Colocar os limites de integração, em uma ou outra ordem, na integral dupla:
\iint_{(S,} f(x ; y) d x d y para os campos S seguintes:
S é um trapézio com vértices O(0 ; 0), A(2 ; 0), B(1 ; 1) e C(0 ; 1).

Passo 1

O que o enunciado pede: colocar os limites de integração, em uma ordem e na ordem trocada, para a integral dupla
\iint_{S} f(x;y)\,dx\,dy
onde S é o trapézio com vértices O(0;0), A(2;0), B(1;1) e C(0;1).
Informações dadas (coordenadas dos vértices):
O(0,0),\quad A(2,0),\quad B(1,1),\quad C(0,1).
O objetivo concreto: escrever a integral iterada com ordem dx\,dy e também com ordem dy\,dx (se necessário, podendo dividir em partes quando os limites dependem de intervalos diferentes).

Passo 2

Identificar as arestas do trapézio e suas equações (vou achar as retas que limitam S).
  • A aresta OA une (0,0) a (2,0). É a reta horizontal
y=0.
  • A aresta BC une (1,1) a (0,1). É a reta horizontal
y=1.
  • A aresta OC une (0,0) a (0,1). É a reta vertical
x=0.
  • A aresta AB une (2,0) a (1,1). A inclinação é
m=\frac{1-0}{1-2}=-1,
passando por (2,0). A equação é
y=-x+2.
Resumo das fronteiras: entre y=0 e y=1, a esquerda temos x=0 e a direita a reta y=-x+2 (ou x=2-y) — vamos usar essas formas para montar os limites.

Passo 3

Montar a integral com ordem dx\,dy (integrar em x primeiro, depois em y).
Para um y fixo com 0\le y\le 1, o x varia da vertical esquerda x=0 até a reta direita obtida isolando x em y=-x+2:
x=2-y.
Portanto os limites são:
0\le y\le 1,\qquad 0\le x\le 2-y.
A integral iterada fica
\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{2-y} f(x;y)\,dx\right)dy.

Passo 4

Montar a integral com ordem dy\,dx (integrar em y primeiro, depois em x).
Agora fixamos um x e determinamos os valores de y entre a borda inferior e a superior. O intervalo de x no trapézio vai de x=0 até x=2. Porém a borda superior muda de forma em x=1: para 0\le x\le 1 a borda superior é a linha horizontal y=1; para 1\le x\le 2 a borda superior é a reta inclinada y=-x+2. A borda inferior é sempre y=0.
Assim dividimos o integral em duas partes:
  • Para 0\le x\le 1: y vai de 0 até 1.
  • Para 1\le x\le 2: y vai de 0 até -x+2.
Portanto a integral na ordem dy\,dx é a soma
\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{1} f(x;y)\,dy\right)dx \;+\; \int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=0}^{-x+2} f(x;y)\,dy\right)dx.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (pra você não se enrolar): sempre desenhe o polígono, identifique para cada ordem qual é a variável “externa” (a que dá o intervalo global) e qual é a “interna” (cujo limite depende da outra variável). Se a fronteira superior/inferior muda, divida o integral em fatias (como fizemos para dy\,dx). Isso garante evitar erros de limites.

Resposta

\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{2-y} f(x;y)\,dx\right)dy
\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{1} f(x;y)\,dy\right)dx \;+\; \int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=0}^{-x+2} f(x;y)\,dy\right)dx

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