Uma colônia de bactérias inicia com 2.000 bactérias e triplica a cada hora. Após 5 horas, os cientistas aplicam um antibiótico que elimina
da população naquele instante. A partir daí, as bactérias continuam se multiplicando normalmente, triplicando a cada hora. Qual será o número de bactérias ao final de 8 horas de experimento?
a) 2.624 .400
b) 4.788 .000
c) 5.904 .000
d) 6.912 .000
a) 2.624 .400
b) 4.788 .000
c) 5.904 .000
d) 6.912 .000
Passo 1
O enunciado pergunta qual será o número de bactérias ao final de 8 horas, dadas as seguintes informações:
- População inicial:
bactérias. - As bactérias triplicam a cada hora (ou seja, a cada hora a população é multiplicada por
). - Após
horas, é aplicado um antibiótico que elimina da população naquele instante. - Depois da aplicação, as bactérias continuam a triplicar a cada hora normalmente.
A tarefa é calcular o número de bactérias no instantehoras e identificar a alternativa correta entre as opções dadas.
Passo 2
Entendendo o modelo de multiplicação: quando uma população “triplica a cada hora”, isso significa que a cada hora multiplicamos por
. Se
é a população inicial e
é o número de horas (inteiras), a população após
horas, sem intervenções, é dada por
onde
é o número inicial e
representa o fator de multiplicação acumulado (por exemplo,
se for 2 horas, etc.). Aqui
.
Passo 3
Calcular a população exatamente antes da aplicação do antibiótico (ou seja, após
horas, sem considerar ainda o antibiótico):
Vamos calcular
. Sabendo
,
,
e
. Então
Fazendo a multiplicação sem calculadora:
.
Portanto, imediatamente antes do antibiótico havia bactérias.
Portanto, imediatamente antes do antibiótico havia
Passo 4
Aplicação do antibiótico: elimina
da população instantânea. Se
é eliminado, sobra
, ou seja, a fração remanescente é
(em notação decimal com vírgula:
). Então a população logo após o antibiótico é
Calculemos: multiplicar por
é o mesmo que dividir por
, então
.
Logo, após o antibiótico restaram bactérias.
Logo, após o antibiótico restaram
Passo 5
Agora as bactérias continuam a triplicar normalmente por mais tempo. Desde
até
há mais
horas. Então aplicamos o fator
sobre a população remanescente:
Sabendo
, temos
Para multiplicar sem calculadora:
Somando:
Passo 6
Verificação alternativa (álgebra): podemos combinar as potências de
. Desde o início até
houve
multiplicações por
, mas com a interrupção que deixou apenas
no instante
. Escrita direta:
Como
e
, obtemos
, confirmando o resultado.
Resposta
(a)