Coloque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas, justificando suas respostas verdadeiras e reescrevendo as falsas para que se tornem verdadeiras.
Existem pelo menos três pontos não colineares em um plano.

Passo 1

O enunciado pede que eu coloque V (verdadeiro) ou F (falso) para a afirmação e que eu justifique a resposta quando for verdadeira (ou reescreva a afirmação se for falsa). A afirmação é:
“Existem pelo menos três pontos não colineares em um plano.”
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Há uma única afirmação a ser avaliada.
  • Preciso decidir se ela é verdadeira ou falsa e justificar / corrigir conforme pedido.

Passo 2

Vou explicar os conceitos envolvidos, bem devagarzinho e sem pressa, como se estivéssemos juntos rabiscando no caderno.
  • Ponto: é uma posição no plano; não tem dimensão, só indica um local.
  • Reta (ou linha): é o conjunto de pontos que ficam alinhados numa mesma direção.
  • Colineares: dizemos que três (ou mais) pontos são colineares se todos eles pertencem à mesma reta.
  • Não colineares: três pontos são não colineares quando não é possível colocar todos numa mesma reta — geometricamente formam os vértices de um triângulo.
  • Plano (no sentido usual da geometria Euclidiana ou do plano cartesiano): é uma “folha” bidimensional que contém muitos pontos e retas.
Esses conceitos bastam para entender a afirmação. Agora vamos mostrar por que ela é verdadeira.

Passo 3

Um modo muito concreto e simples de produzir três pontos não colineares é trabalhar no modelo do plano cartesiano \mathbb{R}^2 (aquele com eixos x e y). No plano cartesiano podemos escolher pontos cujas coordenadas nós damos explicitamente; isso torna a justificativa totalmente construtiva.
Considere os três pontos
A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=(0,1).
Vou mostrar que esses três pontos não estão todos numa mesma reta.

Passo 4

Verificação direta: primeiro note a reta que passa por A e B. Como A=(0,0) e B=(1,0) têm a mesma coordenada y, a reta AB tem equação
y=0.
O ponto C tem coordenada y=1, ou seja C=(0,1) não satisfaz y=0. Logo C não pertence à reta AB. Portanto A,B,C não são todos colineares — há pelo menos três pontos não colineares no plano.
(Outra maneira rápida: três pontos são colineares se e somente se os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são múltiplos um do outro; aqui \overrightarrow{AB}=(1,0) e \overrightarrow{AC}=(0,1), que não são múltiplos, logo não colineares.)

Passo 5

Comentário conceitual: em qualquer desenvolvimento axiomático da geometria euclidiana costuma-se incluir explicitamente um axioma que garante que o plano não é degenerado — por exemplo, “existem pelo menos três pontos não colineares”. No modelo padrão \mathbb{R}^2 isso é óbvio pelo exemplo acima. Então, tanto pelo exemplo construtivo quanto pelo axioma habitual, a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Resumo final (motivação para a prova): se na prova te pedirem para mostrar que existem três pontos não colineares num plano, uma resposta simples e segura é dar três pontos explícitos no plano cartesiano (por exemplo (0,0), (1,0), (0,1)) e justificar que o terceiro não pertence à reta que passa pelos dois primeiros (mostrando a equação da reta ou comparando coordenadas). Isso é rápido, claro e não exige nenhum teorema pesado.

Resposta

V

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