Coloque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas, justificando suas respostas verdadeiras e reescrevendo as falsas para que se tornem verdadeiras.
Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então toda a reta pertence ao plano.
Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então toda a reta pertence ao plano.
Passo 1
O enunciado pede que eu assinale se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando a escolha. A afirmação é:
“Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então toda a reta pertence ao plano.”
Informações dadas (explicitadas):
- Existe uma reta
. - Existe um plano
. - Dois pontos da reta
pertencem ao plano .
O que é pedido:
- Determinar V ou F para a afirmação.
- Justificar a resposta (se for falsa, reescrevê-la de modo que fique verdadeira).
Passo 2
Primeira observação importante (clareza sobre termos): quando o enunciado diz “dois pontos de uma reta”, o sentido usual em geometria é que são dois pontos distintos. Se os dois pontos fossem iguais (o mesmo ponto contado duas vezes) não se estaria fornecendo informação sobre a direção da reta. Por isso, ao longo da justificativa vou assumir que os dois pontos são distintos — isto é, são pontos diferentes da reta.
Passo 3
Definições e ferramentas que vou usar (explicando devagar):
- Um ponto é uma posição no espaço. Vou chamar os dois pontos distintos de
e . - A reta determinada por
e (a reta que passa por e ) é o conjunto de todos os pontos colineares com e . Uma forma prática de descrevê‑la é em forma paramétrica: qualquer ponto da reta pode ser escrito como
onde
. Aqui
é o vetor direção da reta e
escala esse vetor; para
tem‑se
, para
tem‑se
, e valores reais diferentes dão os demais pontos da reta.
- Um plano
pode ser visto como um conjunto de pontos que admiten uma descrição afim com duas direções independentes: existe um ponto fixo e dois vetores não colineares e tais que
Essa é a descrição paramétrica de um plano: soma do ponto base com combinações lineares de duas direções que ficam inteiramente no plano.
Passo 4
Aplicando as definições ao problema: suponha que os pontos
e
da reta
pertencem ao plano
. Então, pelas propriedades do plano, existem escalares
tais que
pois
e
estão em
(peguei esses escritos do fato de que
e da forma parametrizada do plano).
Passo 5
Calcular o vetor direção da reta e um ponto arbitrário da reta em termos das coordenadas do plano: subtraindo as duas expressões,
Este é um vetor que é combinação linear de
e
, logo pertence ao espaço de direções do plano
. Agora, um ponto genérico
da reta
tem a forma
Substituindo as expressões acima,
Passo 6
Reorganizando os termos de
obtemos
As quantidades
e
são escalares reais (pois são combinações de escalares). Portanto
tem a forma
com
, o que mostra que
.
Passo 7
Conclusão lógica: como
era um ponto arbitrário sobre a reta
(ou seja, para qualquer
), e mostramos que esse
está em
, segue que todos os pontos da reta
pertencem a
. Portanto, se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então toda a reta pertence ao plano.
Comentário final e cuidado de enunciado: a afirmação é verdadeira desde que entendamos “dois pontos” como dois pontos distintos. Para ser rigoroso, a versão precisa é:
“Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então toda a reta pertence ao plano.”
“Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então toda a reta pertence ao plano.”
Resposta
V