Determine duas soluções em séries de potência da equação diferencial indicada ao redor do ponto ordinário x=0 :
y^{\prime \prime}+x^{2} y^{\prime}+x y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + x^{2} y' + x y = 0
e pede: determinar duas soluções em séries de potência ao redor do ponto x=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais (logo analíticos) em torno de x=0.
  • Queremos duas soluções linearmente independentes em forma de série de potência centrada em x=0.
  • Não há condições iniciais: as duas constantes livres (coeficientes iniciais da série) serão os parâmetros que geram as duas soluções independentes.

Passo 2

Idéia do método (sem resolver ainda): vamos procurar uma solução na forma de série de potência centrada em 0,
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes a determinar. Vou calcular y' e y'', substituir na equação, igualar coeficientes de potências de x a zero e obter uma relação de recorrência entre os a_n.

Passo 3

Calcular y' e y'' a partir da série assumida.
Derivando termo a termo:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}.
É conveniente reindexar para potências x^n: colocando n\mapsto n+1 obtemos
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n}.
Derivando novamente,
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}.
Reindexando com n\mapsto n+2 para ter potências x^n:
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.

Passo 4

Substituir y, y', y'' na equação original.
Temos três termos:
y'':\quad \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n},
x^{2}y':\quad x^{2}\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n+2},
x y:\quad x\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1}.
Agora precisamos escrever tudo como soma em potências x^{n}. Reindexando os dois últimos somatórios:
Para x^{2}y': com m=n+2 (ou escrevendo n em lugar de m),
x^{2}y'=\sum_{n=2}^{\infty} (n-1) a_{n-1} x^{n}.
Para x y: com m=n+1,
x y=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n}.
Portanto a equação se torna
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} +\sum_{n=2}^{\infty} (n-1) a_{n-1} x^{n} +\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n}=0.

Passo 5

Juntar os somatórios e igualar coeficientes de x^{n} a zero para cada n\ge 0.
Observe que os somatórios cobrem faixas diferentes; vamos separar os casos n=0, n=1 e n\ge 2.
Para n=0: só contribui o primeiro somatório:
(0+2)(0+1)a_2 = 2 a_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_2 = 0.
Para n=1: contribuem o primeiro e o terceiro somatórios (o segundo começa em n=2):
(1+2)(1+1)a_3 + a_0 = 6 a_3 + a_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_3 = -\frac{a_0}{6}.
Para n\ge 2: todos os três somatórios contribuem; somando os coeficientes obtemos
(n+2)(n+1) a_{n+2} + (n-1) a_{n-1} + a_{n-1} = 0.
Como (n-1)a_{n-1}+a_{n-1}=n a_{n-1}, simplifica-se para
(n+2)(n+1) a_{n+2} + n a_{n-1} = 0.
Isolando a_{n+2},
a_{n+2} = -\frac{n}{(n+2)(n+1)}\, a_{n-1},\qquad n\ge 2.

Passo 6

Interpretação da recorrência: ela relaciona a_{n+2} com a_{n-1}, ou seja, conecta coeficientes de índices separados por 3. Isso gera três cadeias independentes de coeficientes, conforme o resto de n módulo 3:
  • a cadeia dos índices 0,3,6,9,\dots (controlada por a_0);
  • a cadeia dos índices 1,4,7,10,\dots (controlada por a_1);
  • a cadeia dos índices 2,5,8,11,\dots (controlada por a_2).
Mas já achamos a_2=0; aplicando a recorrência para essa cadeia veremos que todos os a_{3k+2} serão zero. Assim restam duas cadeias independentes: a gerada por a_0 e a gerada por a_1. Isso corresponde às duas constantes livres esperadas para uma equação de segunda ordem.

Passo 7

Vamos construir explicitamente os coeficientes iniciais e os primeiros termos das duas soluções independentes, escolhendo normalizações simples.
Solução 1: tomar a_0=1 e a_1=0.
  • Já temos a_2=0.
  • a_3 = -\dfrac{a_0}{6} = -\dfrac{1}{6}.
  • Usando a recorrência para n=4: a_6 vem de n=4 com a_{6} = -\dfrac{4}{6\cdot5} a_{3} = -\dfrac{4}{30}\,a_3. Como a_3=-1/6,
a_6 = -\frac{4}{30}\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{4}{180}=\frac{1}{45}.
  • Próximo termo a_9 usando a fórmula com n=7 (ou iterando a relação entre blocos de 3 índices): fica
a_9 = -\frac{7}{9\cdot8} a_6 = -\frac{7}{72}\cdot\frac{1}{45} = -\frac{7}{3240}.
Portanto os primeiros termos da série (com a_0=1) são
y_1(x)=1 - \frac{1}{6}x^{3} + \frac{1}{45}x^{6} - \frac{7}{3240}x^{9} + \cdots.
Solução 2: tomar a_0=0 e a_1=1.
  • a_2=0 como antes.
  • Para n=2 a recorrência dá a_4 = -\dfrac{2}{4\cdot3} a_1 = -\dfrac{2}{12}=\!-\dfrac{1}{6}.
  • Em seguida a_7 (aplicando a relação em dois passos) resulta em
a_7 = -\frac{4}{7\cdot6} a_4 = -\frac{4}{42}\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{63}.
Logo os primeiros termos (com a_1=1) são
y_2(x)=x - \frac{1}{6}x^{4} + \frac{1}{63}x^{7} + \cdots.

Passo 8

Podemos escrever a recorrência entre coeficientes separados por 3 de forma explícita. Para a cadeia dos múltiplos de 3, coloque n=3k+1 na fórmula a_{n+2} = -\dfrac{n}{(n+2)(n+1)} a_{n-1}. Assim obtemos para k\ge 0
a_{3(k+1)} = -\frac{3k+1}{(3k+3)(3k+2)}\, a_{3k}.
Isso permite calcular a_{3k} recursivamente a partir de a_0 por produto. Analogamente, para a cadeia com resto 1 (índices 3k+1),
a_{3(k+1)+1} = -\frac{3k+2}{(3k+4)(3k+3)}\, a_{3k+1}.
A cadeia com resto 2 é nula porque a_2=0 e a recorrência propaga zeros.

Passo 9

Resumo e interpretação final: as duas soluções independentes em séries de potência em torno de x=0 podem ser escolhidas como a série com termo constante 1 (gerada por a_0) e a série com termo linear x (gerada por a_1). Elas são convergentes para algum raio positivo (coeficientes obtidos por recorrência com fator racional em n), e juntas formam a base de soluções locais.

Resposta

y_1(x)=1 - \dfrac{1}{6}x^{3} + \dfrac{1}{45}x^{6} - \dfrac{7}{3240}x^{9} + \cdots
y_2(x)=x - \dfrac{1}{6}x^{4} + \dfrac{1}{63}x^{7} + \cdots

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