Considere uma viga de madeira com uma seção transversal retangular de 20 \mathrm{~cm} \times 30 \mathrm{~cm}. Determine o valor dos esforccos internos cortantes, considerando uma força aplicada de 5 kN .

Passo 1

O enunciado dá estas informações:
  • Seção transversal retangular com dimensões 20\\ \mathrm{cm}\times 30\\ \mathrm{cm}.
  • Força transversal aplicada (cortante) de 5\\ \mathrm{kN}.
    O pedido é: determinar os esforços internos cortantes (interpreto aqui como as tensões de cisalhamento ao longo da seção, isto é, a distribuição de \tau e seu valor máximo). Vou adotar a convenção usual para vigas retangulares: a dimensão vertical (altura) é h e a dimensão na direção do comprimento da viga (espessura/largura) é b. Assim, tomo:
b=0,20\\ \mathrm{m},\qquad h=0,30\\ \mathrm{m},\qquad V=5\\ \mathrm{kN}=5000\\ \mathrm{N}.

Passo 2

Lembrete / fórmula fundamental que vamos usar: para tensão de cisalhamento média em uma seção plana, a tensão \tau numa linha horizontal a uma distância |y| do eixo neutro é dada pela fórmula de cisalhamento:
\tau(y)=\dfrac{V\,Q(y)}{I\,b(y)},
onde:
  • V é a força cortante interna (em N);
  • Q(y) é o primeiro momento da área da porção da seção situada acima (ou abaixo) da linha de corte em relação ao eixo neutro (em \mathrm{m}^3);
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro horizontal (em \mathrm{m}^4);
  • b(y) é a largura da seção na linha de corte (em \mathrm{m}); para retângulo b(y)=b constante.
    Vou explicar cada termo e calcular explicitamente.

Passo 3

Cálculo de I para a placa retangular (eixo neutro horizontal passando pelo centro):
I=\dfrac{b\,h^{3}}{12}.
Substituindo b=0,20\\ \mathrm{m} e h=0,30\\ \mathrm{m}:
I=\dfrac{0,20\cdot(0,30)^{3}}{12}.
Faço as contas passo a passo:
(0,30)^{3}=0,027\quad\Rightarrow\quad 0,20\cdot0,027=0,0054,
I=\dfrac{0,0054}{12}=0,00045\\ \mathrm{m}^{4}.

Passo 4

Cálculo do primeiro momento Q(y). Considere uma linha de corte horizontal a uma distância y do eixo neutro (com y variando entre -h/2 e +h/2). A porção “acima” do corte (entre y e h/2) tem área
A'(y)=b\left(\dfrac{h}{2}-y\right).
O centróide dessa porção, medido a partir do eixo neutro, está em
\bar{y}'=\dfrac{\dfrac{h}{2}+y}{2}.
Logo o primeiro momento é
Q(y)=A'(y)\,\bar{y}'=b\left(\dfrac{h}{2}-y\right)\cdot\dfrac{\dfrac{h}{2}+y}{2}.
Simplificando:
Q(y)=\dfrac{b}{2}\left(\dfrac{h}{2}-y\right)\left(\dfrac{h}{2}+y\right)=\dfrac{b}{2}\left(\dfrac{h^{2}}{4}-y^{2}\right).

Passo 5

Substituimos Q(y), I e b na fórmula \tau(y)=\dfrac{VQ}{Ib}. Como Q já tem um fator b, o b na denominação cancela; portanto obtemos uma expressão simples:
\tau(y)=\dfrac{V}{I}\cdot\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{h^{2}}{4}-y^{2}\right).
Agora substituir I=\dfrac{b h^{3}}{12} e simplificar algebricamente. Faço a simplificação completa:
\tau(y)=\dfrac{V\cdot \dfrac{b}{2}\left(\dfrac{h^{2}}{4}-y^{2}\right)}{\dfrac{b h^{3}}{12}}.
Cortando b e simplificando fatores:
\tau(y)=V\cdot \dfrac{12}{2}\cdot\dfrac{\left(\dfrac{h^{2}}{4}-y^{2}\right)}{h^{3}}=6V\cdot\dfrac{\dfrac{h^{2}}{4}-y^{2}}{h^{3}}.
Continuo a simplificar:
\tau(y)=\dfrac{6V}{h^{3}}\left(\dfrac{h^{2}}{4}-y^{2}\right)=\dfrac{6V}{h}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{y^{2}}{h^{2}}\right)\cdot\dfrac{1}{h^{2}}?
Melhor reescrever em forma mais compacta e conhecida; reorganizando obtém-se a forma clássica
\tau(y)=\dfrac{3V}{2bh}\left(1-4\dfrac{y^{2}}{h^{2}}\right).
(Verificação rápida: no centro y=0 isso dá \tau_{\max}=\dfrac{3V}{2bh}=\dfrac{3}{2}\dfrac{V}{A}, forma habitual para seção retangular.)

Passo 6

Cálculo numérico da tensão máxima (no eixo neutro, y=0). Área da seção:
A=b\,h=0,20\cdot0,30=0,06\\ \mathrm{m}^{2}.
Tensão máxima:
\tau_{\max}=\dfrac{3}{2}\dfrac{V}{A}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{5000}{0,06}.
Calculo:
\dfrac{5000}{0,06}=83\,333{,}3\\ \mathrm{Pa},\qquad \tau_{\max}=1{,}5\cdot83\,333{,}3=125\,000\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades práticas:
\tau_{\max}=125\,000\\ \mathrm{Pa}=125\\ \mathrm{kPa}=0{,}125\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Resumo físico e observações finais:
  • A tensão de cisalhamento varia parabolicamente com y e é máxima no centro ( y=0) e nula nos cantos extremos ( y=\pm h/2).
  • A expressão geral para qualquer y é
\tau(y)=\dfrac{3V}{2bh}\left(1-4\dfrac{y^{2}}{h^{2}}\right),
com b=0,20\\ \mathrm{m}, h=0,30\\ \mathrm{m}, V=5000\\ \mathrm{N}.
  • Numericamente, \tau_{\max}=125\\ \mathrm{kPa}. Isso dá uma ordem de grandeza pequena para tensões de cisalhamento em madeira; conferir se a madeira suporta esse cisalhamento consultando resistência característica do material.

Resposta

\tau(y)=\dfrac{3V}{2bh}\left(1-4\dfrac{y^{2}}{h^{2}}\right) com b=0,20\\ \mathrm{m}, h=0,30\\ \mathrm{m} e V=5000\\ \mathrm{N}.
\tau_{\max}=\dfrac{3}{2}\dfrac{V}{A}=125\,000\\ \mathrm{Pa}=125\\ \mathrm{kPa}=0{,}125\\ \mathrm{MPa}

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