Exercício. Verifique que o vetor
X_{p}=\binom{3 t-4}{-5 t+6}
é uma solução particular do sistema não-homogêneo:
X^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 3 \\\\ 5 & 3 \end{array}\right) X+\binom{12 t+11}{-3}
Além disso, determine a solução geral do sistema não-homogêneo.

Passo 1

O enunciado dá o sistema não-homogêneo com matriz A e termo não-homogêneo g(t), e fornece um vetor X_{p} para verificação. Especificamente:
  • Matriz A:
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 5 & 3\end{pmatrix}.
  • Termo não-homogêneo:
g(t)=\binom{12t+11}{-3}.
  • Vetor proposto (para verificar):
X_{p}(t)=\binom{3t-4}{-5t+6}.
O que se pede:
  1. Verificar se X_{p}(t) é uma solução particular do sistema
X' = A X + g(t).
  1. Determinar a solução geral do sistema não-homogêneo.]

Passo 2

Verificação direta: calcular X_p'(t) e comparar com A X_p(t)+g(t).
Derivada de X_p(t):
X_p'(t)=\binom{\dfrac{d}{dt}(3t-4)}{\dfrac{d}{dt}(-5t+6)}=\binom{3}{-5}.
Agora calcular A X_p(t). Multiplicando a matriz por X_p:
A X_p(t) = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 5 & 3\end{pmatrix} \binom{3t-4}{-5t+6} = \binom{1\cdot(3t-4)+3\cdot(-5t+6)}{5\cdot(3t-4)+3\cdot(-5t+6)}.
Fazendo as operações:
A X_p(t)=\binom{3t-4-15t+18}{15t-20-15t+18}=\binom{-12t+14}{-2}.
Somando o termo não-homogêneo g(t):
A X_p(t)+g(t)= \binom{-12t+14}{-2}+\binom{12t+11}{-3}=\binom{(-12t+14)+(12t+11)}{(-2)+(-3)}=\binom{25}{-5}.
Comparando:
X_p'(t)=\binom{3}{-5},\qquad A X_p(t)+g(t)=\binom{25}{-5}.
Os segundos componentes coincidem (-5), mas o primeiro componente não coincide ( 3\neq25). Portanto o vetor fornecido
X_{p}(t)=\binom{3t-4}{-5t+6}
não é uma solução particular do sistema. Calma — isso acontece às vezes: o enunciado pode ter um chute errado; vamos então encontrar uma solução particular correta e, em seguida, a solução geral.]

Passo 3

Método para achar uma solução particular: como g(t) é um polinômio de grau 1 em t (tem termos 12t+11 e constante -3), tenta-se um ansatz polinomial de grau 1:
X_p(t)=\binom{a t + b}{c t + d},
onde a,b,c,d são constantes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). A derivada é
X_p'(t)=\binom{a}{c}.
Calcular A X_p(t) em termos de a,b,c,d:
A X_p(t) = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 5 & 3\end{pmatrix} \binom{a t + b}{c t + d} = \binom{(a+3c)t+(b+3d)}{(5a+3c)t+(5b+3d)}.
Somando g(t):
A X_p(t)+g(t) = \binom{(a+3c+12)t+(b+3d+11)}{(5a+3c)t+(5b+3d-3)}.
Impor que isto seja igual a X_p'(t)=\binom{a}{c}. Como o lado direito não depende de t, os coeficientes de t no lado esquerdo devem ser zero, e os termos constantes devem ser iguais a a e c. Assim obtemos o sistema de equações:
coeficientes de t:
\begin{cases} a+3c+12=0,\\[4pt] 5a+3c=0, \end{cases}
constantes:
\begin{cases} b+3d+11=a,\\[4pt] 5b+3d-3=c. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema para a,c (coeficientes de t). Da segunda equação
5a+3c=0 \quad\Rightarrow\quad 3c=-5a \quad\Rightarrow\quad c=-\dfrac{5}{3}a.
Substituindo na primeira:
a+3\left(-\dfrac{5}{3}a\right)+12=0 \quad\Rightarrow\quad a-5a+12=0 \quad\Rightarrow\quad -4a+12=0,
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a=3.
Então
c=-\dfrac{5}{3}\cdot 3=-5.
Agora resolver para b,d. As equações são
\begin{cases} b+3d+11=a=3,\\[4pt] 5b+3d-3=c=-5. \end{cases}
Simplificando a primeira:
b+3d = 3-11 = -8.
A segunda:
5b+3d = -5+3 = -2.
Subtraindo a primeira da segunda:
(5b+3d)-(b+3d)= -2-(-8) \quad\Rightarrow\quad 4b=6 \quad\Rightarrow\quad b=\dfrac{3}{2}.
Então
b+3d=-8 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{3}{2}+3d=-8 \quad\Rightarrow\quad 3d=-8-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{19}{2},
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d=-\dfrac{19}{6}.
Portanto uma solução particular correta é
X_p^{(\text{corr})}(t)=\binom{3t+\dfrac{3}{2}}{-5t-\dfrac{19}{6}}.]

Passo 5

Agora achar a solução geral do sistema. Primeiro resolvemos o sistema homogêneo associado
X' = A X.
Usa-se o método de autovalores/autovetores.
Calcular o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 3 \\[4pt] 5 & 3-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(3-\lambda)-15.
Expandindo:
(1-\lambda)(3-\lambda)-15 = (3-4\lambda+\lambda^2)-15 = \lambda^2-4\lambda-12.
Resolver \lambda^2-4\lambda-12=0:
\lambda=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{4\pm 8}{2}.
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\lambda_1=6,\qquad \lambda_2=-2.
Encontrar autovetores.
Para \lambda_1=6, resolver (A-6I)v=0:
\begin{pmatrix}1-6 & 3 \\[4pt] 5 & 3-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 & 3 \\[4pt] 5 & -3\end{pmatrix}.
A equação dá -5x+3y=0\Rightarrow y=\dfrac{5}{3}x. Tomando x=3 obtém-se o autovetor
v_1=\binom{3}{5}.
Para \lambda_2=-2, resolver (A+2I)v=0:
\begin{pmatrix}1+2 & 3 \\[4pt] 5 & 3+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 3 \\[4pt] 5 & 5\end{pmatrix}.
A equação dá 3x+3y=0\Rightarrow y=-x. Tomando x=1 obtém-se o autovetor
v_2=\binom{1}{-1}.
Assim a solução geral do homogêneo é
X_h(t)=C_1 e^{6t}\binom{3}{5}+C_2 e^{-2t}\binom{1}{-1},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.
A solução geral do sistema não-homogêneo é a soma da homogênea com uma solução particular; usando X_p^{(\text{corr})} encontrada:
X(t)=X_h(t)+X_p^{(\text{corr})}(t) = C_1 e^{6t}\binom{3}{5}+C_2 e^{-2t}\binom{1}{-1}+\binom{3t+\dfrac{3}{2}}{-5t-\dfrac{19}{6}}.]

Resposta

O vetor \displaystyle X_{p}(t)=\binom{3t-4}{-5t+6} não é solução particular do sistema.
Uma solução particular correta é
\displaystyle X_p^{(\text{corr})}(t)=\binom{3t+\dfrac{3}{2}}{-5t-\dfrac{19}{6}}.
A solução geral do sistema é
\displaystyle X(t)=C_1 e^{6t}\binom{3}{5}+C_2 e^{-2t}\binom{1}{-1}+\binom{3t+\dfrac{3}{2}}{-5t-\dfrac{19}{6}},
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.

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