Coloque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas, justificando suas respostas verdadeiras e reescrevendo as falsas para que se tornem verdadeiras.
Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então toda a reta pertence ao plano.

Passo 1

O enunciado pede que eu assinale se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando a escolha. A afirmação é:
“Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então toda a reta pertence ao plano.”
Informações dadas (explicitadas):
  • Existe uma reta r.
  • Existe um plano \pi.
  • Dois pontos da reta r pertencem ao plano \pi.
O que é pedido:
  • Determinar V ou F para a afirmação.
  • Justificar a resposta (se for falsa, reescrevê-la de modo que fique verdadeira).

Passo 2

Primeira observação importante (clareza sobre termos): quando o enunciado diz “dois pontos de uma reta”, o sentido usual em geometria é que são dois pontos distintos. Se os dois pontos fossem iguais (o mesmo ponto contado duas vezes) não se estaria fornecendo informação sobre a direção da reta. Por isso, ao longo da justificativa vou assumir que os dois pontos são distintos — isto é, são pontos diferentes da reta.

Passo 3

Definições e ferramentas que vou usar (explicando devagar):
  • Um ponto é uma posição no espaço. Vou chamar os dois pontos distintos de A e B.
  • A reta determinada por A e B (a reta que passa por A e B) é o conjunto de todos os pontos colineares com A e B. Uma forma prática de descrevê‑la é em forma paramétrica: qualquer ponto X da reta AB pode ser escrito como
X = A + \lambda\,(B-A)
onde \lambda\in\mathbb{R}. Aqui B-A é o vetor direção da reta e \lambda escala esse vetor; para \lambda=0 tem‑se X=A, para \lambda=1 tem‑se X=B, e valores reais diferentes dão os demais pontos da reta.
  • Um plano \pi pode ser visto como um conjunto de pontos que admiten uma descrição afim com duas direções independentes: existe um ponto fixo P_0\in\pi e dois vetores não colineares \mathbf{u} e \mathbf{v} tais que
\pi = \{\,P_0 + s\,\mathbf{u} + t\,\mathbf{v} \mid s,t\in\mathbb{R}\,\}.
Essa é a descrição paramétrica de um plano: soma do ponto base com combinações lineares de duas direções que ficam inteiramente no plano.

Passo 4

Aplicando as definições ao problema: suponha que os pontos A e B da reta r pertencem ao plano \pi. Então, pelas propriedades do plano, existem escalares s_1,t_1,s_2,t_2\in\mathbb{R} tais que
A = P_0 + s_1\,\mathbf{u} + t_1\,\mathbf{v}, \qquad B = P_0 + s_2\,\mathbf{u} + t_2\,\mathbf{v},
pois A e B estão em \pi (peguei esses escritos do fato de que A,B\in\pi e da forma parametrizada do plano).

Passo 5

Calcular o vetor direção da reta e um ponto arbitrário da reta em termos das coordenadas do plano: subtraindo as duas expressões,
B-A = (s_2-s_1)\,\mathbf{u} + (t_2-t_1)\,\mathbf{v}.
Este é um vetor que é combinação linear de \mathbf{u} e \mathbf{v}, logo pertence ao espaço de direções do plano \pi. Agora, um ponto genérico X da reta AB tem a forma
X = A + \lambda\,(B-A).
Substituindo as expressões acima,
X = \bigl(P_0 + s_1\,\mathbf{u} + t_1\,\mathbf{v}\bigr) + \lambda\bigl((s_2-s_1)\,\mathbf{u} + (t_2-t_1)\,\mathbf{v}\bigr).

Passo 6

Reorganizando os termos de X obtemos
X = P_0 + \bigl(s_1 + \lambda(s_2-s_1)\bigr)\mathbf{u} + \bigl(t_1 + \lambda(t_2-t_1)\bigr)\mathbf{v}.
As quantidades s_1 + \lambda(s_2-s_1) e t_1 + \lambda(t_2-t_1) são escalares reais (pois são combinações de escalares). Portanto X tem a forma P_0 + s'\mathbf{u} + t'\mathbf{v} com s',t'\in\mathbb{R}, o que mostra que X\in\pi.

Passo 7

Conclusão lógica: como X era um ponto arbitrário sobre a reta AB (ou seja, para qualquer \lambda\in\mathbb{R}), e mostramos que esse X está em \pi, segue que todos os pontos da reta AB pertencem a \pi. Portanto, se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então toda a reta pertence ao plano.
Comentário final e cuidado de enunciado: a afirmação é verdadeira desde que entendamos “dois pontos” como dois pontos distintos. Para ser rigoroso, a versão precisa é:
“Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então toda a reta pertence ao plano.”

Resposta

V

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