A X_p(t)=\binom{3t-4-15t+18}{15t-20-15t+18}=\binom{-12t+14}{-2}.
Somando o termo não-homogêneo g(t):
A X_p(t)+g(t)= \binom{-12t+14}{-2}+\binom{12t+11}{-3}=\binom{(-12t+14)+(12t+11)}{(-2)+(-3)}=\binom{25}{-5}.
Comparando:
X_p'(t)=\binom{3}{-5},\qquad A X_p(t)+g(t)=\binom{25}{-5}.
Os segundos componentes coincidem (-5), mas o primeiro componente não coincide (3\neq25). Portanto o vetor fornecido
X_{p}(t)=\binom{3t-4}{-5t+6}
não é uma solução particular do sistema. Calma — isso acontece às vezes: o enunciado pode ter um chute errado; vamos então encontrar uma solução particular correta e, em seguida, a solução geral.]
Passo 3
Método para achar uma solução particular: como g(t) é um polinômio de grau 1 em t (tem termos 12t+11 e constante -3), tenta-se um ansatz polinomial de grau 1:
X_p(t)=\binom{a t + b}{c t + d},
onde a,b,c,d são constantes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). A derivada é
X_p'(t)=\binom{a}{c}.
Calcular A X_p(t) em termos de a,b,c,d:
A X_p(t) = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 5 & 3\end{pmatrix} \binom{a t + b}{c t + d} = \binom{(a+3c)t+(b+3d)}{(5a+3c)t+(5b+3d)}.
Somando g(t):
A X_p(t)+g(t) = \binom{(a+3c+12)t+(b+3d+11)}{(5a+3c)t+(5b+3d-3)}.
Impor que isto seja igual a X_p'(t)=\binom{a}{c}. Como o lado direito não depende de t, os coeficientes de t no lado esquerdo devem ser zero, e os termos constantes devem ser iguais a a e c. Assim obtemos o sistema de equações: