Uma coluna de aço ( E=200 G P a ) de seção W 12 \times 87\left(I_{1-1}=3,08 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{4} e I_{2-2}=1,00 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{4}\right) \quad tem comprimento L=4,5 m, está apoiada apenas nas extremidades e pode flambar em qualquer direção.
Calcule o carregamento admissível P_{\text {adm }} baseado no carregamento crítico com um fator de segurança n=2,25. Considere as seguintes condições de apoio:
(d) engastada-engastada.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o carregamento admissível P_{\text{adm}} de uma coluna de aço com fator de segurança n=2,25, usando o carregamento crítico de flambagem. Dados fornecidos (copiados do enunciado):
E=200\\ \text{GPa}=200\times10^{9}\\ \text{Pa}
I_{1-1}=3,08\times10^{-4}\\ \text{m}^{4}
I_{2-2}=1,00\times10^{-4}\\ \text{m}^{4}
L=4,5\\ \text{m}
Condição de apoio solicitada: engastada-engastada (ambas as extremidades encastradas). A coluna pode flambar em qualquer direção (portanto devemos considerar os dois momentos de inércia e tomar o menor carregamento crítico).

Passo 2

Plano de ação (o que efetivamente vamos calcular; explico cada passo em detalhes nos próximos passos):
  1. Calcular o comprimento efetivo (K L) para a condição engastada-engastada.
  2. Usar a fórmula de Euler para obter os carregamentos críticos \;P_{cr} em cada direção (com I_{1-1} e I_{2-2}).
  3. Tomar o menor P_{cr} (porque a coluna flamba na direção mais fraca).
  4. Dividir esse menor P_{cr} pelo fator de segurança n para obter P_{\text{adm}}.

Passo 3

Fórmula de Euler e significado das variáveis. A fórmula clássica de flambagem para coluna elástica e longa é
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}},
onde:
  • \pi é a constante pi ( \approx 3,14159);
  • E é o módulo de elasticidade do material (unidades: \text{Pa});
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flambagem considerado (unidades: \text{m}^{4});
  • L é o comprimento da coluna (unidades: \text{m});
  • K é o fator de comprimento efetivo que depende das condições de apoio (adimensional).
Para condição engastada-engastada (ambos os extremos encastrados), o fator de comprimento efetivo é
K=0,5.
Breve intuição: um encastramento em cada extremidade impede rotação, reduzindo a “parte efetiva” da coluna que pode deslizar, por isso a coluna se comporta como se tivesse comprimento efetivo menor ( K L é menor), o que aumenta a carga crítica.

Passo 4

Calcular o comprimento efetivo numérico:
K=0,5,\qquad L=4,5\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad K L=0,5\cdot4,5=2,25\\ \text{m}.

Passo 5

Calcular P_{cr} para a direção com I_{1-1}=3,08\times10^{-4}\\ \text{m}^{4}.
Primeiro, escrevemos a fórmula com os números:
P_{cr,1}=\frac{\pi^{2}\,E\,I_{1-1}}{(K L)^{2}}.
Substituindo:
P_{cr,1}=\frac{\pi^{2}\cdot(200\times10^{9})\cdot(3,08\times10^{-4})}{(2,25)^{2}}.
Agora calculamos em etapas (valores intermediários úteis):
\pi^{2}\approx9,8696.
\pi^{2}E \approx 9,8696\times200\times10^{9}=1{,}973920\!\times10^{12}.
\pi^{2}E I_{1-1}\approx1{,}973920\times10^{12}\times3{,}08\times10^{-4}=6{,}0796763\times10^{8}.
(KL)^{2}=(2,25)^{2}=5{,}0625.
Portanto
P_{cr,1}\approx\frac{6{,}0796763\times10^{8}}{5{,}0625}=1{,}20092\times10^{8}\\ \text{N}.
Arredondando razoavelmente,
P_{cr,1}\approx1{,}20\times10^{8}\\ \text{N} \quad(\text{ou }120{,}0\\ \text{MN}).

Passo 6

Calcular P_{cr} para a direção com I_{2-2}=1,00\times10^{-4}\\ \text{m}^{4}.
Usando a mesma fórmula:
P_{cr,2}=\frac{\pi^{2}\cdot(200\times10^{9})\cdot(1{,}00\times10^{-4})}{(2,25)^{2}}.
Etapas numéricas:
\pi^{2}E I_{2-2}\approx1{,}973920\times10^{12}\times1{,}00\times10^{-4}=1{,}9739209\times10^{8}.
P_{cr,2}\approx\frac{1{,}9739209\times10^{8}}{5{,}0625}=3{,}89905\times10^{7}\\ \text{N}.
Arredondando,
P_{cr,2}\approx3{,}90\times10^{7}\\ \text{N} \quad(\text{ou }39{,}0\\ \text{MN}).

Passo 7

Escolher o menor carregamento crítico (a coluna flamba na direção mais fraca). Comparando:
P_{cr,1}\approx1{,}20\times10^{8}\\ \text{N},\qquad P_{cr,2}\approx3{,}90\times10^{7}\\ \text{N}.
Portanto o valor crítico governante é
P_{cr,\min}=P_{cr,2}\approx3{,}89905\times10^{7}\\ \text{N}.

Passo 8

Calcular o carregamento admissível dividindo pelo fator de segurança n=2,25:
P_{\text{adm}}=\frac{P_{cr,\min}}{n}=\frac{3{,}89905\times10^{7}}{2{,}25}=1{,}73291\times10^{7}\\ \text{N}.
Arredondando para três algarismos significativos:
P_{\text{adm}}\approx1{,}73\times10^{7}\\ \text{N}.
(Em outras unidades isso equivale a 17{,}3\\ \text{MN} ou 17{,}3\times10^{3}\\ \text{kN}.)

Passo 9

Resumo final e verificação rápida: usamos a fórmula de Euler com K=0,5 (engastada-engastada), calculamos os dois P_{cr} usando I_{1-1} e I_{2-2}, escolhemos o menor e dividimos por n. O resultado está coerente com a ideia de que a direção com menor momento de inércia controla a flambagem e, portanto, o carregamento admissível.

Resposta

P_{\text{adm}}=1,73\times10^{7}\\ \text{N}

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