Explicação prática: o vetor até o ponto (-5,-5) tem comprimento 5\sqrt{2}.
Passo 3
Calcular o argumento \theta de z.
O argumento \theta=\arg(z) é o ângulo que o vetor do origem até (a,b) faz com o eixo real positivo, medido no sentido anti-horário. Uma forma prática é usar a tangente do ângulo de referência:
\tan(\alpha)=\left|\frac{b}{a}\right|.
Mas atenção: a fórmula \theta=\arctan(b/a) precisa ser corrigida conforme o quadrante onde (a,b) está.
No nosso caso a=-5 e b=-5, ambos negativos, então o ponto está no quadrante III (à esquerda e para baixo). A razão b/a vale
\frac{b}{a}=\frac{-5}{-5}=1.
A referência (ângulo agudo) é \alpha=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}. Como estamos no quadrante III, o ângulo padrão contado anti-horário a partir do eixo positivo é
Observação: ambas as formas são corretas; escolheu-se -\tfrac{3\pi}{4} porque é o argumento principal no intervalo (-\pi,\pi].
Passo 5
Representação gráfica de z.
No plano complexo (eixo real horizontal, eixo imaginário vertical), z corresponde ao ponto (-5,-5) (peguei essas coordenadas do próprio z=-5-5i, onde a parte real é -5 e a parte imaginária é -5).
Traça-se o vetor (segmento) que vai da origem (0,0) até (-5,-5). Esse vetor tem comprimento 5\sqrt{2} e forma um ângulo de -\tfrac{3\pi}{4} (ou \tfrac{5\pi}{4}) com o eixo real positivo, apontando para o quadrante III.
Visualização rápida: imagine um ponto simétrico em relação à origem ao ponto (5,5), mas no lado negativo de ambos os eixos.
Resposta
z=5\sqrt{2}\bigl(\cos\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr)\bigr)=5\sqrt{2}\bigl(\cos\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)\bigr)
Representação gráfica: ponto (-5,-5) no plano complexo; vetor de módulo 5\sqrt{2} e argumento -\tfrac{3\pi}{4} (ou \tfrac{5\pi}{4}), apontando para o quadrante III.