} Após a colisão, o corpo B uma velocidade de \frac{v_{0}}{2} \hat{\imath}. (a) Determine a velocidade do corpo A após a colisão. (b) A colisão é elástica? Se não, escreva a variação da energia cinética em termos de me de $v_{0}.

Passo 1

O enunciado dá dois corpos que colidem. Precisamos listar o que foi informado e o que é pedido.
Dados:
  • Massa do corpo A: m.
  • Massa do corpo B: 2m.
  • Velocidade inicial do corpo A: \,v_{0}\,\hat{\imath}.
  • Velocidade inicial do corpo B: \,\dfrac{v_{0}}{2}\,\hat{\jmath}.
  • Velocidade final do corpo B (após a colisão): \,\dfrac{v_{0}}{2}\,\hat{\imath}.
Perguntas:
(a) Determinar a velocidade final do corpo A (ou seja, encontrar o vetor velocidade de A após a colisão).
(b) Determinar se a colisão é elástica; se não for, expressar a variação da energia cinética em termos de m e v_{0}.

Passo 2

Princípio que vamos usar: conservação do momento linear total (vetorial) do sistema. Expliquei o porquê e a fórmula:
  • Por que usar? Porque durante a colisão as forças internas entre A e B trocam momento entre eles, mas não há (no enunciado) forças externas que deem impulso ao sistema total, portanto o momento linear total do sistema A+B é conservado.
  • Fórmula vetorial da conservação do momento:
\vec{p}_{\text{inicial}}=\vec{p}_{\text{final}}.
Aqui \vec{p} é o momento linear total, dado por somar momentos de cada corpo: \vec{p}= \sum m_i \vec{v}_i.
Vou aplicar a conservação componente a componente (direção x e direção y). Isso é permitido porque igualdade vetorial significa igualdade nas componentes.

Passo 3

Calcular o momento inicial do sistema (componentes x e y).
Momento inicial do corpo A:
\vec{p}_{A,i}=m\,(v_{0}\,\hat{\imath})=(m v_{0})\,\hat{\imath}.
Momento inicial do corpo B:
\vec{p}_{B,i}=2m\left(\dfrac{v_{0}}{2}\,\hat{\jmath}\right)=2m\cdot\dfrac{v_{0}}{2}\,\hat{\jmath}=(m v_{0})\,\hat{\jmath}.
Somando,
\vec{p}_{\text{inicial}}=(m v_{0})\,\hat{\imath} + (m v_{0})\,\hat{\jmath}.

Passo 4

Escrever o momento final em função da velocidade desconhecida de A e da velocidade final conhecida de B.
Seja a velocidade final do corpo A \,\vec{v}_{A,f}=v'_{x}\,\hat{\imath}+v'_{y}\,\hat{\jmath}, onde v'_{x} e v'_{y} são as componentes x e y que queremos achar.
Momento final do corpo A:
\vec{p}_{A,f}=m\,(v'_{x}\,\hat{\imath}+v'_{y}\,\hat{\jmath})=(m v'_{x})\,\hat{\imath} + (m v'_{y})\,\hat{\jmath}.
Momento final do corpo B (dado no enunciado):
\vec{p}_{B,f}=2m\left(\dfrac{v_{0}}{2}\,\hat{\imath}\right)= (m v_{0})\,\hat{\imath}.
Somando os momentos finais,
\vec{p}_{\text{final}}=(m v'_{x} + m v_{0})\,\hat{\imath} + (m v'_{y})\,\hat{\jmath}.

Passo 5

Igualar momento inicial e final componente a componente para obter equações para v'_{x} e v'_{y}.
Da igualdade vetorial \vec{p}_{\text{inicial}}=\vec{p}_{\text{final}} temos nas componentes:
Componente x:
m v_{0} = m v'_{x} + m v_{0}.
Simplificando dividindo por m:
v_{0} = v'_{x} + v_{0} \quad\Rightarrow\quad v'_{x}=0.
Componente y:
m v_{0} = m v'_{y}.
Simplificando por m:
v_{0} = v'_{y} \quad\Rightarrow\quad v'_{y}=v_{0}.

Passo 6

Concluir a velocidade final do corpo A e interpretar o resultado.
As componentes encontradas dão
\vec{v}_{A,f}=v'_{x}\,\hat{\imath}+v'_{y}\,\hat{\jmath}=0\cdot\hat{\imath}+v_{0}\,\hat{\jmath}=v_{0}\,\hat{\jmath}.
Então o corpo A, que vinha inicialmente em x, sai após a colisão movendo-se puramente na direção y com velocidade v_{0}.

Passo 7

Verificar conservação de energia cinética (para decidir se a colisão é elástica). Primeiro a fórmula e o que cada símbolo significa:
  • Energia cinética de uma partícula: K=\dfrac{1}{2} m v^{2}, onde m é a massa da partícula e v é o módulo da velocidade.
Calculemos energia cinética inicial K_{i} e final K_{f}.
Energia inicial:
  • Para A: K_{A,i}=\dfrac{1}{2} m v_{0}^{2}.
  • Para B: K_{B,i}=\dfrac{1}{2}(2m)\left(\dfrac{v_{0}}{2}\right)^{2} = m\cdot\dfrac{v_{0}^{2}}{4}.
Somando,
K_{i}=\dfrac{1}{2} m v_{0}^{2} + m\dfrac{v_{0}^{2}}{4} = \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right) m v_{0}^{2} = \dfrac{3}{4}\,m v_{0}^{2}.
Energia final (usando \vec{v}_{A,f}=v_{0}\,\hat{\jmath} e \vec{v}_{B,f}=\dfrac{v_{0}}{2}\,\hat{\imath}):
  • Para A: K_{A,f}=\dfrac{1}{2} m v_{0}^{2}.
  • Para B: K_{B,f}=\dfrac{1}{2}(2m)\left(\dfrac{v_{0}}{2}\right)^{2} = m\dfrac{v_{0}^{2}}{4} (igual ao caso inicial, pois a velocidade escalar de B continua v_{0}/2).
Somando,
K_{f}=\dfrac{1}{2} m v_{0}^{2} + m\dfrac{v_{0}^{2}}{4} = \dfrac{3}{4}\,m v_{0}^{2}.
Observação: K_{f}=K_{i}.

Passo 8

Conclusão sobre elasticidade e variação de energia cinética.
Como K_{f}=K_{i}, a energia cinética total do sistema foi conservada durante a colisão. Por definição, isso significa que a colisão é elástica.
A variação da energia cinética é
\Delta K = K_{f}-K_{i} = 0.

Resposta

(a) \vec{v}_{A,f}=v_{0}\,\hat{\jmath}.
(b) A colisão é elástica; \Delta K=0.

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