Uma lata de refrigerante deve ser desenhada para conter um volume específico de líquido. O custo de produção da lata, que deve ser minimizado, é dado pela seguinte função:
Com as seguintes restrições:
Baseado no problema descrito, responda as seguintes questões justificando o máximo possível suas respostas matematicamente:
a) a função
é unimodal (um extremo) ou multimodal (mais de um extremo)?
Com as seguintes restrições:
Baseado no problema descrito, responda as seguintes questões justificando o máximo possível suas respostas matematicamente:
a) a função
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos uma função de custo
sujeita às restrições
Isso é um problema de otimização de duas variáveis (D e h). A pergunta (a) é: essa função é unimodal (só um extremo) ou multimodal (vários extremos)?
Para responder, vamos precisar:
Para responder, vamos precisar:
- Encontrar possíveis pontos críticos (onde o gradiente é zero).
- Verificar o sinal do Hessiano (para ver concavidade/convexidade).
Passo 2
Calcular o gradiente e achar pontos críticos.
∇f = (∂f/∂D, ∂f/∂h).
∂f/∂D = πh + πD
∂f/∂h = πD
∇f = (∂f/∂D, ∂f/∂h).
∂f/∂D = πh + πD
∂f/∂h = πD
Pra ter ponto crítico no interior, precisaríamos de
πh + πD = 0 e πD = 0.
Da segunda equação vem D=0. Mas 0 não está no nosso intervalo [3,5;8]. Então não existe ponto crítico no interior da região viável.
πh + πD = 0 e πD = 0.
Da segunda equação vem D=0. Mas 0 não está no nosso intervalo [3,5;8]. Então não existe ponto crítico no interior da região viável.
Passo 3
Analisar o Hessiano pra ver se haveria máximo/mínimo interior ou sela:
H =
O determinante de H é .
Determinante negativo significa que H é indefinido → ponto de sela, não mínimo nem máximo no interior.
H =
O determinante de H é
Determinante negativo significa que H é indefinido → ponto de sela, não mínimo nem máximo no interior.
Passo 4
Conclusão sobre moda (unimodal vs multimodal):
- Não há nem mínimo nem máximo interno (gradiente nunca zera lá dentro).
- O comportamento “sela” indica que não surgem vários vales internos; a função não tem “várias bacias” de mínimo.
- Assim, restrita a essa região, ela só pode ter um único ponto de mínimo global (em alguma aresta ou canto) – não vários mínimos espalhados.
Resposta
A função é unimodal (tem apenas um extremo de mínimo na região viável).