Para uma coluna de destilação apresenta usada para separar compostos orgânicos solúveis em água. Onde a linha de equilíbrio pode ser expressa pela equação \mathrm{y}^{*}=120 \mathrm{x} e a relação \mathrm{L} / \mathrm{V} é 15 , se a eficiência de pratos de Murphree é 0,4 . Qual é a eficiência global?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é a eficiência global?” e fornece os seguintes dados:
\mathrm{y}^* = 120\,\mathrm{x} (linha de equilíbrio linear),
\mathrm{L}/\mathrm{V} = 15 (relação de correntes líquida/vapor),
eficiência de pratos de Murphree \mathrm{E}_M = 0{,}4.
Dados listados (em TeX):
y^* = 120\,x
\frac{L}{V} = 15
E_M = 0{,}4
A pergunta é calcular a eficiência global da coluna a partir desses dados.

Passo 2

Entendendo o que é a eficiência de Murphree e o que se quer por eficiência global (aula rápida, sem pular etapas).
Definição de eficiência de Murphree (forma usada aqui, explicada):
E_M = \frac{\text{mudança real no vapor em um prato}}{\text{mudança possível se o prato estivesse em equilíbrio}} = \frac{y_{\text{saída}} - y_{\text{entrada}}}{y^* - y_{\text{entrada}}}.ççííí
  • y_{\text{saída}}í é a fração molar na fase vapor que sai do prato (real).
  • y_{\text{entrada}} é a fração molar do vapor que entra no prato.
  • y^* é a fração molar do vapor que estaria em equilíbrio com o líquido no prato (aqui dada por y^*=120x).
    A eficiência global que queremos é uma medida da eficácia de um prato real comparada a um prato teórico, mas expressa na escala da mudança de composição do líquido (ou seja, “quanto do passo teórico em x cada prato real consegue dar”). Há uma relação clássica entre eficiência de Murphree (baseada no vapor) e a eficiência global (baseada no líquido) quando a linha de equilíbrio é linear e a linha de operação tem declive constante.

Passo 3

Assunção padrão para derivação prática:
  • Linha de equilíbrio linear \;y^*=m x\; com m=120.
  • Linha de operação com declive constante \;S=\dfrac{L}{V}\; (aqui S=15).
    Sob essas condições (caso comum em exercícios de prova), existe uma fórmula direta que relaciona a eficiência de Murphree \;E_M\; com a eficiência global \;E_{\text{global}}\;. Vou apresentar a fórmula e depois mostro como usá-la com os dados.

Passo 4

Apresentação da fórmula (resultado conhecido e usado em provas):
E_{\text{global}} \;=\; \frac{E_M\,(m - S)}{\,m - S\,E_M\,}
Aqui:
  • E_{\text{global}} é a eficiência global pedida (adimensional).
  • E_M é a eficiência de Murphree (adimensional).
  • m é o coeficiente da linha de equilíbrio em y^*=m x (aqui m=120).
  • S é a inclinação da linha de operação, S = L/V (aqui S=15).
    Breve intuição do porquê: a eficiência global mede a fração do passo teórico em x que o prato real efetivamente dá; o fator (m-S) aparece porque a distância entre linha de equilíbrio e linha de operação (a força motriz da separação) é proporcional a m-S; o denominador corrige o efeito do fato de que o prato não atinge equilíbrio (multiplica por E_M no termo S E_M). Não precisa decorar sem entender, mas para prova decorando-se esta fórmula e sabendo quando aplicá-la é comum.

Passo 5

Agora aplicando a fórmula com os valores dados. Substituindo m=120, S=15 e E_M=0{,}4 na expressão:
E_{\text{global}} \;=\; \frac{0{,}4\,(120 - 15)}{\,120 - 15\cdot 0{,}4\,}.

Passo 6

Cálculo passo a passo das quantidades dentro da fórmula:
120 - 15 = 105.
15\cdot 0{,}4 = 6.
120 - 6 = 114.
Agora:
E_{\text{global}} = \frac{0{,}4 \times 105}{114} = \frac{42}{114}.
Simplificando e calculando:
\frac{42}{114} = 0{,}368421\ldots \approx 0{,}3684.

Passo 7

Interpretação final: a eficiência global é adimensional; em porcentagem fica multiplicando por 100.

Resposta

E_{\text{global}} = 0{,}3684
E_{\text{global}} = 36{,}84\%

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