Determine duas soluções em séries de potência da equação diferencial indicada ao redor do ponto ordinário
:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: determinar duas soluções em séries de potência ao redor do ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais (logo analíticos) em torno de
. - Queremos duas soluções linearmente independentes em forma de série de potência centrada em
. - Não há condições iniciais: as duas constantes livres (coeficientes iniciais da série) serão os parâmetros que geram as duas soluções independentes.
Passo 2
Idéia do método (sem resolver ainda): vamos procurar uma solução na forma de série de potência centrada em
,
onde os
são coeficientes a determinar. Vou calcular
e
, substituir na equação, igualar coeficientes de potências de
a zero e obter uma relação de recorrência entre os
.
Passo 3
Calcular
e
a partir da série assumida.
Derivando termo a termo:
É conveniente reindexar para potências
: colocando
obtemos
Derivando novamente,
Reindexando com
para ter potências
:
Passo 4
Substituir
,
,
na equação original.
Temos três termos:
Agora precisamos escrever tudo como soma em potências
. Reindexando os dois últimos somatórios:
Para
: com
(ou escrevendo
em lugar de
),
Para
: com
,
Portanto a equação se torna
Passo 5
Juntar os somatórios e igualar coeficientes de
a zero para cada
.
Observe que os somatórios cobrem faixas diferentes; vamos separar os casos
,
e
.
Para
: só contribui o primeiro somatório:
Para
: contribuem o primeiro e o terceiro somatórios (o segundo começa em
):
Para
: todos os três somatórios contribuem; somando os coeficientes obtemos
Como
, simplifica-se para
Isolando
,
Passo 6
Interpretação da recorrência: ela relaciona
com
, ou seja, conecta coeficientes de índices separados por 3. Isso gera três cadeias independentes de coeficientes, conforme o resto de
módulo
:
- a cadeia dos índices
(controlada por ); - a cadeia dos índices
(controlada por ); - a cadeia dos índices
(controlada por ).
Mas já achamos
; aplicando a recorrência para essa cadeia veremos que todos os
serão zero. Assim restam duas cadeias independentes: a gerada por
e a gerada por
. Isso corresponde às duas constantes livres esperadas para uma equação de segunda ordem.
Passo 7
Vamos construir explicitamente os coeficientes iniciais e os primeiros termos das duas soluções independentes, escolhendo normalizações simples.
Solução 1: tomar
e
.
- Já temos
. -
- Usando a recorrência para
: vem de com . Como ,
- Próximo termo
usando a fórmula com (ou iterando a relação entre blocos de 3 índices): fica
Portanto os primeiros termos da série (com
) são
Solução 2: tomar
e
.
-
como antes. - Para
a recorrência dá - Em seguida
(aplicando a relação em dois passos) resulta em
Logo os primeiros termos (com
) são
Passo 8
Podemos escrever a recorrência entre coeficientes separados por 3 de forma explícita. Para a cadeia dos múltiplos de 3, coloque
na fórmula
. Assim obtemos para
Isso permite calcular
recursivamente a partir de
por produto. Analogamente, para a cadeia com resto
(índices
),
A cadeia com resto
é nula porque
e a recorrência propaga zeros.
Passo 9
Resumo e interpretação final: as duas soluções independentes em séries de potência em torno de
podem ser escolhidas como a série com termo constante
(gerada por
) e a série com termo linear
(gerada por
). Elas são convergentes para algum raio positivo (coeficientes obtidos por recorrência com fator racional em
), e juntas formam a base de soluções locais.