Numa coluna com um condensador total e um refervedor parcial, deseja-se destilar uma mistura com 30 \% molares de etanol e 70 \% molares de água, à taxa de 100 \mathrm{lb}-\mathrm{mol} / \mathrm{h}, injetando-se a carga com uma fração vaporizada de 10 \% e a 1,0 atm. O destilado deve conter 80 \% molares de etanol e corresponder a 95 \% do álcool presente na carga inicial. A razão de refluxo real utilizada será de ( \mathrm{L}_{\circ} / \mathrm{D} ) 0,957 .
g) Calcule o calor no condensador e no reboiler.

Passo 1

O enunciado nos dá (peguei estes números do enunciado):
  • Taxa de alimentação: F=100\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h}.
  • Fração molar de etanol na alimentação: z_F=0{,}30.
  • Fração vaporizada da alimentação (quando injetada): q_v=0{,}10 (isto é, 10\% da alimentação entra como vapor).
  • Pressão de operação: 1{,}0\\ \mathrm{atm}.
  • Destilado (produto superior) deve ter fração molar de etanol \,x_D=0{,}80.
  • Deve conter 95\% do álcool (etanol) presente na carga inicial (recuperação de etanol =0{,}95).
  • Razão real de refluxo \,L_0/D=0{,}957.
  • Configuração da coluna: condensador total e refervedor (reboiler) parcial.
O que o item (g) pede:
  • Calcular o calor no condensador (deverá ser indicado o sinal; normalmente o condensador remove calor, então Q_C<0 como fluxo de calor saindo do vapor) e o calor no reboiler (fornecido à coluna, Q_R>0).
Observação importante: o enunciado não fornece entalpias (ou calores latentes / dados de vapor e líquido saturado / temperaturas de topo e de base) nem dados de equilíbrio vapor–líquido (pressões de vapor ou temperaturas de ebulição para cada composição). Esses dados são necessários para obter valores numéricos do calor no condensador e no reboiler. Vou, portanto, calcular todas as vazões molares necessárias, apresentar as fórmulas detalhadas e didáticas para calcular Q_C e Q_R, e explicar exatamente quais dados faltam e como obtê‑los para completar o cálculo numérico.

Passo 2

Primeiro faço o balanço de matéria para obter as vazões molares do destilado e do fundo (esses cálculos são puramente de material e dependem só dos dados fornecidos).
Álcool (etanol) alimentado:
\text{etanol fed} = F\cdot z_F = 100\cdot 0{,}30 = 30\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h}.
Recuperação exigida: 95\% do etanol vai para o destilado, então etanol no destilado:
\text{etanol em }D = 0{,}95\times 30 = 28{,}5\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h}.
Como x_D=0{,}80, a vazão molar do destilado é
D=\frac{\text{etanol em }D}{x_D}=\frac{28{,}5}{0{,}80}=35{,}625\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h}.
Vazão do fundo (balanço total):
B=F-D=100-35{,}625=64{,}375\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h}.
Verificação (etanol no fundo):
\text{etanol em }B = 30 - 28{,}5 = 1{,}5\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h}, \quad\Rightarrow\quad x_B=\frac{1{,}5}{64{,}375}\approx 0{,}0233.
Resumo numérico até aqui (valores que usarei nas fórmulas de energia):
D=35{,}625\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h},\qquad B=64{,}375\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h}.

Passo 3

Calculo da vazão de refluxo e dos fluxos de vapor relevantes (esses são necessários para encontrar os termos de vazão multiplicando entalpias nas fórmulas de calor).
Refluxo líquido retornado:
L_0=\left(\frac{L_0}{D}\right)\!D = 0{,}957\times 35{,}625 = 34{,}093125\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h}.
Vapor que chega ao condensador (todo esse vapor é condensado no condensador total) é igual à soma do destilado líquido mais o refluxo:
V_{\text{top}} = D + L_0 = 35{,}625 + 34{,}093125 = 69{,}718125\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h}.
Vapor gerado no refervedor (reboiler): a vaporagem do refervedor sobe pela coluna e, ao atingir o nível da alimentação, recebe também a fração vapor da alimentação q_v F. Assim a relação é
V_{\text{top}} = V_{\text{reb}} + q_v F
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V_{\text{reb}} = V_{\text{top}} - q_v F = 69{,}718125 - 0{,}10\times 100 = 69{,}718125 - 10 = 59{,}718125\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h}.
Resumo de vazões que entram nas expressões de energia:
V_{\text{top}}=69{,}718125\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h},\qquad V_{\text{reb}}=59{,}718125\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h}.
(Se precisar, posso arredondar, mas mantenho valores exatos até usar entalpias.)

Passo 4

Teoria e fórmulas para calcular o calor no condensador e no reboiler — explicação didática e passo a passo.
Conceitos rápidos e necessários:
  • Entalpia molar de uma corrente h é a energia por mol associada à corrente (inclui energia interna mais PV). Para líquidos e vapores saturados, usa‑se normalmente tabelas de entalpia: h^{\ell} (liquido saturado) e h^{v} (vapor saturado) a uma dada pressão/temperatura.
  • Calor latente (entalpia de vaporização) de uma substância à temperatura de ebulição é \Delta h_{\text{vap}} = h^{v}-h^{\ell}. Em mistura, a entalpia do vapor é a média ponderada pelas frações molares no vapor; analogamente para o líquido.
  • No condensador total: vapor com composição \mathbf{y}^{\text{top}} e entalpia h^{v,\text{top}} chega e é acondicionado (condensado) até formar os líquidos D e L_0 com composição x_D (assumimos que o líquido condensado tem composição x_D). Portanto o calor removido pelo condensador (fluxo de energia saindo do vapor) é a vazão de vapor vezes a diferença entre a entalpia do vapor de entrada e a entalpia do líquido condensado:
Q_C = V_{\text{top}}\Big(h^{v,\text{top}} - h^{\ell,\text{cond}}\Big).
Aqui:
  • V_{\text{top}} é a vazão molar de vapor para o condensador (já calculada).
  • h^{v,\text{top}} é a entalpia molar do vapor que chega ao condensador (mistura de etanol e água).
  • h^{\ell,\text{cond}} é a entalpia molar do líquido condensado (mistura líquida na saída do condensador, que tem composição \,x_D=0{,}80).
Detalhando como calcular h^{v,\text{top}} e h^{\ell,\text{cond}}:
  • h^{v,\text{top}} = y_{\text{E}}^{\text{top}}\,h^{v}_{\text{E}}(T_{\text{top}}) + y_{\text{W}}^{\text{top}}\,h^{v}_{\text{W}}(T_{\text{top}}),
  • h^{\ell,\text{cond}} = x_{D}\,h^{\ell}_{\text{E}}(T_{\text{cond}}) + (1-x_{D})\,h^{\ell}_{\text{W}}(T_{\text{cond}}).
Observações:
  • As entalpias h^{v}_{\text{E}}(T_{\text{top}}) e h^{\ell}_{\text{E}}(T_{\text{cond}}) são as entalpias molares do etanol na forma vapor e líquida, respectivamente, à temperatura/pressão de operação do topo; idem para a água ( \text{W}).
  • Para condensador total, T_{\text{top}}=T_{\text{cond}} (temperatura de condensação), então as entalpias de saturado vapor e líquido são avaliadas à mesma temperatura/pressão.
No reboiler (referredor) parcial:
  • O reboiler fornece calor Q_R para vaporizar uma vazão V_{\text{reb}} de vapor. Esse calor é a diferença entre a entalpia do vapor gerado no reboiler h^{v,\text{reb}} e a entalpia do líquido que entra no reboiler (o líquido de fundo) h^{\ell,B}, multiplicado pela vazão de vapor gerada:
Q_R = V_{\text{reb}}\Big(h^{v,\text{reb}} - h^{\ell,B}\Big).
Aqui:
  • h^{v,\text{reb}} = y_{\text{E}}^{\text{reb}}\,h^{v}_{\text{E}}(T_{\text{reb}}) + (1-y_{\text{E}}^{\text{reb}})\,h^{v}_{\text{W}}(T_{\text{reb}})
  • h^{\ell,B} = x_{B}\,h^{\ell}_{\text{E}}(T_{\text{reb}}) + (1-x_{B})\,h^{\ell}_{\text{W}}(T_{\text{reb}})
  • Novamente, T_{\text{reb}} é a temperatura de ebulição no fundo (pressionada a 1 atm), e x_B é a composição líquida do fundo que já calculamos.
Comentário sobre sinais:
  • Q_C é o calor extraído no condensador (normalmente reporta‑se Q_C<0 porque é removido do sistema); aqui estou escrevendo a magnitude positiva de calor removido: se desejar o sinal convencional de equipamento (entrada positiva), então Q_C será negativo.
  • Q_R é o calor fornecido ao reboiler (entrada positiva).

Passo 5

Por que não dá para calcular numericamente os valores numéricos de Q_C e Q_R com os dados do enunciado enviado:
Faltam os seguintes dados essenciais:
  1. Entalpias molares saturadas (ou calores de vaporização e calor sensível) para etanol e água nas temperaturas de top e de fundo:
    • h^{v}_{\text{E}}(T_{\text{top}}) e h^{\ell}_{\text{E}}(T_{\text{top}});
    • h^{v}_{\text{W}}(T_{\text{top}}) e h^{\ell}_{\text{W}}(T_{\text{top}});
    • e o mesmo para T_{\text{reb}} no fundo.
  2. Composição do vapor que chega ao condensador y_{\text{E}}^{\text{top}} e composição do vapor gerado no refervedor y_{\text{E}}^{\text{reb}}. Para obter y-valores é necessário:
    • ou as curvas/coeficientes de equilíbrio (por exemplo pressões de vapor saturado P_i^{\text{sat}}(T) e usar Lei de Raoult / correções de atividade),
    • ou as temperaturas de topo e de fundo (para avaliar P_i^{\text{sat}}(T) e então calcular y_i a partir de x_i por VLE).
  3. Alternativamente, tabelas de entalpia e dados de VLE à pressão de operação (1 atm).
Sem qualquer um desses conjuntos de dados numéricos, só se obtêm expressões simbólicas (já dadas no Passo 4) multiplicadas pelas vazões que calculamos. Portanto não é possível fornecer um número final (em energia por hora) sem esses dados.

Passo 6

Procedimento prático, passo a passo, para obter os valores numéricos assim que os dados ausentes forem fornecidos (ou consultados em tabelas/softwares):
  1. Determinar T_{\text{top}} (temperatura de condensação) e T_{\text{reb}} (temperatura de ebulição no refervedor) a 1 atm para as composições correspondentes. Para isso, usar VLE (Raoult ou modelo de atividade) com x_D e x_B para achar y e T, ou usar tabelas de ponto de orvalho/ebulição.
  2. Calcular as composições de vapor: y_{\text{E}}^{\text{top}}=\text{composição de vapor em equilíbrio com }x_D\\ \text{a}\\ T_{\text{top}},çãí
y_{\text{E}}^{\text{reb}}=\text{composição de vapor na saída do refervedor (em equilíbrio com o líquido do fundo) a }T_{\text{reb}}.çãííí
  1. Ler em tabelas (ou software) as entalpias molares: h^{v}_{\text{E}}(T_{\text{top}}),\quad h^{\ell}_{\text{E}}(T_{\text{top}}),\quad h^{v}_{\text{W}}(T_{\text{top}}),\quad h^{\ell}_{\text{W}}(T_{\text{top}}),e o mesmo conjunto em T_{\text{reb}}.
  2. Avaliar as entalpias médias da mistura usando as frações em vapor e em líquido (conforme fórmulas do Passo 4).
  3. Calcular numericamente: Q_C = V_{\text{top}}\Big(h^{v,\text{top}} - h^{\ell,\text{cond}}\Big), \qquad Q_R = V_{\text{reb}}\Big(h^{v,\text{reb}} - h^{\ell,B}\Big),usando V_{\text{top}}=69{,}718125\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h} e V_{\text{reb}}=59{,}718125\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h}.
  4. Se desejado expressar Q em unidades de energia por hora (por exemplo \mathrm{Btu/h} ou \mathrm{kJ/h}), converter as entalpias (que estarão em \mathrm{Btu/lb\!-\!mol} ou \mathrm{kJ/mol}) e multiplicar.
Dica final de amigo: muitos exercícios de colunas fornecem tabelas com entalpias de saturado e calores latentes; se esse material estiver no enunciado anterior (ou em tabelas do curso) é só seguir os passos acima e inserir os números. Se preferir, me mande os valores de entalpia/temperatura ou diga se posso assumir entalpias tabuladas padrão e eu faço o cálculo numérico completo para você.

Resposta

Não é possível fornecer valores numéricos de Q_C e Q_R porque faltam dados termodinâmicos essenciais (entalpias molares de líquido e vapor e/ou dados de VLE ou temperaturas de topo e de fundo).
As expressões e os valores das vazões relevantes são:
D=35{,}625\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h},\qquad B=64{,}375\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h},
L_0=34{,}093125\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h},\qquad V_{\text{top}}=69{,}718125\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h}, \qquad V_{\text{reb}}=59{,}718125\\ \mathrm{lb\!-\!mol/h}.
Fórmulas gerais a avaliar numericamente quando as entalpias estiverem disponíveis:
Q_C = V_{\text{top}}\Big(h^{v,\text{top}} - h^{\ell,\text{cond}}\Big), \qquad Q_R = V_{\text{reb}}\Big(h^{v,\text{reb}} - h^{\ell,B}\Big),
com
h^{v,\text{top}}=y_{\text{E}}^{\text{top}}\,h^{v}_{\text{E}}(T_{\text{top}})+(1-y_{\text{E}}^{\text{top}})\,h^{v}_{\text{W}}(T_{\text{top}}),
h^{\ell,\text{cond}}=x_{D}\,h^{\ell}_{\text{E}}(T_{\text{cond}})+(1-x_{D})\,h^{\ell}_{\text{W}}(T_{\text{cond}}),
h^{v,\text{reb}}=y_{\text{E}}^{\text{reb}}\,h^{v}_{\text{E}}(T_{\text{reb}})+(1-y_{\text{E}}^{\text{reb}})\,h^{v}_{\text{W}}(T_{\text{reb}}),
h^{\ell,B}=x_{B}\,h^{\ell}_{\text{E}}(T_{\text{reb}})+(1-x_{B})\,h^{\ell}_{\text{W}}(T_{\text{reb}}), \quad\text{com }x_B\approx 0{,}0233.

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