(Tipler cap 8 Ex 86) O corpo A, com massa m e velocidade
colide com o B, com massa 2 m e velocidade
Após a colisão, o corpo B uma velocidade de
. (a) Determine a velocidade do corpo A após a colisão. (b) A colisão é elástica? Se não, escreva a variação da energia cinética em termos de me de $v_{0}.
Passo 1
O enunciado dá dois corpos que colidem. Precisamos listar o que foi informado e o que é pedido.
Dados:
- Massa do corpo A:
. - Massa do corpo B:
. - Velocidade inicial do corpo A:
. - Velocidade inicial do corpo B:
. - Velocidade final do corpo B (após a colisão):
.
Perguntas:
(a) Determinar a velocidade final do corpo A (ou seja, encontrar o vetor velocidade de A após a colisão).
(b) Determinar se a colisão é elástica; se não for, expressar a variação da energia cinética em termos de e
.
(a) Determinar a velocidade final do corpo A (ou seja, encontrar o vetor velocidade de A após a colisão).
(b) Determinar se a colisão é elástica; se não for, expressar a variação da energia cinética em termos de
Passo 2
Princípio que vamos usar: conservação do momento linear total (vetorial) do sistema. Expliquei o porquê e a fórmula:
-
Por que usar? Porque durante a colisão as forças internas entre A e B trocam momento entre eles, mas não há (no enunciado) forças externas que deem impulso ao sistema total, portanto o momento linear total do sistema A+B é conservado.
-
Fórmula vetorial da conservação do momento:
Aqui
é o momento linear total, dado por somar momentos de cada corpo:
.
Vou aplicar a conservação componente a componente (direção
e direção
). Isso é permitido porque igualdade vetorial significa igualdade nas componentes.
Passo 3
Calcular o momento inicial do sistema (componentes
e
).
Momento inicial do corpo A:
Momento inicial do corpo B:
Somando,
Passo 4
Escrever o momento final em função da velocidade desconhecida de A e da velocidade final conhecida de B.
Seja a velocidade final do corpo A
, onde
e
são as componentes
e
que queremos achar.
Momento final do corpo A:
Momento final do corpo B (dado no enunciado):
Somando os momentos finais,
Passo 5
Igualar momento inicial e final componente a componente para obter equações para
e
.
Da igualdade vetorial
temos nas componentes:
Componente
:
Simplificando dividindo por
:
Componente
:
Simplificando por
:
Passo 6
Concluir a velocidade final do corpo A e interpretar o resultado.
As componentes encontradas dão
Então o corpo A, que vinha inicialmente em
, sai após a colisão movendo-se puramente na direção
com velocidade
.
Passo 7
Verificar conservação de energia cinética (para decidir se a colisão é elástica). Primeiro a fórmula e o que cada símbolo significa:
- Energia cinética de uma partícula:
, onde é a massa da partícula e é o módulo da velocidade.
Calculemos energia cinética inicial
e final
.
Energia inicial:
- Para A:
. - Para B:
.
Somando,
Energia final (usando
e
):
- Para A:
. - Para B:
(igual ao caso inicial, pois a velocidade escalar de B continua ).
Somando,
Observação:
.
Passo 8
Conclusão sobre elasticidade e variação de energia cinética.
Como
, a energia cinética total do sistema foi conservada durante a colisão. Por definição, isso significa que a colisão é elástica.
A variação da energia cinética é
Resposta
(a)
(b) A colisão é elástica;