Numa coluna com um condensador total e um refervedor parcial, deseja-se destilar uma mistura com
molares de etanol e
molares de água, à taxa de
, injetando-se a carga com uma fração vaporizada de
e a 1,0 atm. O destilado deve conter
molares de etanol e corresponder a
do álcool presente na carga inicial. A razão de refluxo real utilizada será de (
) 0,957 .
f) Número de estágios reais para uma coluna com eficiência global de 40%.
f) Número de estágios reais para uma coluna com eficiência global de 40%.
Passo 1
Vou listar TUDO que o enunciado me deu e o que ele pede, bem devagarinho (peguei os números direto do seu enunciado).
-
Dados fornecidos:
- Vazão da carga (feed):
. - Composição da carga (etanol):
(30% molares etanol, 70% água). - Fração vaporizada da carga:
(ou seja, líquido equivalente — detalhe explicado depois). - Pressão:
(informação de funcionamento, útil para VLE). - Destilado (distillate) deve ter
(80% molares etanol). - Recuperação do etanol no destilado:
do álcool presente na carga vai para o destilado. - Razão de refluxo real utilizada:
. Vou chamar isso de . - Coluna com condensador total e refervedor parcial.
- Eficiência global da coluna:
(ou seja ).
- Vazão da carga (feed):
-
O que é pedido na letra (f):
- “Número de estágios reais para uma coluna com eficiência global de
.” - Em outras palavras: calcular o número de estágios reais (físicos) da coluna dada a eficiência global; isso precisa do número de estágios teóricos (N_teórica) e depois converter para estágios reais.
- “Número de estágios reais para uma coluna com eficiência global de
Passo 2
Primeiro faço cálculos que já posso fazer direto com os dados (essas contas são úteis sempre que a coluna aparece):
-
Moles de etanol na carga:
-
Como
desse etanol vai para o destilado, moles de etanol no destilado: -
Como o destilado tem
etanol, a taxa de destilado é: -
Taxa de fundo (bottoms)
: -
Fração molar de etanol no fundo
: Ou seja, o fundo tem cerca demolar de etanol. Essas quantidades são úteis porque aparecem nas equações de projeto (Fenske, etc.).
Passo 3
Explicando o que significa “número de estágios reais” e como se obtém a partir do teorético (a parte didática que você pediu, passo a passo):
-
Conceito: o número de estágios teóricos (também chamado de pratos teóricos) é o número de equilíbrios vapor–líquido ideais que seriam necessários para atingir a separação desejada, supondo equilíbrio perfeito em cada estágio. O número de estágios reais (físicos) é maior porque, na prática, cada estágio real tem eficiência menor que 100%. Para converter:onde
é a eficiência global da coluna (aqui ). -
Portanto, a tarefa essencial é: primeiro determinar
(o número de estágios teóricos para a separação pedida, com o refluxo real ); depois aplicar a eficiência para obter o número de estágios reais.
Passo 4
Como se calcula
— o roteiro completo (vou explicar cada fórmula devagar, sem pular etapas):
Para colunas de destilação contínua bi-componentes costuma-se usar a sequência de métodos Fenske–Underwood–Gilliland:
-
Fenske: calcula o número mínimo de estágios teóricos
necessário no caso de refluxo infinito (total reflux). Fórmula (para binário com volatilidades separáveis por uma média ): onde:-
é fração molar do componente mais volátil no destilado ( para etanol aqui); -
é fração molar do componente mais volátil no fundo (calculada acima ); -
é a volatilidade relativa (relative volatility) média do etanol em relação à água na faixa de interesse (explico sobre isso abaixo).
Interpretação:é o número teórico mínimo de estágios se você usar refluxo infinito (energia extrema). Para refluxos finitos o número de estágios será maior que . -
-
Underwood: usado para calcular a razão de refluxo mínima
. A equação de Underwood envolve resolver para um parâmetro a equação ondesão as frações molares do alimento e as volatilidades relativas (por convenção a volatilidade do componente pesado é 1). Depois de encontrar , Para mistura binária isso vira uma equação simples em(duas componentes). O ponto aqui: Underwood precisa de (ou do equílibrio vapor–líquido detalhado). -
Gilliland: tabela/gráfico empírico que relaciona a folga de refluxo
com a folga de estágios . Definições Usando o gráfico de Gilliland (ou uma correlação empírica para ele) obtém-sea partir de , e então resolve-se para :
- Observação didática sobre
(volatilidade relativa): é a razão entre as pressões de vapor (ou coeficientes de atividade) do componente leve e do componente pesado; para uma mistura binária simples e ao redor de uma faixa de composições costuma-se usar uma média. Para etanol–água à pressão ambiente valores típicos médios de ficam entre aproximadamente e dependendo da temperatura/composição — portanto o resultado numérico é sensível a qual se usar. Se houver dados de equilíbrio (curva vs ou tabelas de pressão de vapor), deve-se usar esses dados para obter médio ou trabalhar diretamente com o McCabe–Thiele. Sem esses dados, qualquer valor numérico será apenas uma estimativa.
Passo 5
Ponto crítico: que informação está faltando para um cálculo numérico exato?
- Para computar numericamente
eu preciso dos dados de equilíbrio vapor–líquido (VLE) ou, de forma simplificada, de uma volatilidade relativa média para o par etanol–água à pressão de operação (1 atm) na faixa de composições envolvidas. - O enunciado que você me deu não traz nem curva de equilíbrio nem valor de
. Portanto NÃO É POSSÍVEL calcular numericamente, com certeza, o número de estágios teóricos e, por consequência, o número de estágios reais exato. - Reforçando: sem VLE (ou
) qualquer número que eu der seria uma suposição. Posso mostrar como proceder SE você me der ou a curva — ou posso fazer uma ilustração assumindo um valor típico de , mas isso será apenas um exemplo ilustrativo, não o número exato pedido pela sua prova/exame.
Passo 6
Vou mostrar um exemplo numérico ilustrativo (APENAS como demonstração do método), assumindo uma volatilidade relativa média razoável — assim você vê como a sequência de cálculos se desenrola. Mas atenção: esse resultado é um exemplo e depende diretamente da suposição de
.
- Suponha, por exemplo,
(valor típico usado em exercícios didáticos para etanol–água em condições moderadas — repito: é uma suposição).
- Calcular
via Fenske: Calculando os termos:
-
Calcular
via Underwood: para binário é preciso resolver a equação em . Com os dados do exemplo e a equação de Underwood (usando , ) fica Substituindoverifica-se que isso já satisfaz a equação (isto é, é solução neste caso), o que leva a pela fórmula de Underwood (situação especial: mínimo reflux nulo — significa que, com estágios suficientes, uma razão de reflux zero separaria por acumulação). (Essa situação particular decorre da combinação dos números aqui; em geral nem sempre acontece.) -
Agora
real é . Com , Usando o gráfico de Gilliland (ou uma correlação aproximada), parae obtém-se tipicamente um da ordem de a pratos teóricos (dependendo da exatidão da correlação usada). Por exemplo, se a correlação fornecer então Esse é um valor ilustrativo. -
Finalmente converter para estágios reais com eficiência global
: Se usarmos oilustrativo , então
- Resumo do exemplo: assumindo
e usando uma leitura típica da correlação de Gilliland, obtive cerca de e . Repito: isto é somente uma ilustração para você ver o fluxo de cálculo. O número real mudaria se fosse outro ou se se usasse a curva VLE real.
Passo 7
O que você precisa fazer para obter o valor exato para a sua prova (passos práticos):
- Se tiver a curva de equilíbrio
vs (ou tabelas de e coeficientes de atividade), use McCabe–Thiele diretamente (mais preciso) ou calcule uma volatilidade média e siga Fenske–Underwood–Gilliland como eu mostrei. - Se tiver apenas um valor de
(fornecido pelo professor ou por tabela), faça: - Calcule
com Fenske. - Calcule
e com Underwood. - Calcule
e use Gilliland para obter . - Divida por
para obter .
- Calcule
- Se quiser, me envie o valor de
(ou a curva ), que eu já aqui calculo passo a passo e te dou o número final de estágios reais — faço isso sem pressa e explicando cada conta.
Resposta
Não é possível determinar numericamente o número de estágios reais sem dados de equilíbrio (curva VLE ou volatilidade relativa
). Em forma algébrica a relação é
.