Uma mistura Etanol-Água será separada através de um processo de destilação. A vazão de alimentação é de 100 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. O produto destilado deverá ter uma composição de 80 \%(\mathrm{w} / \mathrm{w}) \mathrm{em\n} etanol, e o produto de fundo uma composição de \(98 \%(\mathrm{w} / \mathrm{w}) em água. Onde a temperatura da alimentação é de 92^{\circ} \mathrm{C} e a fração de etanol na alimentação é x_{f}=0,3 (fração molar). Considerando que o processo ocorre em pressão atmosférica, com condensador total e que a razão de refluxo é igual a 1,5 vezes a razão de refluxo mínima, encontre:)

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não nos perdermos):
  • Vazão de alimentação: F = 100\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}.
  • Temperatura da alimentação: T_F = 92^\circ\mathrm{C}.
  • Fração molar de etanol na alimentação: x_F = 0{,}3 (ou seja, 30\% em base molar).
  • O destilado (produto superior) deve ter composição 80\% (w/w) em etanol.
  • O fundo (produto inferior) deve ter composição 98\% (w/w) em água — isto é, 2\% (w/w) etanol no fundo.
  • O processo ocorre em pressão atmosférica.
  • Condensador total.
  • A razão de refluxo usada é R = 1{,}5\,R_{\min} (ou seja, 150\% da razão de refluxo mínima).
Observação importante que impede resolver tudo numericamente: o enunciado termina com “encontre:” mas não especifica explicitamente quais grandezas deseja que sejam calculadas (por exemplo: número de estágios teóricos, vazões de destilado/fundo, refluxo mínimo, etc.). Além disso, para calcular numericamente R_{\min} e o número de estágios através de McCabe–Thiele é necessário conhecer a curva de equilíbrio (ou a volatilidade relativa média \alpha ou pressões de vapor dos componentes). Esses dados de equilíbrio não foram fornecidos.
Dado isso, eu vou:
  • Calcular tudo que for possível com os dados fornecidos (conversões massa ↔ mol, vazões de destilado e fundo em massa e mol, composições molares correspondentes), mostrando passo a passo como fiz;
  • Explicar didaticamente e em detalhes o procedimento completo (fórmulas, conceito de q, como obter R_{\min}, Fenske, Underwood, Gilliland/McCabe–Thiele) para que você saiba exatamente o que fazer na prova caso te forneçam a curva de equilíbrio ou a volatilidade relativa.
    Se depois você quiser, me mande a curva de equilíbrio / constantes de Antoine / volatilidades e eu faço as contas numéricas para R_{\min} e número de estágios.

Passo 2

Converter a alimentação (dados em fração molar e vazão mássica) para vazões molares e parcelas mássicas. Vou explicar como fazer isso passo a passo.
Por que precisamos disso? Em destilação costuma-se trabalhar em base molar para os balanços nas etapas (McCabe–Thiele), mas muitos enunciados dão vazão em massa. Então convertemos usando as massas molares.
Dados das massas molares (valores padrão que usamos em prova):
  • Massa molar do etanol: M_E = 46{,}07\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}04607\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Massa molar da água: M_W = 18{,}015\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}018015\\ \mathrm{kg/mol}.
Se a fração molar de etanol é x_F, a massa de 1 mol de mistura média vale
\bar{M} = x_F M_E + (1-x_F) M_W.
A vazão molar total da alimentação \dot{n}_F (mol/h) vem de
\dot{n}_F = \frac{F}{\bar{M}},
onde F está em \mathrm{kg}/\mathrm{h}.
Agora aplico com x_F = 0{,}3 e F = 100\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}.
Calculemos \bar{M}:
\bar{M} = 0{,}3\cdot 0{,}04607 + 0{,}7\cdot 0{,}018015 = 0{,}0264315\\ \mathrm{kg/mol}.
Então
\dot{n}_F = \frac{100}{0{,}0264315} \approx 3784{,}0\\ \mathrm{mol/h}.
A vazão molar de etanol na alimentação é
\dot{n}_{E,F} = x_F \dot{n}_F = 0{,}3\cdot 3784{,}0 \approx 1135{,}2\\ \mathrm{mol/h},
e a de água
\dot{n}_{W,F} = (1-x_F)\dot{n}_F \approx 2648{,}8\\ \mathrm{mol/h}.
Convertendo para massas (para checar):
\dot{m}_{E,F}=\dot{n}_{E,F}M_E \approx 1135{,}2\cdot 0{,}04607 \approx 52{,}24\\ \mathrm{kg/h},
\dot{m}_{W,F}=\dot{n}_{W,F}M_W \approx 2648{,}8\cdot 0{,}018015 \approx 47{,}76\\ \mathrm{kg/h},
e realmente \dot{m}_{E,F}+\dot{m}_{W,F}\approx 100\\ \mathrm{kg/h}.
Comentário didático: a fórmula de conversão é apenas balanço de massa/átomos — multiplicamos número de mols por massa molar. Nada de mágico aqui.

Passo 3

Encontrar as vazões de destilado e fundo em massa usando balanço global e balanço de componente (etanol) — procedimento padrão.
Definimos:
  • F massa alimentação ( \mathrm{kg/h}),
  • D massa destilado ( \mathrm{kg/h}),
  • B massa fundo ( \mathrm{kg/h}); tem-se F=D+B.
Se w_{E,F} é fração mássica de etanol na alimentação, w_{E,D} a do destilado (dada: 0{,}8), e w_{E,B} a do fundo (dada: etanol 0{,}02 em base mássica), o balanço de etanol em massa é
F w_{E,F} = D w_{E,D} + B w_{E,B}.
Do total: B = F - D. Substituindo:
F w_{E,F} = D w_{E,D} + (F-D) w_{E,B}.
Isolando D:
D = \frac{F(w_{E,F}-w_{E,B})}{w_{E,D}-w_{E,B}}.
Primeiro encontramos w_{E,F}=\dot{m}_{E,F}/F. Já calculamos \dot{m}_{E,F}\approx 52{,}24\\ \mathrm{kg/h}, então
w_{E,F} \approx \frac{52{,}24}{100} = 0{,}5224.
Agora plugando:
D = \frac{100\cdot(0{,}5224-0{,}02)}{0{,}8-0{,}02} = \frac{100\cdot 0{,}5024}{0{,}78} \approx 64{,}42\\ \mathrm{kg/h}.
Logo
B = F - D \approx 100 - 64{,}42 = 35{,}58\\ \mathrm{kg/h}.
Explicação didática: usamos apenas dois balanços (total + componente) — esse é o jeito direto para achar D e B quando as composições em massa de produtos são dadas.

Passo 4

Converter as composições em massa dos produtos para composições molares — isso é necessário para desenho em McCabe–Thiele (que usa frações molares).
Para o destilado: 80\% (w/w) etanol \Rightarrow w_{E,D}=0{,}80. Se considerarmos 1\\ \mathrm{kg} dessa mistura, temos:
  • massa etanol =0{,}80\\ \mathrm{kg},
  • massa água =0{,}20\\ \mathrm{kg},
    moles:
n_E = \frac{0{,}80}{0{,}04607}\\ ,\quad n_W = \frac{0{,}20}{0{,}018015}.
Então a fração molar de etanol no destilado y_D é
y_D = \frac{n_E}{n_E+n_W}.
Calculando:
n_E \approx \frac{0{,}80}{0{,}04607}\approx 17{,}37\\ \mathrm{mol},\qquad n_W \approx \frac{0{,}20}{0{,}018015}\approx 11{,}11\\ \mathrm{mol},
y_D \approx \frac{17{,}37}{17{,}37+11{,}11} \approx 0{,}610.
Para o fundo: dado que o fundo é 98\% (w/w) água, então a fração mássica de etanol é w_{E,B}=0{,}02. Fazendo a mesma conta por 1\\ \mathrm{kg}:
n_E \approx \frac{0{,}02}{0{,}04607}\approx 0{,}4344\\ \mathrm{mol},\qquad n_W \approx \frac{0{,}98}{0{,}018015}\approx 54{,}401\\ \mathrm{mol},
x_B \approx \frac{0{,}4344}{0{,}4344+54{,}401} \approx 0{,}00792.
Comentário: portanto, em base molar o destilado tem y_D\approx 0{,}610 (61,0% mol) etanol, e o fundo tem x_B\approx 0{,}00792 (≈0,792% mol) etanol.

Passo 5

Calcular as vazões molares dos produtos a partir das vazões mássicas já encontradas — útil para balanços molares e desenho de etapas.
Já temos D e B em \mathrm{kg/h}. Para cada produto convertemos massa → mols usando as frações mássicas do produto.
Destilado D:
  • massa de etanol no destilado: m_{E,D} = w_{E,D}\,D = 0{,}8\cdot 64{,}42 \approx 51{,}54\\ \mathrm{kg/h}.
  • massa de água no destilado: m_{W,D} = 64{,}42 - 51{,}54 = 12{,}88\\ \mathrm{kg/h}.
    Moles:
\dot{n}_{E,D} = \frac{51{,}54}{0{,}04607}\approx 1119{,}0\\ \mathrm{mol/h},
\dot{n}_{W,D} = \frac{12{,}88}{0{,}018015}\approx 715{,}3\\ \mathrm{mol/h},
\dot{n}_D = \dot{n}_{E,D} + \dot{n}_{W,D} \approx 1834{,}3\\ \mathrm{mol/h}.
Fundo B:
  • massa de etanol no fundo: m_{E,B} = 0{,}02\cdot 35{,}58 \approx 0{,}7116\\ \mathrm{kg/h}.
  • massa de água no fundo: m_{W,B} = 35{,}58 - 0{,}7116 \approx 34{,}8684\\ \mathrm{kg/h}.
    Moles:
\dot{n}_{E,B} = \frac{0{,}7116}{0{,}04607}\approx 15{,}45\\ \mathrm{mol/h},
\dot{n}_{W,B} = \frac{34{,}8684}{0{,}018015}\approx 1935{,}6\\ \mathrm{mol/h},
\dot{n}_B \approx 1951{,}0\\ \mathrm{mol/h}.
Verificação curta (consistência molar): \dot{n}_D+\dot{n}_B \approx 3785{,}3\\ \mathrm{mol/h}, muito próximo do \dot{n}_F calculado no Passo 2 (diferenças triviais por arredondamento). Isso confirma que as contas estão consistentes.

Passo 6

Explicar didaticamente como prosseguir para encontrar R_{\min} e o número de estágios (passo a passo conceitual e equações úteis). Aqui eu te ensino o que fazer “na prova” — passo-a-passo completo — porque sem dados de equilíbrio eu não posso dar os números finais para essas grandezas.
  1. Obter a curva de equilíbrio líquido–vapor (curva y = f(x)) a pressão de operação (aqui atmosfera).
    • Se te derem pressões de vapor (Antoine) você calcula P_i^{\text{sat}}(T) e aplica a Lei de Raoult: y = \frac{x P_E^{\text{sat}}(T)}{x P_E^{\text{sat}}(T) + (1-x) P_W^{\text{sat}}(T)}.
    • Se fornecerem volatilidade relativa constante \alpha, pode-se usar y=\dfrac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x} (caso de \alpha constante).
    • Sem esses dados não há como traçar a curva de equilíbrio nem obter R_{\min} numericamente.
  2. Determinar a condição térmica do alimentador ( q):
    • q é a fração líquida da alimentação (se q=1 alimentação saturada líquida; q=0 alimentação saturada vapor; 0<q<1 alimentação parcialmente vapor; q>1 sub-resfriada; q<0 superaquecida vapor).
    • Para calcular q exatamente a partir da temperatura do alimentador é preciso conhecer as curvas de entalpia ou, alternativamente, saber se a alimentação está sob-saturada, saturada líquida etc. Muitas provas simplificam e dizem “alimentação saturada líquida” (então q=1). Aqui só temos T_F=92^\circ\mathrm{C} e x_F: para saber q precisamos comparar T_F com o ponto de bulbo da mistura x_F (ou usar balanço de entalpia). Logo, mais uma vez, falta informação.
  3. Encontrar a reta do alimentador (q-line) no diagrama y vs x:
    • A equação da q-line é y = \frac{q}{q-1}x - \frac{x_F}{q-1}.
    • Essa reta é necessária para traçar a linha de operação de enriquecimento e calcular R_{\min}.
  4. Encontrar R_{\min} (razão de refluxo mínima):
    • Geometricamente: é a razão de refluxo cuja linha de operação retificadora é tangente à curva de equilíbrio. Numericament e pode-se obter por métodos: Underwood (método algébrico em regime estacionário), ou achando ponto de tangência numericamente.
    • Se o sistema é binário com volatilidade relativa constante \alpha, há fórmulas simplificadas (Underwood reduzido / Fenske-Underwood), mas ainda assim precisa-se de \alpha.
    • Em resumo: sem a curva y=f(x) ou \alpha não se consegue calcular R_{\min} numericamente.
  5. Determinar número de estágios (N) para uma razão de refluxo finita R:
    • Primeiro calcula-se o número mínimo de estágios sob refluxo total N_{\min} usando a equação de Fenske (esta exige a volatilidade média \alpha): N_{\min} = \frac{\log\!\left(\dfrac{y_D/(1-y_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\log(\alpha_{\text{média}})}.éOnde y_D é fração molar de etanol no destilado e x_B é fração molar de etanol no fundo.
    • Para um refluxo finito R usa-se a correlação de Gilliland (curva empírica) para aproximar N a partir de N_{\min} e de R/R_{\min}, ou constrói-se graficamente o diagrama de McCabe–Thiele: traçam-se a curva de equilíbrio e as retas de operação e fazem-se os “degraus” para contar estágios.
    • A relação R = 1{,}5 R_{\min} significa que você colocará a linha de operação retificadora com coeficiente \dfrac{R}{R+1} e constante \dfrac{y_D}{R+1}, mas para obter N precisa efetivamente da curva de equilíbrio ou da volatilidade para usar Gilliland ou a construção gráfica.
  6. Fórmulas úteis (resumidas) — guarde-as para a prova:
    • Linha de operação retificadora (em geral): y = \frac{R}{R+1} x + \frac{y_D}{R+1}.
    • Linha de operação de esgotamento (baixo): y = \frac{R}{R+1} x - \frac{x_B}{R+1}\quad\text{(apenas forma semelhante; normalmente define-se pela massa total e balanço de componentes)}.ç
    • Fenske (mínimo número de estágios em refluxo total): N_{\min} = \frac{\log\!\left(\dfrac{y_D/(1-y_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\log(\alpha)}.
    • Underwood (para R_{\min}) — método algébrico que requer as volatilidades \alpha_i e as frações globais; é mais geral e robusto, mas exige dados de equilíbrio.
    • Gilliland (correlação empírica) dá N dado R/R_{\min} e N_{\min} (útil quando não se quer/mantém o gráfico).
Resumo didático final: para calcular numericamente R_{\min} e o número de estágios com R=1{,}5R_{\min} você precisa de: curva de equilíbrio y=f(x) (ou constantes de Antoine para obter pressões de vapor e aplicar Raoult), ou pelo menos de uma volatilidade relativa média \alpha aplicável. Com isso em mãos você aplica Underwood para R_{\min}, Fenske para N_{\min} e Gilliland (ou McCabe–Thiele gráfico) para obter N no refluxo desejado.

Resposta

\dot{n}_F \approx 3784{,}0\\ \mathrm{mol/h} (vazão molar total da alimentação)
\dot{n}_{E,F} \approx 1135{,}2\\ \mathrm{mol/h} (etanol na alimentação)
\dot{m}_{E,F} \approx 52{,}24\\ \mathrm{kg/h} (massa etanol na alimentação)
Distilado: D \approx 64{,}42\\ \mathrm{kg/h}
Fundo: B \approx 35{,}58\\ \mathrm{kg/h}
Frações molares dos produtos: y_D \approx 0{,}610 (etanol no destilado, base molar) e x_B \approx 0{,}00792 (etanol no fundo, base molar)
Vazões molares dos produtos: \dot{n}_D \approx 1834{,}3\\ \mathrm{mol/h}, \dot{n}_B \approx 1951{,}0\\ \mathrm{mol/h}
Observação final: não é possível determinar numericamente R_{\min} nem o número de estágios teóricos para R=1{,}5R_{\min} sem dados de equilíbrio (curva y=f(x), constantes de Antoine ou volatilidade relativa \alpha). Se você me passar a curva de equilíbrio, as constantes de Antoine ou um valor de \alpha, eu calculo R_{\min} e o número de estágios passo a passo.

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