Uma mistura Etanol-Água será separada através de um processo de destilação. A vazão de alimentação é de
. O produto destilado deverá ter uma composição de
em água. Onde a temperatura da alimentação é de
e a fração de etanol na alimentação é
(fração molar). Considerando que o processo ocorre em pressão atmosférica, com condensador total e que a razão de refluxo é igual a 1,5 vezes a razão de refluxo mínima, encontre:)
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não nos perdermos):
- Vazão de alimentação:
. - Temperatura da alimentação:
. - Fração molar de etanol na alimentação:
(ou seja, em base molar). - O destilado (produto superior) deve ter composição
(w/w) em etanol. - O fundo (produto inferior) deve ter composição
(w/w) em água — isto é, (w/w) etanol no fundo. - O processo ocorre em pressão atmosférica.
- Condensador total.
- A razão de refluxo usada é
(ou seja, da razão de refluxo mínima).
Observação importante que impede resolver tudo numericamente: o enunciado termina com “encontre:” mas não especifica explicitamente quais grandezas deseja que sejam calculadas (por exemplo: número de estágios teóricos, vazões de destilado/fundo, refluxo mínimo, etc.). Além disso, para calcular numericamente
e o número de estágios através de McCabe–Thiele é necessário conhecer a curva de equilíbrio (ou a volatilidade relativa média
ou pressões de vapor dos componentes). Esses dados de equilíbrio não foram fornecidos.
Dado isso, eu vou:
Dado isso, eu vou:
- Calcular tudo que for possível com os dados fornecidos (conversões massa ↔ mol, vazões de destilado e fundo em massa e mol, composições molares correspondentes), mostrando passo a passo como fiz;
- Explicar didaticamente e em detalhes o procedimento completo (fórmulas, conceito de
, como obter , Fenske, Underwood, Gilliland/McCabe–Thiele) para que você saiba exatamente o que fazer na prova caso te forneçam a curva de equilíbrio ou a volatilidade relativa.
Se depois você quiser, me mande a curva de equilíbrio / constantes de Antoine / volatilidades e eu faço as contas numéricas parae número de estágios.
Passo 2
Converter a alimentação (dados em fração molar e vazão mássica) para vazões molares e parcelas mássicas. Vou explicar como fazer isso passo a passo.
Por que precisamos disso? Em destilação costuma-se trabalhar em base molar para os balanços nas etapas (McCabe–Thiele), mas muitos enunciados dão vazão em massa. Então convertemos usando as massas molares.
Dados das massas molares (valores padrão que usamos em prova):
- Massa molar do etanol:
. - Massa molar da água:
.
Se a fração molar de etanol é
, a massa de 1 mol de mistura média vale
A vazão molar total da alimentação
(mol/h) vem de
onde
está em
.
Agora aplico com
e
.
Calculemos
:
Então
A vazão molar de etanol na alimentação é
e a de água
Convertendo para massas (para checar):
e realmente
.
Comentário didático: a fórmula de conversão é apenas balanço de massa/átomos — multiplicamos número de mols por massa molar. Nada de mágico aqui.
Passo 3
Encontrar as vazões de destilado e fundo em massa usando balanço global e balanço de componente (etanol) — procedimento padrão.
Definimos:
-
massa alimentação ( ), -
massa destilado ( ), -
massa fundo ( ); tem-se .
Se
é fração mássica de etanol na alimentação,
a do destilado (dada:
), e
a do fundo (dada: etanol
em base mássica), o balanço de etanol em massa é
Do total:
. Substituindo:
Isolando
:
Primeiro encontramos
. Já calculamos
, então
Agora plugando:
Logo
Explicação didática: usamos apenas dois balanços (total + componente) — esse é o jeito direto para achar D e B quando as composições em massa de produtos são dadas.
Passo 4
Converter as composições em massa dos produtos para composições molares — isso é necessário para desenho em McCabe–Thiele (que usa frações molares).
Para o destilado:
(w/w) etanol
. Se considerarmos
dessa mistura, temos:
- massa etanol
, - massa água
,
moles:
Então a fração molar de etanol no destilado
é
Calculando:
Para o fundo: dado que o fundo é
(w/w) água, então a fração mássica de etanol é
. Fazendo a mesma conta por
:
Comentário: portanto, em base molar o destilado tem
(61,0% mol) etanol, e o fundo tem
(≈0,792% mol) etanol.
Passo 5
Calcular as vazões molares dos produtos a partir das vazões mássicas já encontradas — útil para balanços molares e desenho de etapas.
Já temos
e
em
. Para cada produto convertemos massa → mols usando as frações mássicas do produto.
Destilado
:
- massa de etanol no destilado:
. - massa de água no destilado:
.
Moles:
Fundo
:
- massa de etanol no fundo:
. - massa de água no fundo:
.
Moles:
Verificação curta (consistência molar):
, muito próximo do
calculado no Passo 2 (diferenças triviais por arredondamento). Isso confirma que as contas estão consistentes.
Passo 6
Explicar didaticamente como prosseguir para encontrar
e o número de estágios (passo a passo conceitual e equações úteis). Aqui eu te ensino o que fazer “na prova” — passo-a-passo completo — porque sem dados de equilíbrio eu não posso dar os números finais para essas grandezas.
-
Obter a curva de equilíbrio líquido–vapor (curva
) a pressão de operação (aqui atmosfera). - Se te derem pressões de vapor (Antoine) você calcula
e aplica a Lei de Raoult: - Se fornecerem volatilidade relativa constante
, pode-se usar (caso de constante). - Sem esses dados não há como traçar a curva de equilíbrio nem obter
numericamente.
- Se te derem pressões de vapor (Antoine) você calcula
-
Determinar a condição térmica do alimentador (
): -
é a fração líquida da alimentação (se alimentação saturada líquida; alimentação saturada vapor; alimentação parcialmente vapor; sub-resfriada; superaquecida vapor). - Para calcular
exatamente a partir da temperatura do alimentador é preciso conhecer as curvas de entalpia ou, alternativamente, saber se a alimentação está sob-saturada, saturada líquida etc. Muitas provas simplificam e dizem “alimentação saturada líquida” (então ). Aqui só temos e : para saber precisamos comparar com o ponto de bulbo da mistura (ou usar balanço de entalpia). Logo, mais uma vez, falta informação.
-
-
Encontrar a reta do alimentador (q-line) no diagrama
vs : - A equação da q-line é
- Essa reta é necessária para traçar a linha de operação de enriquecimento e calcular
.
- A equação da q-line é
-
Encontrar
(razão de refluxo mínima): - Geometricamente: é a razão de refluxo cuja linha de operação retificadora é tangente à curva de equilíbrio. Numericament e pode-se obter por métodos: Underwood (método algébrico em regime estacionário), ou achando ponto de tangência numericamente.
- Se o sistema é binário com volatilidade relativa constante
, há fórmulas simplificadas (Underwood reduzido / Fenske-Underwood), mas ainda assim precisa-se de . - Em resumo: sem a curva
ou não se consegue calcular numericamente.
-
Determinar número de estágios (N) para uma razão de refluxo finita
: - Primeiro calcula-se o número mínimo de estágios sob refluxo total
usando a equação de Fenske (esta exige a volatilidade média ): Onde é fração molar de etanol no destilado e é fração molar de etanol no fundo. - Para um refluxo finito
usa-se a correlação de Gilliland (curva empírica) para aproximar a partir de e de , ou constrói-se graficamente o diagrama de McCabe–Thiele: traçam-se a curva de equilíbrio e as retas de operação e fazem-se os “degraus” para contar estágios. - A relação
significa que você colocará a linha de operação retificadora com coeficiente e constante , mas para obter precisa efetivamente da curva de equilíbrio ou da volatilidade para usar Gilliland ou a construção gráfica.
- Primeiro calcula-se o número mínimo de estágios sob refluxo total
-
Fórmulas úteis (resumidas) — guarde-as para a prova:
- Linha de operação retificadora (em geral):
- Linha de operação de esgotamento (baixo):
- Fenske (mínimo número de estágios em refluxo total):
- Underwood (para
) — método algébrico que requer as volatilidades e as frações globais; é mais geral e robusto, mas exige dados de equilíbrio. - Gilliland (correlação empírica) dá
dado e (útil quando não se quer/mantém o gráfico).
- Linha de operação retificadora (em geral):
Resumo didático final: para calcular numericamente
e o número de estágios com
você precisa de: curva de equilíbrio
(ou constantes de Antoine para obter pressões de vapor e aplicar Raoult), ou pelo menos de uma volatilidade relativa média
aplicável. Com isso em mãos você aplica Underwood para
, Fenske para
e Gilliland (ou McCabe–Thiele gráfico) para obter
no refluxo desejado.
Resposta
Distilado:
Fundo:
Frações molares dos produtos:
Vazões molares dos produtos:
Observação final: não é possível determinar numericamente