1. Coloque a equação diferencial indicada na forma (3) para cada ponto singular regular da equação. Identifique as funções p(x) e q(x) :
\left(x^{2}-1\right) y^{\prime \prime}+5(x+1) y^{\prime}+\left(x^{2}-x\right) y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
\left(x^{2}-1\right)y''+5(x+1)y'+\left(x^{2}-x\right)y=0
e pede, para cada ponto singular regular da equação, que se coloque a equação na forma (3) e que se identifique as funções p(x) e q(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está escrita com coeficiente líder \,x^{2}-1.
  • Pontos onde esse coeficiente se anula são candidatos a pontos singulares.
  • É preciso encontrar a forma (3) em torno de cada ponto singular regular e identificar p(x) e q(x).

Passo 2

Vamos achar os pontos singulares: um ponto x_0 é singular se o coeficiente de y'' se anula em x_0. Aqui
x^{2}-1=(x-1)(x+1),
portanto os pontos singulares são \,x=1 e \,x=-1.

Passo 3

Explico a definição prática que vamos usar (passo-a-passo, tipo receita de prova):
  • Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por o coeficiente de y'', isto é escrevemos
y''+P(x)y'+Q(x)y=0,
onde
P(x)=\frac{5(x+1)}{x^{2}-1},\qquad Q(x)=\frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}.
  • Um ponto x_0 é um ponto singular regular se as funções (x-x_0)P(x) e (x-x_0)^{2}Q(x) são analíticas (finita e sem polos) em x_0. Isso é exatamente a condição usada para aplicar o método de Frobenius.
  • A “forma (3)” mencionada no enunciado corresponde à forma canônica para um ponto singular em torno de x_0:
(x-x_0)^{2}y''+(x-x_0)p(x)y'+q(x)y=0,
com p(x) e q(x) analíticas em x_0. Nosso objetivo é escrever a equação assim para x_0=1 e para x_0=-1, e identificar p(x) e q(x).

Passo 4

Primeiro verificamos regularidade em x=1 usando P(x) e Q(x).
Calculemos (x-1)P(x):
(x-1)P(x)=(x-1)\frac{5(x+1)}{x^{2}-1}=\frac{5(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=5,
ou seja (x-1)P(x)=5, que é uma função inteira (analítica) em x=1.
Calculemos (x-1)^{2}Q(x):
(x-1)^{2}Q(x)=(x-1)^{2}\frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}=(x-1)^{2}\frac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x(x-1)^{2}}{x+1},
que é também analítica em x=1 (o denominador x+1 é \,2 em x=1, não zera). Logo x=1 é um ponto singular regular.
Agora escrevemos explicitamente a equação na forma (3) centrada em x=1. Partimos da equação dada e multiplicamos ambos os lados por \dfrac{x-1}{x+1} para transformar o termo (x^{2}-1) em (x-1)^{2}:
\frac{x-1}{x+1}\bigl(x^{2}-1\bigr)y''+\frac{x-1}{x+1}\,5(x+1)y'+\frac{x-1}{x+1}\bigl(x^{2}-x\bigr)y=0.
Simplificando cada coeficiente:
(x-1)^{2}y''+5(x-1)y'+\frac{x(x-1)^{2}}{x+1}y=0.
Agora a equação está exatamente na forma
(x-1)^{2}y''+(x-1)p(x)y'+q(x)y=0,
onde, portanto,
p(x)=5,\qquad q(x)=\frac{x(x-1)^{2}}{x+1}.
Observação: p(x) e q(x) são funções analíticas em x=1 (no caso p(x) é constante e q(x) tem denominador x+1 que não se anula em x=1).

Passo 5

Fazemos a mesma verificação para x=-1.
Calculemos (x+1)P(x):
(x+1)P(x)=(x+1)\frac{5(x+1)}{x^{2}-1}=\frac{5(x+1)^{2}}{(x+1)(x-1)}=\frac{5(x+1)}{x-1},
que é finita em x=-1 (pois x-1 em x=-1 vale -2), portanto analítica em x=-1.
Calculemos (x+1)^{2}Q(x):
(x+1)^{2}Q(x)=(x+1)^{2}\frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}=(x+1)^{2}\frac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)}=x(x+1),
que é polinomial e, portanto, analítica em x=-1. Concluímos que x=-1 também é um ponto singular regular.
Agora escrevemos a equação na forma (3) centrada em x=-1. Multiplicamos a equação original por \dfrac{x+1}{x-1} para transformar (x^{2}-1) em (x+1)^{2}:
\frac{x+1}{x-1}\bigl(x^{2}-1\bigr)y''+\frac{x+1}{x-1}\,5(x+1)y'+\frac{x+1}{x-1}\bigl(x^{2}-x\bigr)y=0.
Simplificando:
(x+1)^{2}y''+\frac{5(x+1)^{2}}{x-1}y'+x(x+1)y=0.
Colocando na forma
(x+1)^{2}y''+(x+1)p(x)y'+q(x)y=0,
vemos que
p(x)=\frac{5(x+1)}{x-1},\qquad q(x)=x(x+1).
Aqui p(x) e q(x) são analíticas em x=-1 (no ponto x=-1 o valor de p(x) é finito).

Passo 6

Resumindo: encontramos os pontos singulares, verificamos que ambos são singulares regulares usando a definição via P(x) e Q(x), e reescrevemos a equação na forma (3) em torno de cada ponto, identificando explicitamente p(x) e q(x). Ótimo — esses são os passos que a prova espera: encontrar os pontos singulares, checar regularidade e escrever na forma canônica para aplicar Frobenius depois (se for o próximo passo). Vai ficar tudo bem — respira e pratica mais alguns exemplos parecidos que isso vai entrar na cabeça rapidinho!

Resposta

Para x_{0}=1: \;p(x)=5,\qquad q(x)=\dfrac{x(x-1)^{2}}{x+1}.
Para x_{0}=-1: \;p(x)=\dfrac{5(x+1)}{x-1},\qquad q(x)=x(x+1).

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