- Coloque a equação diferencial indicada na forma (3) para cada ponto singular regular da equação. Identifique as funções
e
:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
e pede, para cada ponto singular regular da equação, que se coloque a equação na forma (3) e que se identifique as funções
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está escrita com coeficiente líder
. - Pontos onde esse coeficiente se anula são candidatos a pontos singulares.
- É preciso encontrar a forma (3) em torno de cada ponto singular regular e identificar
e .
Passo 2
Vamos achar os pontos singulares: um ponto
é singular se o coeficiente de
se anula em
. Aqui
portanto os pontos singulares são
e
.
Passo 3
Explico a definição prática que vamos usar (passo-a-passo, tipo receita de prova):
- Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por o coeficiente de
, isto é escrevemos
onde
- Um ponto
é um ponto singular regular se as funções e são analíticas (finita e sem polos) em . Isso é exatamente a condição usada para aplicar o método de Frobenius. - A “forma (3)” mencionada no enunciado corresponde à forma canônica para um ponto singular em torno de
:
com
e
analíticas em
. Nosso objetivo é escrever a equação assim para
e para
, e identificar
e
.
Passo 4
Primeiro verificamos regularidade em
usando
e
.
Calculemos
:
ou seja
, que é uma função inteira (analítica) em
.
Calculemos
:
que é também analítica em
(o denominador
é
em
, não zera). Logo
é um ponto singular regular.
Agora escrevemos explicitamente a equação na forma (3) centrada em
. Partimos da equação dada e multiplicamos ambos os lados por
para transformar o termo
em
:
Simplificando cada coeficiente:
Agora a equação está exatamente na forma
onde, portanto,
Observação:
e
são funções analíticas em
(no caso
é constante e
tem denominador
que não se anula em
).
Passo 5
Fazemos a mesma verificação para
.
Calculemos
:
que é finita em
(pois
em
vale
), portanto analítica em
.
Calculemos
:
que é polinomial e, portanto, analítica em
. Concluímos que
também é um ponto singular regular.
Agora escrevemos a equação na forma (3) centrada em
. Multiplicamos a equação original por
para transformar
em
:
Simplificando:
Colocando na forma
vemos que
Aqui
e
são analíticas em
(no ponto
o valor de
é finito).
Passo 6
Resumindo: encontramos os pontos singulares, verificamos que ambos são singulares regulares usando a definição via
e
, e reescrevemos a equação na forma (3) em torno de cada ponto, identificando explicitamente
e
. Ótimo — esses são os passos que a prova espera: encontrar os pontos singulares, checar regularidade e escrever na forma canônica para aplicar Frobenius depois (se for o próximo passo). Vai ficar tudo bem — respira e pratica mais alguns exemplos parecidos que isso vai entrar na cabeça rapidinho!
Resposta
Para
:
Para
: