Numa coluna com um condensador total e um refervedor parcial, deseja-se destilar uma mistura com 30 \% molares de etanol e 70 \% molares de água, à taxa de 100 \mathrm{lb}-\mathrm{mol} / \mathrm{h}, injetando-se a carga com uma fração vaporizada de 10 \% e a 1,0 atm. O destilado deve conter 80 \% molares de etanol e corresponder a 95 \% do álcool presente na carga inicial. A razão de refluxo real utilizada será de ( \mathrm{L}_{\circ} / \mathrm{D} ) 0,957 .
c) Estimativa do número de estágios de equilibrio teóricos necessários.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos estes números do enunciado).
  • Fração molar de etanol na alimentação: \;z_F = 0{,}30.
  • Vazão de alimentação: \;F = 100\\ \mathrm{lb\text{-}mol/h}.
  • Fração vaporizada da alimentação: \;q = 0{,}10 (ou seja, 10\% em vapor).
  • Pressão: \;1{,}0\\ \mathrm{atm}.
  • Composição do destilado (topo): \;x_D = 0{,}80 (80% molares etanol no destilado).
  • Recuperação de etanol no destilado: 95\% do etanol da alimentação (ou seja, 0{,}95 fração de recuperação).
  • Razão de refluxo real dada: \;R = \dfrac{L_0}{D} = 0{,}957.
  • O objetivo (item c): estimar o número de estágios de equilíbrio teóricos necessários para atingir essa separação com a razão de refluxo informada.
Observações numéricas que podemos já extrair (usaremos adiante):
  • Moles de etanol na alimentação: F z_F = 100 \times 0{,}30 = 30\\ \mathrm{lb\text{-}mol/h}.
  • Etanol no destilado (recuperado): 0{,}95\times 30 = 28{,}5\\ \mathrm{lb\text{-}mol/h}.
  • Como o destilado tem x_D=0{,}80, a vazão de destilado é
D = \dfrac{28{,}5}{0{,}80} = 35{,}625\\ \mathrm{lb\text{-}mol/h}.
  • Vazão de fundo (bottoms): B = F - D = 100 - 35{,}625 = 64{,}375\\ \mathrm{lb\text{-}mol/h}.
  • Fração molar de etanol no fundo (bottoms):
x_B = \dfrac{\text{etano no fundo}}{B} = \dfrac{30 - 28{,}5}{64{,}375} = \dfrac{1{,}5}{64{,}375}\approx 0{,}0233.

Passo 2

Explicando o método que vou usar (passo-a-passo e por que): para estimar o número de estágios teóricos com uma razão de refluxo conhecida costuma-se usar o método gráfico de McCabe–Thiele (ou sua versão numérica), que exige a curva de equilíbrio y vs x (vapor vs líquido) para o par etanol–água. Uma maneira simples e usual em exercícios é assumir que a volatilidade relativa é aproximadamente constante e adotar uma expressão analítica de equilíbrio baseada em volatilidade relativa constante \alpha:
y = \dfrac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)\,x}.
Aqui \;x é a fração molar do componente mais volátil (etanol) no líquido, \;y a fração no vapor, e \alpha é a volatilidade relativa média etanol/água. Essa expressão vem de Raoult + definição de \alpha = \dfrac{K_{\text{etanol}}}{K_{\text{água}}}á assumindo \alpha constante.
Comentário empático e justificativa da aproximação: eu sei que você está sem tempo e que não foram fornecidos dados de equilíbrio no enunciado — por isso é razoável (e comum em provas) assumir uma volatilidade relativa média. Para etanol–água a 1 atm valores médios de \alpha variam tipicamente entre 2{,}0 e 3{,}0 dependendo da faixa de composição. Vou começar com uma escolha conservadora e típica: \alpha = 2{,}0. Vou mostrar o procedimento com essa hipótese e, ao final, interpretar o resultado (se for inviável com \alpha=2{,}0 eu explico o porquê e o que é necessário mudar).

Passo 3

Montando as curvas operacionais necessárias (retificadora e q-line) para McCabe–Thiele e explicando fórmulas.
  • Curva de equilíbrio (assumindo \alpha = 2{,}0):
y_{\text{eq}}(x) = \dfrac{2x}{1 + x}.
Expliquei antes de onde vem essa fórmula: é a forma da razão constante de volatilidade.
  • Linha de operação na seção retificadora (total condenser, padrão):
y = \dfrac{R}{R+1}\,x + \dfrac{x_D}{R+1}.
Aqui \;R=\dfrac{L_0}{D} é a razão de refluxo; essa linha vem do balanço de massa sobre a seção superior assumindo escoamento molar constante. Substituindo \;R=0{,}957 e \;x_D=0{,}80,
\frac{R}{R+1}=\frac{0{,}957}{1{,}957}\approx 0{,}4891,\qquad \frac{x_D}{R+1}=\frac{0{,}80}{1{,}957}\approx 0{,}4089.
Logo a linha retificadora é
y_R(x) = 0{,}4891\,x + 0{,}4089.
  • Linha q (condição de alimentação): a q-line é uma reta que passa por (z_F,z_F) com inclinação \dfrac{q}{q-1}. Assim
\text{slope}_q=\frac{q}{q-1}=\frac{0{,}10}{-0{,}90}=-0{,}111111\ldots
e a q-line (escrita na forma y=m_q x + b_q) é
y_q(x) = -0{,}111111\,x + 0{,}333333,
porque ela passa por (0{,}30,0{,}30).

Passo 4

Verificação importante (conceito de “pinch”): antes de tentar contar estágios, é essencial verificar se, com a curva de equilíbrio e a linha de operação dada, a operação é viável — se a linha de operação retificadora fica sempre acima da curva de equilíbrio na região de interesse, então é possível fazer degraus; se a linha de operação cruza a curva de equilíbrio em ponto entre \;x_D e \;x_B, então há um “pinch” e a separação NÃO pode ser obtida com essa razão de refluxo (o número de estágios tende a infinito). Por isso vou procurar interseção entre y_R(x) e y_{\text{eq}}(x).
Resolver y_R(x)=y_{\text{eq}}(x) para \alpha=2{,}0:
0{,}4891\,x + 0{,}4089 = \dfrac{2x}{1+x}.
Essa equação pode ser rearranjada em forma algébrica e resolvida. Faço os passos algébricos:
\text{Multiplicar ambos os lados por }(1+x):
(0{,}4891 x + 0{,}4089)(1+x) = 2x.
Desenvolvendo:
0{,}4891 x + 0{,}4891 x^2 + 0{,}4089 + 0{,}4089 x - 2x = 0.
Agrupando termos:
0{,}4891 x^2 + (0{,}4891 + 0{,}4089 - 2)x + 0{,}4089 = 0,
0{,}4891 x^2 -1{,}1019 x + 0{,}4089 = 0.
Resolvendo esta quadrática (pela fórmula de Bhaskara) obtém-se as raízes; calculando numericamente (detalhes numéricos):
\Delta = (-1{,}1019)^2 - 4(0{,}4891)(0{,}4089) \approx 1{,}2139 - 0{,}7990 = 0{,}4149,
x = \dfrac{1{,}1019 \pm \sqrt{0{,}4149}}{2\times 0{,}4891}.
Isso dá duas raízes; a que está no intervalo físico [0,1] é aproximadamente
x_{\text{int}} \approx 0{,}4686.
Correspondente y de interseção (plugando em y_R ou y_{\text{eq}}) é aproximadamente
y_{\text{int}} \approx 0{,}6380.

Passo 5

Interpretação do resultado do passo anterior: a interseção (x_{\text{int}}\approx 0{,}4686,\;y_{\text{int}}\approx 0{,}6380) está entre x_D=0{,}80 e x_B\approx 0{,}0233. Isso significa que a linha de operação retificadora cruza a curva de equilíbrio em um ponto dentro da região de interesse. No procedimento de McCabe–Thiele isso causa que, ao fazer os degraus (horizontal → vertical → horizontal → …), os pontos convergem para essa interseção e não progridem até x_B: na prática há um “pinch” e não é possível alcançar a composição desejada com um número finito de estágios usando essa razão de refluxo. Em termos práticos: com a hipótese \alpha=2{,}0 e R=0{,}957 a separação solicitada é inviável — o número de estágios de equilíbrio teóricos necessários tenderia para o infinito.
Explicando de forma simples: a linha de operação precisa ficar estritamente acima da curva de equilíbrio em toda a região entre x_D e x_B para que os degraus permitam avançar até os fundos; se ela cruza a curva, os degraus “encurralam” a iteração no ponto de cruzamento e nunca alcançam os fundos.

Passo 6

Verificação e sensibilidade (o que isso significa para o problema e para a prova): a conclusão de impossibilidade depende da hipótese sobre \alpha. Eu escolhi \alpha=2{,}0 porque é um valor típico e conservador para etanol–água a 1 atm. Se o par etanol–água tivesse volatilidade média muito maior (por exemplo \alpha bem maior que 2), a curva de equilíbrio ficaria mais favorável e a mesma razão de refluxo poderia funcionar com um número finito de estágios. Mas, na prática, etanol–água não terá \alpha tão alta que torne viável uma separação tão profunda com uma razão de refluxo tão baixa como 0{,}957. Portanto a conclusão prática é que com a razão de refluxo fornecida a coluna NÃO é suficiente para obter x_D=0{,}80 e 95\% de recuperação — é necessário aumentar R (ou usar outro método, e.g. destilação azeotrópica/extração).

Passo 7

Resumo do procedimento didático (como você faria na prova):
  • Passe 1: calcular x_B a partir do balanço global e recuperação (feito no Passo 1).
  • Passe 2: assumir ou obter a curva de equilíbrio y_{\text{eq}}(x). Se tiver dados experimentais use-os; se não, é aceitável assumir uma volatilidade relativa média \alpha e usar y=\dfrac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}.
  • Passe 3: montar a linha retificadora y_R(x)=\dfrac{R}{R+1}x + \dfrac{x_D}{R+1} com o R dado.
  • Passe 4: verificar se y_R(x) cruza y_{\text{eq}}(x) no intervalo [x_B,x_D]. Se cruzar, separação impossível com esse R (N tende para infinito). Se não cruzar, construir degraus McCabe–Thiele e contar estágios até atingir x_B (lembrando de trocar para a linha de operação de stripper ao passar a linha q).
  • Passe 5: se pedir o número numérico e a curva cruza, reporte que o número de estágios é indefinido (tende a infinito) e explique que é preciso aumentar R até acima de R_{\min} (procedimento padrão: usar Underwood para R_{\min}, Fenske para N_{\min} e Gilliland para obter N a um R dado).

Resposta

Com a hipótese razoável de volatilidade relativa média \alpha = 2{,}0 (etanol/água a 1 atm) e usando a razão de refluxo real fornecida \;R = 0{,}957, a linha de operação retificadora cruza a curva de equilíbrio em x\approx 0{,}4686, o que gera um “pinch”. Portanto a separação pedida NÃO pode ser alcançada com essa razão de refluxo e o número de estágios de equilíbrio teóricos necessários tenderia a infinito (separação inviável com os dados e a hipótese \alpha=2{,}0).

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