Resolva os problemas 2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+2 y=g(t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad g(t)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 5 \leq t<20 \\\\ 0, & 0 \leq t<5 e t \geq 20\end{array}\right..)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais nulas:
2y''+y'+2y=g(t),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0,
onde g(t)\) é uma força que vale \(1\) no intervalo \([5,20)\) e \(0\) fora, isto é:
\[g(t)=\begin{cases} 1,&5\le t<20,\\[4pt] 0,&0\le t<5\\ \text{e}\\ t\ge 20. \end{cases}
As perguntas implícitas são: encontrar y(t)\] para todo \(t\ge0 (solução da EDO com essas condições e essa entrada em degrau limitado).
Informações importantes que temos:
EDO linear com coeficientes constantes e condições iniciais nulas.
Entrada g(t) é um pulso unitário entre t=5 e t=20.
Vamos usar transformada de Laplace e propriedades de deslocamento no tempo (Heaviside), por serem métodos diretos para problemas com entradas por partes e condições iniciais nulas.]
Passo 2
Representar g(t) com funções degrau (Heaviside). A forma padrão é:
g(t)=u(t-5)-u(t-20),
onde u(t-a) é a função degrau que vale 0 para t<a e 1 para t\ge a.
Essa representação é correta porque para t<5 ambos são zero, para 5\le t<20 temos 1-0=1, e para t\ge20 temos 1-1=0.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à EDO. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e lembrando que as condições iniciais são nulas (y(0)=y'(0)=0), temos: