(1,0) Coloque o número z=-5-5 i na forma trigonométrica e dê sua representação gráfica.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=-5-5i e pede duas coisas:
  • Colocar z na forma trigonométrica (ou seja, como r(\cos\theta + i\sin\theta)).
  • Dar a representação gráfica de z no plano complexo.
Informações importantes fornecidas diretamente pelo enunciado:
  • Parte real: -5.
  • Parte imaginária: -5.

Passo 2

Calcular o módulo r de z.
A definição: o módulo de um número complexo z=a+bi é
r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}},
onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Isso vem da distância do ponto (a,b) até a origem no plano cartesiano (teorema de Pitágoras).
Aqui a=-5 e b=-5. Portanto
r=\sqrt{(-5)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.
Explicação prática: o vetor até o ponto (-5,-5) tem comprimento 5\sqrt{2}.

Passo 3

Calcular o argumento \theta de z.
O argumento \theta=\arg(z) é o ângulo que o vetor do origem até (a,b) faz com o eixo real positivo, medido no sentido anti-horário. Uma forma prática é usar a tangente do ângulo de referência:
\tan(\alpha)=\left|\frac{b}{a}\right|.
Mas atenção: a fórmula \theta=\arctan(b/a) precisa ser corrigida conforme o quadrante onde (a,b) está.
No nosso caso a=-5 e b=-5, ambos negativos, então o ponto está no quadrante III (à esquerda e para baixo). A razão b/a vale
\frac{b}{a}=\frac{-5}{-5}=1.
A referência (ângulo agudo) é \alpha=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}. Como estamos no quadrante III, o ângulo padrão contado anti-horário a partir do eixo positivo é
\theta=\pi+\alpha=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.
Como alternativa (forma principal do argumento, geralmente tomada em (-\pi,\pi]), pode-se usar o ângulo equivalente negativo
\theta=-\frac{3\pi}{4},
porque -\tfrac{3\pi}{4} e \tfrac{5\pi}{4} representam a mesma direção no círculo trigonométrico.

Passo 4

Montar a forma trigonométrica e comentar interpretações.
A forma trigonométrica de z é
z=r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr),
onde r=|z| é o módulo e \theta=\arg(z) é o argumento.
Substituindo os valores encontrados:
z=5\sqrt{2}\bigl(\cos\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr)\bigr).
(ou, equivalentemente,)
z=5\sqrt{2}\bigl(\cos\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)\bigr).
Observação: ambas as formas são corretas; escolheu-se -\tfrac{3\pi}{4} porque é o argumento principal no intervalo (-\pi,\pi].

Passo 5

Representação gráfica de z.
  • No plano complexo (eixo real horizontal, eixo imaginário vertical), z corresponde ao ponto (-5,-5) (peguei essas coordenadas do próprio z=-5-5i, onde a parte real é -5 e a parte imaginária é -5).
  • Traça-se o vetor (segmento) que vai da origem (0,0) até (-5,-5). Esse vetor tem comprimento 5\sqrt{2} e forma um ângulo de -\tfrac{3\pi}{4} (ou \tfrac{5\pi}{4}) com o eixo real positivo, apontando para o quadrante III.
  • Visualização rápida: imagine um ponto simétrico em relação à origem ao ponto (5,5), mas no lado negativo de ambos os eixos.

Resposta

z=5\sqrt{2}\bigl(\cos\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr)\bigr)=5\sqrt{2}\bigl(\cos\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)\bigr)
Representação gráfica: ponto (-5,-5) no plano complexo; vetor de módulo 5\sqrt{2} e argumento -\tfrac{3\pi}{4} (ou \tfrac{5\pi}{4}), apontando para o quadrante III.

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