Considere uma viga de madeira com uma seção transversal retangular de
. Determine o valor dos esforccos internos cortantes, considerando uma força aplicada de 5 kN .
Passo 1
O enunciado dá estas informações:
- Seção transversal retangular com dimensões
. - Força transversal aplicada (cortante) de
.
O pedido é: determinar os esforços internos cortantes (interpreto aqui como as tensões de cisalhamento ao longo da seção, isto é, a distribuição dee seu valor máximo). Vou adotar a convenção usual para vigas retangulares: a dimensão vertical (altura) é e a dimensão na direção do comprimento da viga (espessura/largura) é . Assim, tomo:
Passo 2
Lembrete / fórmula fundamental que vamos usar: para tensão de cisalhamento média em uma seção plana, a tensão
numa linha horizontal a uma distância
do eixo neutro é dada pela fórmula de cisalhamento:
onde:
-
é a força cortante interna (em N); -
é o primeiro momento da área da porção da seção situada acima (ou abaixo) da linha de corte em relação ao eixo neutro (em ); -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro horizontal (em ); -
é a largura da seção na linha de corte (em ); para retângulo constante.
Vou explicar cada termo e calcular explicitamente.
Passo 3
Cálculo de
para a placa retangular (eixo neutro horizontal passando pelo centro):
Substituindo
e
:
Faço as contas passo a passo:
Passo 4
Cálculo do primeiro momento
. Considere uma linha de corte horizontal a uma distância
do eixo neutro (com
variando entre
e
). A porção “acima” do corte (entre
e
) tem área
O centróide dessa porção, medido a partir do eixo neutro, está em
Logo o primeiro momento é
Simplificando:
Passo 5
Substituimos
,
e
na fórmula
. Como
já tem um fator
, o
na denominação cancela; portanto obtemos uma expressão simples:
Agora substituir
e simplificar algebricamente. Faço a simplificação completa:
Cortando
e simplificando fatores:
Continuo a simplificar:
Melhor reescrever em forma mais compacta e conhecida; reorganizando obtém-se a forma clássica
(Verificação rápida: no centro
isso dá
, forma habitual para seção retangular.)
Passo 6
Cálculo numérico da tensão máxima (no eixo neutro,
). Área da seção:
Tensão máxima:
Calculo:
Em unidades práticas:
Passo 7
Resumo físico e observações finais:
- A tensão de cisalhamento varia parabolicamente com
e é máxima no centro ( ) e nula nos cantos extremos ( ). - A expressão geral para qualquer
é
com
,
,
.
- Numericamente,
. Isso dá uma ordem de grandeza pequena para tensões de cisalhamento em madeira; conferir se a madeira suporta esse cisalhamento consultando resistência característica do material.