Uma coluna W 360 \times 57\left(I_{x}=160 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4}\right. e \left.I_{y}=11,1 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4}\right) com L=6 m é feita de aço A-36 (E=200 G P a) e está apenas engastada em sua base. Se estiver sujeita a uma carga axial P=75 k N, determine o fator de segurança com relação à flambagem.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o fator de segurança em relação à flambagem (colapso por encurvadura) de uma coluna. Dados fornecidos no enunciado:
\text{Seção: } W360\times57çã
I_x = 160\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4
I_y = 11{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4
L = 6\\ \mathrm{m}
E = 200\\ \mathrm{GPa}
P = 75\\ \mathrm{kN}
Condição de contorno informada: a coluna está apenas engastada em sua base (isto é, engaste na base e extremidade livre no topo).
Pergunta clara: calcular o fator de segurança contra flambagem, isto é
\text{F.S.}=\dfrac{P_{cr}}{P}
onde P_{cr} é a carga crítica de Euler.

Passo 2

Apresento a fórmula que usamos para flambagem elástica (carga crítica de Euler) e explico cada termo:
P_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L_{e}^{2}}
onde:
  • P_{cr} é a carga crítica (unidade: N),
  • \pi é a constante pi ( \approx 3{,}1416),
  • E é o módulo de elasticidade do material (unidade: \mathrm{N/mm}^2),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flambagem (unidade: \mathrm{mm}^4),
  • L_{e} é o comprimento efetivo da coluna (unidade: mm).
Explicação didática do comprimento efetivo L_{e}: para aplicações de Euler devemos usar um fator de comprimento efetivo K que depende das condições de apoio. O comprimento efetivo é
L_{e}=K\cdot L.
Tabela curta de K (valores clássicos):
  • coluna engastada em ambas as extremidades: K=0{,}5,
  • coluna articulada-articulada (pinos): K=1{,}0,
  • coluna engastada-livre (cantilever): K=2{,}0.
No enunciado a coluna está “apenas engastada em sua base” => condição engastada-livre (cantilever), logo K=2{,}0. Isso significa que a coluna efetivamente tem comprimento de flambagem duas vezes o comprimento geométrico: \;L_e = 2L.

Passo 3

Decisão sobre o momento de inércia I a usar: a flambagem ocorre em torno do eixo que dá o menor P_{cr}, isto é, em torno do eixo com o menor momento de inércia. O enunciado fornece I_x e I_y. Vou usar o menor:
I_{\min}=I_y=11{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4,
pois esse eixo é o mais crítico (flambagem ocorrerá nesse sentido se nada mais for especificado).

Passo 4

Conversões e cálculo do comprimento efetivo:
  • converto L para \mathrm{mm}:
L = 6\\ \mathrm{m} = 6000\\ \mathrm{mm}.
  • fator K=2{,}0 (engastado-livre), então
L_{e}=K\cdot L = 2{,}0\cdot6000\\ \mathrm{mm}=12000\\ \mathrm{mm}.
  • converto E para \mathrm{N/mm}^2 (lembrando que 1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{N/mm}^2):
E=200\\ \mathrm{GPa}=200{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2.

Passo 5

Agora calculo P_{cr} pela fórmula de Euler, mostrando os passos numéricos:
P_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I_{\min}}{L_{e}^{2}}.
Substituindo os valores:
P_{cr}=\dfrac{\pi^2\cdot(200{,}000)\cdot(11{,}1\times10^{6})}{(12000)^{2}}\\ \mathrm{N}.
Faço as contas em etapas:
\pi^2 \approx 9{,}8696.
Produto no numerador:
200{,}000\cdot11{,}1\times10^{6} = 2{,}22\times10^{12}.
Então
\pi^2\cdot200{,}000\cdot11{,}1\times10^{6} \approx 9{,}8696\cdot2{,}22\times10^{12} \approx 2{,}19105\times10^{13}.
Denominador:
(12000)^2 = 144\times10^{6}=1{,}44\times10^{8}.
Dividindo:
P_{cr}\approx \dfrac{2{,}19105\times10^{13}}{1{,}44\times10^{8}} \\ \mathrm{N} \approx 1{,}5217\times10^{5}\\ \mathrm{N}.
Convertendo para kN:
P_{cr}\approx 152{,}17\\ \mathrm{kN}\\ (\text{aprox. }152{,}2\\ \mathrm{kN}).

Passo 6

Cálculo do fator de segurança contra flambagem:
\text{F.S.}=\dfrac{P_{cr}}{P}=\dfrac{152{,}17\\ \mathrm{kN}}{75\\ \mathrm{kN}}\approx 2{,}0296\approx 2{,}03.
Interpretação curta e empática: o fator de segurança é cerca de 2{,}03, ou seja, a carga crítica de flambagem é pouco mais que o dobro da carga aplicada. Isso indica que, sob as hipóteses elásticas de Euler (coluna ideal, sem imperfeições, comportamento linear até flambagem), a seção é segura contra flambagem com F.S. ≈ 2. Lembre-se que, na prática, é importante considerar imperfeições, excentricidades e códigos que podem exigir fatores de segurança maiores.

Resposta

\text{F.S.} \approx 2{,}03

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