Uma coluna de aço ( E=200 G P a ) de seção W 12 \times 87\left(I_{1-1}=3,08 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{4} e I_{2-2}=1,00 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{4}\right) \quad tem comprimento L=4,5 m, está apoiada apenas nas extremidades e pode flambar em qualquer direção.
Calcule o carregamento admissível P_{\text {adm }} baseado no carregamento crítico com um fator de segurança n=2,25. Considere as seguintes condições de apoio:
(c) engastada-pino;

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o carregamento admissível P_{\text{adm}} para a condição de apoio engastada-pino:
E = 200\\ \text{GPa},
I_{1-1} = 3{,}08\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^4,
I_{2-2} = 1{,}00\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^4,
L = 4{,}5\\ \mathrm{m},
n = 2{,}25.
A coluna pode flambear em qualquer direção (portanto devemos verificar as duas direções principais) e a condição de apoio pedida é engastada-pino (uma extremidade engastada, a outra articulada).

Passo 2

Método escolhido e motivo (explicação didática curta)
Vamos usar a fórmula de Euler para carga crítica de flambagem, porque a coluna é longa e a flambagem elástica é o modo esperado. A fórmula de Euler dá a carga crítica \,P_{cr}\, para uma coluna idealizada em função de E, do momento de inércia I da seção e do comprimento efetivo K L. Como a coluna pode flambear em qualquer direção, devemos calcular \,P_{cr}\, para as duas direções (usando I_{1-1} e I_{2-2}) e tomar a menor delas como a carga crítica governante.

Passo 3

Coeficiente de comprimento efetivo K para engastada-pino
Para condições padrão de contorno, existem tabelas com fatores K. Para engastada-pino (fixed–pinned) usa-se aproximadamente
K \approx 0{,}7.
(Valor padrão usado em projeto; o valor exato tabelado é cerca de 0{,}699, então 0{,}7 é usual e suficiente para cálculo de prova.)

Passo 4

Fórmula de Euler e definição das variáveis
A fórmula de Euler é:
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}},
onde:
  • \pi é a constante ( \pi\approx 3{,}14159),
  • E é o módulo de elasticidade (Pa),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flambagem considerado (m ^4),
  • L é o comprimento da coluna (m),
  • K é o fator de comprimento efetivo (adimensional).

Passo 5

Calcular K L e (K L)^{2}
K L = 0{,}7 \times 4{,}5 = 3{,}15\\ \mathrm{m},
(K L)^{2} = 3{,}15^{2} = 9{,}9225\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Calcular o coeficiente comum \displaystyle C=\frac{\pi^{2}E}{(K L)^{2}}
Primeiro \pi^{2}\approx 9{,}8696. Então
C=\frac{9{,}8696 \times (200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa})}{9{,}9225} =1{,}98928\times10^{11}\\ \mathrm{N/m}^{2}.
(Interpretação: multiplicando C por um I em \mathrm{m}^4 dá uma força em N.)

Passo 7

Calcular P_{cr} para cada eixo principal
Para o eixo 1–1 ( I_{1-1}=3{,}08\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^4):
P_{cr,1} = C \cdot I_{1-1} =1{,}98928\times10^{11}\times 3{,}08\times10^{-4} =6{,}12698\times10^{7}\\ \mathrm{N}.
Para o eixo 2–2 ( I_{2-2}=1{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^4):
P_{cr,2} = C \cdot I_{2-2} =1{,}98928\times10^{11}\times 1{,}00\times10^{-4} =1{,}98928\times10^{7}\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Escolher a carga crítica governante
Como a coluna pode flambear em qualquer direção, a carga crítica governante é a menor das duas:
P_{cr,\min}=P_{cr,2}=1{,}98928\times10^{7}\\ \mathrm{N}.

Passo 9

Calcular o carregamento admissível P_{\text{adm}} usando o fator de segurança n
P_{\text{adm}}=\frac{P_{cr,\min}}{n} =\frac{1{,}98928\times10^{7}}{2{,}25} =8{,}84124\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
Converter para unidades mais comuns:
P_{\text{adm}}=8{,}84\times10^{6}\\ \mathrm{N}=8{,}84\\ \mathrm{MN}=8841\\ \mathrm{kN}\\ \text{(aprox.)}.

Resposta

P_{\text{adm}}=8{,}84\times10^{6}\\ \mathrm{N} (aprox. 8{,}84\\ \mathrm{MN}=8841\\ \mathrm{kN})

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