1. x=0 é um ponto ordinário ou singular da equação diferencial
x y^{\prime \prime}+(\operatorname{sen} x) y=0 ?
Defenda a sua resposta com argumentos matemáticos.

Passo 1

O enunciado pergunta se x=0 é um ponto ordinário ou singular da equação diferencial
x\,y''+(\sin x)\,y=0.
Informações dadas que vamos usar:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes funções de x.
  • O coeficiente do termo y'' é P(x)=x.
  • O coeficiente do termo y' é Q(x)=0.
  • O coeficiente do termo y é R(x)=\sin x.
    A pergunta é: classificar o ponto x=0 (ordinário ou singular) e justificar matematicamente.

Passo 2

Definições e critério que vamos aplicar (explicados de forma simples):
  • Considere a equação geral
P(x)\,y''+Q(x)\,y'+R(x)\,y=0.
Um ponto x_0 é dito ordinário se P(x_0)\neq0. Intuição: o coeficiente do maior derivado não se anula ali, então a equação pode ser posta na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0 com p,q bem definidas e analíticas em x_0.
  • Se P(x_0)=0 então x_0 é um ponto singular. Entre pontos singulares há dois tipos:
    • Regular singular (ou ponto singular regular): após dividir por P(x) os coeficientes p(x)=Q(x)/P(x) e q(x)=R(x)/P(x) podem ter pólos em x_0, mas com ordem controlada: (x-x_0)\,p(x) e (x-x_0)^2\,q(x) são analíticas em x_0.
    • Irregular singular: se as singularidades de p ou q são mais graves do que as permitidas acima.
      Esse é o critério padrão usado para classificar pontos singulares em equações lineares de 2ª ordem.

Passo 3

Identificação para a equação dada:
P(x)=x,\qquad Q(x)=0,\qquad R(x)=\sin x.
Avaliaremos primeiro P(0). Temos P(0)=0. Pelo critério acima, como o coeficiente do maior derivado se anula em x=0, concluímos imediatamente que x=0 é um ponto singular (não é ordinário).

Passo 4

Agora vamos testar se o ponto singular é regular ou irregular, aplicando o teste de regularidade.
Dividindo a equação por P(x)=x (para x\neq0) obtemos a forma padrão
y''+p(x)\,y'+q(x)\,y=0,
com
p(x)=\frac{Q(x)}{P(x)}=\frac{0}{x}=0\quad\text{(para \(x\neq0\))}, \qquad q(x)=\frac{R(x)}{P(x)}=\frac{\sin x}{x}\quad\text{(para \(x\neq0\))}.

Passo 5

Verificações de regularidade (passo a passo, com explicação do porquê):
  • Vamos analisar (x-0)\,p(x)=x\cdot p(x). Como p(x)=0 para x\neq0, temos
x\,p(x)=x\cdot 0=0,
que é uma função perfeitamente analítica em x=0. Logo (x)p(x) é analítica em 0.
  • Agora analise (x-0)^2\,q(x)=x^2\cdot\frac{\sin x}{x}=x\sin x. A função x\sin x é claramente analítica em x=0 (tem série de Taylor inteira). Alternativamente, nota-se que
\sin x = x - \frac{x^3}{6}+\cdots,
portanto
\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+\cdots,
que tem uma singularidade removível em 0 e se estende a uma função analítica com valor 1 em 0. Assim q(x) estende-se analiticamente em 0 e x^2 q(x)=x^2\frac{\sin x}{x}=x\sin x é analítica também.
  • Como (x)p(x) e (x)^2 q(x) são analíticas em 0, o ponto singular x=0 satisfaz as condições para ser um ponto singular regular.

Passo 6

Interpretação final e comentário útil para prova:
  • Porque P(0)=0 o ponto não é ordinário — portanto é singular.
  • Porque as quantidades (x)p(x) e (x)^2 q(x) são analíticas em 0 (ou equivalentemente porque Q/P tem no máximo pólo simples e R/P no máximo pólo duplo em 0; aqui na verdade têm singularidade removível), o ponto singular é regular.
  • Em termos práticos: pode-se aplicar o método de Frobenius em torno de x=0 para procurar séries do tipo x^r vezes série de potências (método apropriado para pontos singulares regulares).

Resposta

x=0 é um ponto singular regular da equação diferencial.

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