Coloque V (verdadeira) ou F (falsa) para cada uma das seguintes afirmações:
(e) Se A é uma matriz quadrada, então A+A^T2 é simétrica e A-A^T2 é anti-simétrica;

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma afirmação que diz: “Se é uma matriz quadrada, então é simétrica e é anti-simétrica.” O conteúdo aqui é sobre propriedades de matrizes, especificamente matrizes simétricas e anti-simétricas. Para resolver, precisamos entender o que significa uma matriz ser simétrica ou anti-simétrica e verificar se as expressões dadas satisfazem essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que os elementos em posições espelhadas em relação à diagonal principal são iguais.

Passo 3

Agora, vamos considerar a primeira parte da afirmação: S^T = ( A + A^T2 )^T = A^T + (A^T)^T2 = A^T + A2 = S é simétrica. Vamos chamar essa matriz de . Para verificar se é simétrica, calculamos sua transposta:
Como , a matriz é simétrica.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte: K^T = ( A - A^T2 )^T = A^T - (A^T)^T2 = A^T - A2 = -A - A^T2 = -K é anti-simétrica. Vamos chamar essa matriz de . Uma matriz é anti-simétrica se . Vamos verificar isso:
Como , a matriz é anti-simétrica.

Resposta

Verdadeira.

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