Uma colônia de bactérias inicia com 2.000 bactérias e triplica a cada hora. Após 5 horas, os cientistas aplicam um antibiótico que elimina 80 \% da população naquele instante. A partir daí, as bactérias continuam se multiplicando normalmente, triplicando a cada hora. Qual será o número de bactérias ao final de 8 horas de experimento?
a) 2.624 .400
b) 4.788 .000
c) 5.904 .000
d) 6.912 .000

Passo 1

O enunciado pergunta qual será o número de bactérias ao final de 8 horas, dadas as seguintes informações:
  • População inicial: 2\,000 bactérias.
  • As bactérias triplicam a cada hora (ou seja, a cada hora a população é multiplicada por 3).
  • Após 5 horas, é aplicado um antibiótico que elimina 80\% da população naquele instante.
  • Depois da aplicação, as bactérias continuam a triplicar a cada hora normalmente.
    A tarefa é calcular o número de bactérias no instante t=8 horas e identificar a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

Entendendo o modelo de multiplicação: quando uma população “triplica a cada hora”, isso significa que a cada hora multiplicamos por 3. Se N_0 é a população inicial e t é o número de horas (inteiras), a população após t horas, sem intervenções, é dada por
N(t)=N_0\cdot 3^{t},
onde N_0 é o número inicial e 3^{t} representa o fator de multiplicação acumulado (por exemplo, 3^2=9 se for 2 horas, etc.). Aqui N_0=2\,000.

Passo 3

Calcular a população exatamente antes da aplicação do antibiótico (ou seja, após 5 horas, sem considerar ainda o antibiótico):
N(5)=2\,000\cdot 3^{5}.
Vamos calcular 3^{5}. Sabendo 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81 e 3^5=243. Então
N(5)=2\,000\cdot 243.
Fazendo a multiplicação sem calculadora: 2\,000\cdot 243 = 2\cdot 243 \cdot 1\,000 = 486\cdot 1\,000 = 486\,000.
Portanto, imediatamente antes do antibiótico havia 486\,000 bactérias.

Passo 4

Aplicação do antibiótico: elimina 80\% da população instantânea. Se 80\% é eliminado, sobra 100\%-80\%=20\%, ou seja, a fração remanescente é 0,2 (em notação decimal com vírgula: 0,2). Então a população logo após o antibiótico é
N_{\text{após}} = 486\,000 \cdot 0,2.ó
Calculemos: multiplicar por 0,2 é o mesmo que dividir por 5, então 486\,000/5 = 97\,200.
Logo, após o antibiótico restaram 97\,200 bactérias.

Passo 5

Agora as bactérias continuam a triplicar normalmente por mais tempo. Desde t=5 até t=8 há mais 3 horas. Então aplicamos o fator 3^{3} sobre a população remanescente:
N(8)=97\,200\cdot 3^{3}.
Sabendo 3^{3}=27, temos
N(8)=97\,200\cdot 27.
Para multiplicar sem calculadora: 97\,200\cdot 27 = 97\,200\cdot(20+7)=97\,200\cdot20 + 97\,200\cdot7.
97\,200\cdot20 = 1\,944\,000,
97\,200\cdot7 = 680\,400.
Somando: 1\,944\,000 + 680\,400 = 2\,624\,400.

Passo 6

Verificação alternativa (álgebra): podemos combinar as potências de 3. Desde o início até t=8 houve 8 multiplicações por 3, mas com a interrupção que deixou apenas 20\% no instante 5. Escrita direta:
N(8)=2\,000\cdot 3^{5}\cdot 0,2 \cdot 3^{3} = 2\,000\cdot 0,2 \cdot 3^{8}.
Como 3^{8}=6\,561 e 2\,000\cdot 0,2 = 400, obtemos 400\cdot 6\,561 = 2\,624\,400, confirmando o resultado.

Resposta

(a) 2\,624\,400

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