Uma coluna de aço ( E=200 G P a ) de seção W 12 \times 87\left(I_{1-1}=3,08 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{4} e I_{2-2}=1,00 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{4}\right) \quad tem comprimento L=4,5 m, está apoiada apenas nas extremidades e pode flambar em qualquer direção.
Calcule o carregamento admissível P_{\text {adm }} baseado no carregamento crítico com um fator de segurança n=2,25. Considere as seguintes condições de apoio:
(b) engastada-livre;

Passo 1

O enunciado pede o carregamento admissível P_{\text{adm}} de uma coluna de aço com fator de segurança n=2,25 considerando a condição de apoio engastada-livre. Dados fornecidos:
E=200\\ \mathrm{GPa}=200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}
I_{1-1}=3,08\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{4}
I_{2-2}=1,00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{4}
L=4,5\\ \mathrm{m}
n=2,25
A coluna pode flambear em qualquer direção, portanto devemos verificar a flambagem em torno de ambas as direções principais e tomar a mais crítica (menor carga crítica).

Passo 2

Apresento a fórmula de Euler para carga crítica por flambagem. Esta fórmula vale para colunas delgadas e sem imperfeições grandes:
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}
onde:
  • P_{cr} é a carga crítica de Euler (unidade: N),
  • E é o módulo de elasticidade do material (Pa),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flambagem considerado (m^{4}),
  • L é o comprimento livre da coluna (m),
  • K é o fator de comprimento efetivo, que depende das condições de apoio.
Expliquei que cada símbolo significa o que está acima para você entender e poder aplicar essa fórmula na prova.

Passo 3

Determino o fator K para a condição de apoio engastada-livre. Para engastada-livre (fixo em uma extremidade e livre na outra) o fator é:
K=2{,}0
Isto vem da tabela clássica de fatores de comprimento efetivo para várias condições de contorno (padrão em vigas/colunas).

Passo 4

Como a coluna pode flambear em qualquer direção, calculo P_{cr} para os dois momentos de inércia e escolho o menor valor (o mais crítico).
Primeiro calculo o termo (K L)^{2}:
(KL)^{2}=(2{,}0\cdot4{,}5)^{2}=(9{,}0)^{2}=81{,}0

Passo 5

Calculo P_{cr} para a direção com I_{2-2}=1{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{4} (essa costuma ser a mais crítica porque I é menor):
\pi^{2}E I_{2-2}=\pi^{2}\cdot(200\times10^{9})\cdot(1{,}00\times10^{-4})=\pi^{2}\cdot2{,}00\times10^{7}
\pi^{2}\approx9{,}8696\quad\Rightarrow\quad \pi^{2}\cdot2{,}00\times10^{7}=1{,}9739\times10^{8}\\ \mathrm{N}
P_{cr,2}=\frac{1{,}9739\times10^{8}}{81{,}0}=2{,}4374\times10^{6}\\ \mathrm{N}

Passo 6

Para confirmar, calculo também P_{cr} para I_{1-1}=3{,}08\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{4}:
\pi^{2}E I_{1-1}=\pi^{2}\cdot(200\times10^{9})\cdot(3{,}08\times10^{-4})=\pi^{2}\cdot6{,}16\times10^{7}
\pi^{2}\cdot6{,}16\times10^{7}=6{,}0796\times10^{8}\\ \mathrm{N}
P_{cr,1}=\frac{6{,}0796\times10^{8}}{81{,}0}=7{,}5071\times10^{6}\\ \mathrm{N}
Compare: P_{cr,2}=2{,}4374\times10^{6}\\ \mathrm{N} e P_{cr,1}=7{,}5071\times10^{6}\\ \mathrm{N}. A menor é P_{cr,2}, então a flambagem ocorrerá nessa direção e é a que determina o carregamento admissível.

Passo 7

Agora aplico o fator de segurança n=2{,}25 para obter P_{\text{adm}}:
P_{\text{adm}}=\frac{P_{cr,\min}}{n}=\frac{2{,}4374\times10^{6}}{2{,}25}=1{,}0833\times10^{6}\\ \mathrm{N}
Converto para quilonewtons para leitura mais prática:
P_{\text{adm}}=1{,}0833\times10^{6}\\ \mathrm{N}=1{,}0833\times10^{3}\\ \mathrm{kN}\approx1083{,}3\\ \mathrm{kN}

Resposta

P_{\text{adm}}=1{,}0833\times10^{6}\\ \mathrm{N} (aprox. 1083{,}3\\ \mathrm{kN})

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