Uma coluna biarticulada de 2 m de comprimento de seção transversal quadrada deve ser feita de madeira. Considerando que E=13 GPa, oadm =12 MPa e usando um coeficiente de segurança de 2,5 ao calcular a força crítica de Euler para a flambagem, determine a dimensão da seção transversal se a coluna deve suportar com segurança (a) uma força de 150 kNe (b) uma força de 300kN.

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem: uma coluna de madeira biarticulada (ou seja, apoiada nos dois lados de forma que gira livremente) com 2 m de comprimento. A madeira tem módulo de Young E = 13 GPa e tensão admissível σ_adm = 12 MPa, e a gente vai usar um coeficiente de segurança (SF) de 2,5.
O que a questão pede é achar a dimensão do lado da seção transversal quadrada (vamos chamar de “a”) para que a coluna aguente COM SEGURANÇA duas situações:
a) P = 150 kN
b) P = 300 kN
Conteúdo envolvido: flambagem de Euler (carga crítica), momento de inércia de uma seção quadrada e fator de segurança. Vamos precisar da fórmula da carga crítica de Euler:

e do momento de inércia de um quadrado de lado :
.

Passo 2

Primeiro, vamos combinar tudo numa expressão para o lado Pallow = PcrSF. Como a coluna é biarticulada, o fator de comprimento efetivo PcrSF >= P e 1SF,pi^2 E ,l(a^4/12r)(1cdot L)^2 >= P m. A carga de falha efetiva (levando em conta o fator de segurança) é
a^4 >= 12,(1cdot L)^2,SF,Ppi^2 E
Para que a coluna aguente a carga boxeda >= [12,L^2,SF,Ppi^2 E]^1/4, , a gente impõe
Substituindo e , fica
Desse jeito, isolamos :
Portanto

Passo 3

Caso (a): L = 2,m, SF=2,5, E=13times10^9,Pa, ,kN = a >= gl[12,(2)^2,(2,5),(150times10^3)pi^2,(13times10^9)gr]^1/4 ,N.
Substituindo:
Vamos calcular passo a passo:
  1. Numerador:
  2. Denominador:
  3. Quociente:
  4. Raiz quarta: ,m = 109 mm.

Passo 4

Caso (b): a >= gl[12cdot4cdot2,5cdot300times10^3pi^2cdot13times10^9gr]^1/4 = l[2 times 1,403times10^-4r]^1/4 = (2,806times10^-4)^1/4 ,kN = ,N. É bem parecido, só dobra o , então o quociente dobra:
Fazendo a conta:
,m = 130 mm (aprox.).

Resposta

a) Para P = 150 kN: lado ,mm
b) Para P = 300 kN: lado ,mm

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