Colocar os limites de integração, em uma ou outra ordem, na integral dupla:
para os campos S seguintes:
S é um trapézio com vértices
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: colocar os limites de integração, em uma ordem e na ordem trocada, para a integral dupla
onde
é o trapézio com vértices
,
,
e
.
Informações dadas (coordenadas dos vértices):
O objetivo concreto: escrever a integral iterada com ordem
e também com ordem
(se necessário, podendo dividir em partes quando os limites dependem de intervalos diferentes).
Passo 2
Identificar as arestas do trapézio e suas equações (vou achar as retas que limitam
).
- A aresta
une a . É a reta horizontal
- A aresta
une a . É a reta horizontal
- A aresta
une a . É a reta vertical
- A aresta
une a . A inclinação é
passando por
. A equação é
Resumo das fronteiras: entre
e
, a esquerda temos
e a direita a reta
(ou
) — vamos usar essas formas para montar os limites.
Passo 3
Montar a integral com ordem
(integrar em
primeiro, depois em
).
Para um
fixo com
, o
varia da vertical esquerda
até a reta direita obtida isolando
em
:
Portanto os limites são:
A integral iterada fica
Passo 4
Montar a integral com ordem
(integrar em
primeiro, depois em
).
Agora fixamos um
e determinamos os valores de
entre a borda inferior e a superior. O intervalo de
no trapézio vai de
até
. Porém a borda superior muda de forma em
: para
a borda superior é a linha horizontal
; para
a borda superior é a reta inclinada
. A borda inferior é sempre
.
Assim dividimos o integral em duas partes:
- Para
: vai de até . - Para
: vai de até .
Portanto a integral na ordem
é a soma
Passo 5
Dicas rápidas para a prova (pra você não se enrolar): sempre desenhe o polígono, identifique para cada ordem qual é a variável “externa” (a que dá o intervalo global) e qual é a “interna” (cujo limite depende da outra variável). Se a fronteira superior/inferior muda, divida o integral em fatias (como fizemos para
). Isso garante evitar erros de limites.