Considere a viga biengastada de 7 m de vão livre com uma carga uniformemente distribuída de 9 \mathrm{kN} / \mathrm{m} e seção transversal de 14 \mathrm{~cm} \times 40 \mathrm{~cm}. Qual é a tensão flexão máxima nessa viga?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • vão livre: L=7\\ \mathrm{m}.
    • carga uniformemente distribuída: w=9\\ \mathrm{kN/m}.
    • seção reta retangular: 14\\ \mathrm{cm}\times40\\ \mathrm{cm}.
    • apoio: viga biengastada (viga simplesmente apoiada nos dois extremos).
  • Pedido: determinar a tensão de flexão máxima na viga (valor máximo da tensão \sigma por flexão, nas fibras externas).

Passo 2

Converter todas as grandezas para unidades do SI (metros, newtons).
  • w=9\\ \mathrm{kN/m}=9000\\ \mathrm{N/m}.
  • largura da seção: b=14\\ \mathrm{cm}=0,14\\ \mathrm{m}.
  • altura da seção: h=40\\ \mathrm{cm}=0,40\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Determinar o momento fletor máximo M_{\max} para uma viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída.
Para essa configuração a reação em cada apoio é R=wL/2. O momento fletor em uma seção a uma distância x da extremidade esquerda é
M(x)=R\,x - \frac{w x^{2}}{2}=\frac{wL}{2}x-\frac{w x^{2}}{2}=\frac{w\,x(L-x)}{2}.
O máximo ocorre no meio do vão, x=L/2. Substituindo:
M_{\max}=M\!\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{w\,L^{2}}{8}.

Passo 4

Calcular numericamente M_{\max}.
M_{\max}=\frac{wL^{2}}{8}=\frac{9000\cdot 7^{2}}{8}=\frac{9000\cdot 49}{8}=55125\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Usar a fórmula da tensão por flexão (fórmula das fibras):
\sigma=\frac{M\,y}{I},
onde:
  • M é o momento fletor na seção considerada (em \mathrm{N\cdot m}),
  • y é a distância da linha neutra até a fibra onde se calcula a tensão (em \mathrm{m}),
  • I é o momento de inércia da seção em relação à linha neutra (em \mathrm{m^{4}}).
Para uma seção retangular centrad a linha neutra passa pelo eixo mediano; a fibra mais afastada tem
y_{\max}=\frac{h}{2}=\frac{0,40}{2}=0,20\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular o momento de inércia I da seção retangular em relação ao eixo neutro horizontal:
I=\frac{b h^{3}}{12}.
Substituindo:
I=\frac{0,14\cdot(0,40)^{3}}{12}=\frac{0,14\cdot 0,064}{12}=\frac{0,00896}{12}=0,000746666\ldots\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 7

Calcular a tensão máxima \sigma_{\max} usando M_{\max}, y_{\max} e I.
Primeiro M_{\max}\,y_{\max}:
M_{\max}y_{\max}=55125\cdot 0,20=11025\\ \mathrm{N\cdot m^{2}}.
Agora
\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}y_{\max}}{I}=\frac{11025}{0,000746666\ldots}=14765625\\ \mathrm{Pa}.
Converter para \mathrm{MPa}:
\sigma_{\max}=14,765625\\ \mathrm{MPa}\approx14,77\\ \mathrm{MPa}.

Passo 8

Interpretação rápida e dica para prova: esse valor é a tensão de flexão máxima nas fibras exteriores (tanto superior quanto inferior, com sinais opostos: compressão num lado e tração no outro). Para calcular em prova, memorize as fórmulas principais usadas aqui: M_{\max}=\dfrac{wL^{2}}{8} para U.D.L. em viga simples e \sigma=\dfrac{M y}{I} com I=\dfrac{b h^{3}}{12} para retângulo.

Resposta

14,77\\ \mathrm{MPa}

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