Coloque a seguinte função objetivo em notação matricial definindo as matrizes necessárias.
Encontre os autovalores da matriz hessiana dessa função. Ela é linear ou não-linear? É convexa?
Dica: Para colocar a função em notação matricial, faça sua aproximação por série de Taylor. Quantos termos a aproximação deverá ter para ser exata?
Passo 1
Beleza, resumo rapidinho: a gente tem
e o objetivo é:
Escrever em forma matricial via série de Taylor (até 2º ordem, que já é exata porque é polinomial de grau 2).
Calcular os autovalores da Hessiana.
Dizer se é linear ou não-linear e se é convexa.
Matéria usada: álgebra linear (gradiente, Hessiana, vetor e matriz), série de Taylor, autovalores e convexidade.
Passo 2
Primeiro a série de Taylor em torno de até 2ª ordem, que para polinômio de grau 2 é exata:
Então precisamos de , e a Hessiana .
Passo 3
Calcular :
Passo 4
Calcular o gradiente :
Em :
Passo 5
Hessiana é a matriz das derivadas segundas:
Passo 6
Agora a forma matricial final fica
boxedf(x)=3+2&3x;+;tfrac12,x^T4&22&12x
Passo 7
Autovalores de det!4-lambda&22&12-lambda =(4-lambda)(12-lambda)-4 =lambda^2-16lambda+44=0 : resolvendo lambda1,2=16pmraiz16^2-4cdot442 =8pm2raiz5 :
Então
Passo 8
É ou não-linear? Tem termos quadráticos, logo não é linear.
É convexa? Como os autovalores de são positivos , a Hessiana é positiva definida, logo é convexa.
Resposta
Forma matricial:
f(x)=3+[2;;3],x+tfrac12,x^T4&22&12x
Autovalores da Hessiana: , .
A função é não-linear e convexa.