Coloque a seguinte função objetivo em notação matricial definindo as matrizes necessárias.
f(x)=3+2 x1+3 x2+2 x1^2+2 x1 x2+6 x2^2
Encontre os autovalores da matriz hessiana dessa função. Ela é linear ou não-linear? É convexa?
Dica: Para colocar a função em notação matricial, faça sua aproximação por série de Taylor. Quantos termos a aproximação deverá ter para ser exata?

Passo 1

Beleza, resumo rapidinho: a gente tem

e o objetivo é:
  1. Escrever em forma matricial via série de Taylor (até 2º ordem, que já é exata porque é polinomial de grau 2).
  2. Calcular os autovalores da Hessiana.
  3. Dizer se é linear ou não-linear e se é convexa.
Matéria usada: álgebra linear (gradiente, Hessiana, vetor e matriz), série de Taylor, autovalores e convexidade.

Passo 2

Primeiro a série de Taylor em torno de f(x)=f(0)+nabla f(0)^Tx+tfrac12,x^TH,x até 2ª ordem, que para polinômio de grau 2 é exata:
Então precisamos de , e a Hessiana .

Passo 3

Calcular f(0,0)=3+2cdot0+3cdot0+2cdot0^2+2cdot0cdot0+6cdot0^2=3 :

Passo 4

Calcular o gradiente partial fpartial x1=2+4x1+2x2, partial fpartial x2=3+2x1+12x2 :
nabla f(0)=23
Em :

Passo 5

Hessiana H= partial^2 fpartial x1^2&partial^2 fpartial x1partial x2 partial^2 fpartial x2partial x1&partial^2 fpartial x2^2 =4&22&12 é a matriz das derivadas segundas:

Passo 6

Agora a forma matricial final fica
boxedf(x)=3+2&3x;+;tfrac12,x^T4&22&12x

Passo 7

Autovalores de det!4-lambda&22&12-lambda =(4-lambda)(12-lambda)-4 =lambda^2-16lambda+44=0 : resolvendo lambda1,2=16pmraiz16^2-4cdot442 =8pm2raiz5 :
Então

Passo 8

É ou não-linear? Tem termos quadráticos, logo não é linear.
É convexa? Como os autovalores de são positivos , a Hessiana é positiva definida, logo é convexa.

Resposta

Forma matricial:
f(x)=3+[2;;3],x+tfrac12,x^T4&22&12x
Autovalores da Hessiana:
, .
A função é não-linear e convexa.

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