Numa coluna com um condensador total e um refervedor parcial, deseja-se destilar uma mistura com 30 \% molares de etanol e 70 \% molares de água, à taxa de 100 \mathrm{lb}-\mathrm{mol} / \mathrm{h}, injetando-se a carga com uma fração vaporizada de 10 \% e a 1,0 atm. O destilado deve conter 80 \% molares de etanol e corresponder a 95 \% do álcool presente na carga inicial. A razão de refluxo real utilizada será de ( \mathrm{L}_{\circ} / \mathrm{D} ) 0,957 .
f) Número de estágios reais para uma coluna com eficiência global de 40%.

Passo 1

Vou listar TUDO que o enunciado me deu e o que ele pede, bem devagarinho (peguei os números direto do seu enunciado).
  • Dados fornecidos:
    • Vazão da carga (feed): F = 100\\ \mathrm{lb\text{-}mol/h}.
    • Composição da carga (etanol): z_F = 0{,}30 (30% molares etanol, 70% água).
    • Fração vaporizada da carga: 10\% (ou seja, q = 0{,}90 líquido equivalente — detalhe explicado depois).
    • Pressão: 1{,}0\\ \mathrm{atm} (informação de funcionamento, útil para VLE).
    • Destilado (distillate) deve ter x_D = 0{,}80 (80% molares etanol).
    • Recuperação do etanol no destilado: 95\% do álcool presente na carga vai para o destilado.
    • Razão de refluxo real utilizada: \dfrac{L_0}{D} = 0{,}957. Vou chamar isso de R = 0{,}957.
    • Coluna com condensador total e refervedor parcial.
    • Eficiência global da coluna: 40\% (ou seja \varepsilon_{\text{global}}=0{,}40).
  • O que é pedido na letra (f):
    • “Número de estágios reais para uma coluna com eficiência global de 40\%.”
    • Em outras palavras: calcular o número de estágios reais (físicos) da coluna dada a eficiência global; isso precisa do número de estágios teóricos (N_teórica) e depois converter para estágios reais.

Passo 2

Primeiro faço cálculos que já posso fazer direto com os dados (essas contas são úteis sempre que a coluna aparece):
  • Moles de etanol na carga:
    \text{etanol na carga} = F z_F = 100 \times 0{,}30 = 30\\ \mathrm{lb\text{-}mol/h}.
  • Como 95\% desse etanol vai para o destilado, moles de etanol no destilado:
    \text{etanol no destilado} = 0{,}95 \times 30 = 28{,}5\\ \mathrm{lb\text{-}mol/h}.
  • Como o destilado tem x_D=0{,}80 etanol, a taxa de destilado D é:
    D = \frac{\text{etanol no destilado}}{x_D} = \frac{28{,}5}{0{,}80} = 35{,}625\\ \mathrm{lb\text{-}mol/h}.
  • Taxa de fundo (bottoms) B:
    B = F - D = 100 - 35{,}625 = 64{,}375\\ \mathrm{lb\text{-}mol/h}.
  • Fração molar de etanol no fundo x_B:
    x_B = \frac{\text{etanol no fundo}}{B} = \frac{30 - 28{,}5}{64{,}375} = \frac{1{,}5}{64{,}375} \approx 0{,}02330.
    Ou seja, o fundo tem cerca de 2{,}33\% molar de etanol. Essas quantidades são úteis porque aparecem nas equações de projeto (Fenske, etc.).

Passo 3

Explicando o que significa “número de estágios reais” e como se obtém a partir do teorético (a parte didática que você pediu, passo a passo):
  • Conceito: o número de estágios teóricos (também chamado de pratos teóricos) é o número de equilíbrios vapor–líquido ideais que seriam necessários para atingir a separação desejada, supondo equilíbrio perfeito em cada estágio. O número de estágios reais (físicos) é maior porque, na prática, cada estágio real tem eficiência menor que 100%. Para converter:
    \text{N}_{\text{real}} = \frac{\text{N}_{\text{teórica}}}{\varepsilon_{\text{global}}},ó
    onde \varepsilon_{\text{global}} é a eficiência global da coluna (aqui 0{,}40).
  • Portanto, a tarefa essencial é: primeiro determinar \text{N}_{\text{teórica}}ó (o número de estágios teóricos para a separação pedida, com o refluxo real R); depois aplicar a eficiência para obter o número de estágios reais.

Passo 4

Como se calcula \text{N}_{\text{teórica}}ó — o roteiro completo (vou explicar cada fórmula devagar, sem pular etapas):
Para colunas de destilação contínua bi-componentes costuma-se usar a sequência de métodos Fenske–Underwood–Gilliland:
  1. Fenske: calcula o número mínimo de estágios teóricos N_{\min} necessário no caso de refluxo infinito (total reflux). Fórmula (para binário com volatilidades separáveis por uma média \alpha):
    N_{\min} = \frac{\ln\!\left( \dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)} \right)}{\ln \alpha},
    onde:
    • x_D é fração molar do componente mais volátil no destilado ( 0{,}80 para etanol aqui);
    • x_B é fração molar do componente mais volátil no fundo (calculada acima \approx 0{,}02330);
    • \alpha é a volatilidade relativa (relative volatility) média do etanol em relação à água na faixa de interesse (explico sobre isso abaixo).
    Interpretação: N_{\min} é o número teórico mínimo de estágios se você usar refluxo infinito (energia extrema). Para refluxos finitos o número de estágios será maior que N_{\min}.
  2. Underwood: usado para calcular a razão de refluxo mínima R_{\min}. A equação de Underwood envolve resolver para um parâmetro \theta a equação
    \sum_i \frac{z_i \alpha_i}{\alpha_i - \theta} = 1,
    onde z_i são as frações molares do alimento e \alpha_i as volatilidades relativas (por convenção a volatilidade do componente pesado é 1). Depois de encontrar \theta,
    R_{\min} = \sum_i \frac{\alpha_i x_{D,i}}{\alpha_i - \theta} - 1.
    Para mistura binária isso vira uma equação simples em \theta (duas componentes). O ponto aqui: Underwood precisa de \alpha (ou do equílibrio vapor–líquido detalhado).
  3. Gilliland: tabela/gráfico empírico que relaciona a folga de refluxo X com a folga de estágios Y. Definições
    X = \frac{R - R_{\min}}{R + 1},\qquad Y = \frac{N_{\text{teórica}} - N_{\min}}{N_{\text{teórica}} + 1}.óó
    Usando o gráfico de Gilliland (ou uma correlação empírica para ele) obtém-se Y a partir de X, e então resolve-se para N_{\text{teórica}}ó:
    N_{\text{teórica}} = \frac{N_{\min} + Y}{1 - Y}.ó
  • Observação didática sobre \alpha (volatilidade relativa): \alpha é a razão entre as pressões de vapor (ou coeficientes de atividade) do componente leve e do componente pesado; para uma mistura binária simples e ao redor de uma faixa de composições costuma-se usar uma \alpha média. Para etanol–água à pressão ambiente valores típicos médios de \alpha ficam entre aproximadamente 1{,}5 e 3{,}0 dependendo da temperatura/composição — portanto o resultado numérico é sensível a qual \alpha se usar. Se houver dados de equilíbrio (curva y vs x ou tabelas de pressão de vapor), deve-se usar esses dados para obter \alpha médio ou trabalhar diretamente com o McCabe–Thiele. Sem esses dados, qualquer valor numérico será apenas uma estimativa.

Passo 5

Ponto crítico: que informação está faltando para um cálculo numérico exato?
  • Para computar numericamente \text{N}_{\text{teórica}}ó eu preciso dos dados de equilíbrio vapor–líquido (VLE) ou, de forma simplificada, de uma volatilidade relativa média \alpha para o par etanol–água à pressão de operação (1 atm) na faixa de composições envolvidas.
  • O enunciado que você me deu não traz nem curva de equilíbrio nem valor de \alpha. Portanto NÃO É POSSÍVEL calcular numericamente, com certeza, o número de estágios teóricos e, por consequência, o número de estágios reais exato.
  • Reforçando: sem VLE (ou \alpha) qualquer número que eu der seria uma suposição. Posso mostrar como proceder SE você me der \alpha ou a curva y(x) — ou posso fazer uma ilustração assumindo um valor típico de \alpha, mas isso será apenas um exemplo ilustrativo, não o número exato pedido pela sua prova/exame.

Passo 6

Vou mostrar um exemplo numérico ilustrativo (APENAS como demonstração do método), assumindo uma volatilidade relativa média razoável — assim você vê como a sequência de cálculos se desenrola. Mas atenção: esse resultado é um exemplo e depende diretamente da suposição de \alpha.
  • Suponha, por exemplo, \alpha = 2{,}0 (valor típico usado em exercícios didáticos para etanol–água em condições moderadas — repito: é uma suposição).
  1. Calcular N_{\min} via Fenske: N_{\min} = \frac{\ln\!\left( \dfrac{0{,}80/(1-0{,}80)}{0{,}02330/(1-0{,}02330)} \right)}{\ln 2{,}0} = \frac{\ln\!\left( \dfrac{0{,}80/0{,}20}{0{,}02330/0{,}97670} \right)}{\ln 2{,}0}.Calculando os termos: \dfrac{0{,}80}{0{,}20}=4,\quad \dfrac{0{,}02330}{0{,}97670}\approx 0{,}02385,\quad \dfrac{4}{0{,}02385}\approx 167{,}7.
N_{\min} = \frac{\ln(167{,}7)}{\ln 2} \approx \frac{5{,}122}{0{,}6931}\approx 7{,}39.
  1. Calcular R_{\min} via Underwood: para binário é preciso resolver a equação em \theta. Com os dados do exemplo e \alpha=2{,}0 a equação de Underwood (usando z_1=0{,}30, z_2=0{,}70) fica
    \frac{0{,}30\times 2{,}0}{2{,}0 - \theta} + \frac{0{,}70\times 1}{1 - \theta} = 1.
    Substituindo \theta=0 verifica-se que isso já satisfaz a equação (isto é, \theta=0 é solução neste caso), o que leva a R_{\min}=0 pela fórmula de Underwood (situação especial: mínimo reflux nulo — significa que, com estágios suficientes, uma razão de reflux zero separaria por acumulação). (Essa situação particular decorre da combinação dos números aqui; em geral nem sempre acontece.)
  2. Agora R real é 0{,}957. Com R_{\min}=0,
    X=\frac{R-R_{\min}}{R+1}=\frac{0{,}957}{0{,}957+1}\approx 0{,}489.
    Usando o gráfico de Gilliland (ou uma correlação aproximada), para X\approx 0{,}49 e N_{\min}\approx 7{,}39 obtém-se tipicamente um N_{\text{teórica}}ó da ordem de \sim 18 a 22 pratos teóricos (dependendo da exatidão da correlação usada). Por exemplo, se a correlação fornecer Y\approx 0{,}60 então
    N_{\text{teórica}}=\frac{N_{\min}+Y}{1-Y}=\frac{7{,}39+0{,}60}{1-0{,}60}\approx \frac{7{,}99}{0{,}40}=19{,}97\approx 20.ó
    Esse é um valor ilustrativo.
  3. Finalmente converter para estágios reais com eficiência global \varepsilon_{\text{global}}=0{,}40:
    N_{\text{real}} = \frac{N_{\text{teórica}}}{0{,}40}.ó
    Se usarmos o N_{\text{teórica}}ó ilustrativo \approx 20, então
    N_{\text{real}} \approx \frac{20}{0{,}40} = 50\\ \text{estágios reais (exemplo)}.á
  • Resumo do exemplo: assumindo \alpha=2{,}0 e usando uma leitura típica da correlação de Gilliland, obtive cerca de N_{\text{teórica}}\approx 20ó e N_{\text{real}}\approx 50. Repito: isto é somente uma ilustração para você ver o fluxo de cálculo. O número real mudaria se \alpha fosse outro ou se se usasse a curva VLE real.

Passo 7

O que você precisa fazer para obter o valor exato para a sua prova (passos práticos):
  • Se tiver a curva de equilíbrio y vs x (ou tabelas de P^{\text{sat}} e coeficientes de atividade), use McCabe–Thiele diretamente (mais preciso) ou calcule uma volatilidade média \alpha e siga Fenske–Underwood–Gilliland como eu mostrei.
  • Se tiver apenas um valor de \alpha (fornecido pelo professor ou por tabela), faça:
    1. Calcule N_{\min} com Fenske.
    2. Calcule \theta e R_{\min} com Underwood.
    3. Calcule X e use Gilliland para obter N_{\text{teórica}}ó.
    4. Divida por 0{,}40 para obter N_{\text{real}}.
  • Se quiser, me envie o valor de \alpha (ou a curva y(x)), que eu já aqui calculo passo a passo e te dou o número final de estágios reais — faço isso sem pressa e explicando cada conta.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o número de estágios reais sem dados de equilíbrio (curva VLE ou volatilidade relativa \alpha). Em forma algébrica a relação é \displaystyle N_{\text{real}}=\dfrac{N_{\text{teórica}}}{0{,}40}ó.

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