Uma lata de refrigerante deve ser desenhada para conter um volume específico de líquido. O custo de produção da lata, que deve ser minimizado, é dado pela seguinte função:
f(D, h)=pi Dh+pi / 2 D^2
Com as seguintes restrições:
Pi / 4 D^2 h >= 400 3,5 <= D <= 8 8 <= h <= 18
Baseado no problema descrito, responda as seguintes questões justificando o máximo possível suas respostas matematicamente:
a) a função f(D, h) é unimodal (um extremo) ou multimodal (mais de um extremo)?

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos uma função de custo
f(D,h)=pi,D,h + pi2D^2
sujeita às restrições
pi4D^2h >= 400, 3,5 <= D <= 8, 8 <= h <= 18
Isso é um problema de otimização de duas variáveis (D e h). A pergunta (a) é: essa função é unimodal (só um extremo) ou multimodal (vários extremos)?
Para responder, vamos precisar:
  • Encontrar possíveis pontos críticos (onde o gradiente é zero).
  • Verificar o sinal do Hessiano (para ver concavidade/convexidade).

Passo 2

Calcular o gradiente e achar pontos críticos.
∇f = (∂f/∂D, ∂f/∂h).
∂f/∂D = πh + πD
∂f/∂h = πD
Pra ter ponto crítico no interior, precisaríamos de
πh + πD = 0 e πD = 0.
Da segunda equação vem D=0. Mas 0 não está no nosso intervalo [3,5;8]. Então não existe ponto crítico no interior da região viável.

Passo 3

Analisar o Hessiano pra ver se haveria máximo/mínimo interior ou sela:
H = ∂²f/∂D² & ∂²f/∂D∂h ∂²f/∂h∂D & ∂²f/∂h² ²²²²²²
O determinante de H é π & π π & 0 .
Determinante negativo significa que H é indefinido → ponto de sela, não mínimo nem máximo no interior.

Passo 4

Conclusão sobre moda (unimodal vs multimodal):
  • Não há nem mínimo nem máximo interno (gradiente nunca zera lá dentro).
  • O comportamento “sela” indica que não surgem vários vales internos; a função não tem “várias bacias” de mínimo.
  • Assim, restrita a essa região, ela só pode ter um único ponto de mínimo global (em alguma aresta ou canto) – não vários mínimos espalhados.

Resposta

A função é unimodal (tem apenas um extremo de mínimo na região viável).

Exercícios relacionados