Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial de
.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem um subespaço vetorial e aplicar essas propriedades ao conjunto
dado por:
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular quais são as condições para um conjunto ser um subespaço vetorial. Precisamos verificar três coisas:
- O conjunto não está vazio: Ou seja, ele contém o vetor zero.
- Fechamento sob adição: A soma de dois vetores (neste caso, polinômios) do conjunto também está no conjunto.
- Fechamento sob multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real também resulta em um vetor que está no conjunto.
Passo 3
1. Verificando se
não está vazio:
O vetor zero no espaço é o polinômio
. Vamos ver se esse polinômio est�� em
:
O vetor zero no espaço
A igualdade é verdadeira, então o vetor zero está em
. Portanto,
não está vazio.
Passo 4
2. Verificando o fechamento sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em :
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em
Vamos somar
e
:
Agora, precisamos verificar se o coeficiente do
na soma satisfaz a condição
:
A igualdade é verdadeira, então a soma
também pertence a
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando o fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer em e multiplicar por um número real
:
Vamos pegar um polinômio qualquer em
Precisamos verificar se o coeficiente do
satisfaz a condição:
Como
, multiplicando ambos os lados por
:
A igualdade é verdadeira, então
também pertence a
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.