Deseja-se construir uma coluna de destilação para separar 350 \mathrm{kmol} / \mathrm{h} de uma mistura constituída por 40 \% de etanol em água, em um destilado contendo 80 \% de etanol e um resíduo contendo 96 \% de água. Todos os percentuais são em base molar. Deseja-se utilizar uma razão de refluxo igual a 1,2 vezes a razão de refluxo mínima e condensador total.
a) Calcular a vazão molar do destilado (D) e do resíduo (B) produzido por hora.
b) Determinar o número de estágios da coluna, considerando que a alimentação é uma mistura de etanol-água 50% vaporizada.
c) Qual a posição do prato de alimentação para a mesma condição de alimentação do item (b), e as composições da corrente líquida e da corrente de vapor que deixam o prato de alimentação?

Passo 1

O enunciado dá uma alimentação e pede três coisas. Vou listar tudo explicitamente para não nos perder:
  • Vazão de alimentação: \;F=350\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Composição molar da alimentação (etanol na mistura): \;z_F=0{,}40 (base molar).
  • Composição do destilado (fracionado mais leve, etanol): \;x_D=0{,}80.
  • Composição do resíduo (fundo, água 96% em base molar) ⇒ fração molar de etanol no resíduo: \;x_B=1-0{,}96=0{,}04.
  • Condensador total (isto significa que o destilado sai como líquido condensado e a composição do overhead é \;x_D).
  • Razão de refluxo utilizada: \;R=1{,}2\;R_{\min} (refluxo fixado em 1{,}2 vezes o mínimo).
  • Alimentação entra 50\% vaporizada ⇒ fração líquida na alimentação q=1-0{,}5=0{,}5 (ou q=0{,}5 como usual; vou explicar o que isso significa quando for necessário).
  • Perguntas:
    a) Calcular as vazões molares do destilado \;D e do resíduo \;B em \mathrm{kmol/h}.
    b) Determinar o número de estágios da coluna, considerando que a alimentação é 50\% vaporizada.
    c) Qual a posição do prato de alimentação para essa mesma condição de alimentação, e as composições da corrente líquida e da corrente de vapor que deixam o prato de alimentação?
A partir daqui eu começo a resolver (a) imediatamente; para (b) e (c) vou explicar com bastante detalhe a teoria e o procedimento (passo a passo) que se usa na prova. Importante: os itens (b) e (c) precisam de dados de equilíbrio vapor–líquido (VLE) ou da volatilidade relativa constante para um cálculo numérico (ver explicação nos passos seguintes).

Passo 2

Resolvendo (a) — balanços de massa (teoria e aplicação).
Primeiro, a ideia: em um destilador contínuo simples com alimentação, destilado e resíduo, aplicamos balanço global de massa e balanço de componente (etanol). São dois equações e duas incógnitas ( D e B), já que F e as composições são dadas.
  • Balanço total (massa molar total):
F = D + B.
  • Balanço do componente etanol:
F z_F = D x_D + B x_B.
Vou explicar o que cada símbolo significa:
  • \;F é a vazão molar da alimentação ( \mathrm{kmol/h}).
  • \;z_F é a fração molar de etanol na alimentação.
  • \;D é a vazão molar do destilado (produto superior).
  • \;x_D é a fração molar de etanol no destilado.
  • \;B é a vazão molar do resíduo (produto inferior).
  • \;x_B é a fração molar de etanol no resíduo.
Agora substituímos os números conhecidos e resolvemos.

Passo 3

Cálculo numérico de \;D e \;B.
Escrevemos as equações com os números:
350 = D + B
350 \cdot 0{,}40 = D\cdot 0{,}80 + B \cdot 0{,}04.
A segunda equação é o balanço de etanol: 350\times 0{,}40 = 140\\ \mathrm{kmol/h} de etanol na alimentação. Substituímos B = 350 - D na equação de componente:
140 = 0{,}80\,D + 0{,}04\,(350 - D).
Faço as contas passo a passo:
140 = 0{,}80D + 0{,}04\cdot 350 - 0{,}04D,
140 = 0{,}80D + 14 - 0{,}04D,
140 - 14 = (0{,}80 - 0{,}04)D,
126 = 0{,}76\,D,
D = \frac{126}{0{,}76} = 165{,}7894737\\ \mathrm{kmol/h}.
Arredondando com três casas decimais (suficiente na prova): \;D \approx 165{,}789\\ \mathrm{kmol/h}.
Agora B = 350 - D:
B = 350 - 165{,}7894737 = 184{,}2105263\\ \mathrm{kmol/h},
ou \;B \approx 184{,}211\\ \mathrm{kmol/h}.
Breve comentário de verificação (coisa útil na prova): verifique o balanço de etanol:
0{,}80\cdot 165{,}789 + 0{,}04\cdot 184{,}211 \approx 132{,}6312 + 7{,}3684 \approx 140{,}0\\ \mathrm{kmol/h},
que confere com o etanol disponível na alimentação (140 kmol/h). Ótimo!

Passo 4

Como obter (b) e (c): teoria, métodos e que dados são imprescindíveis.
Agora a parte didática e que você precisa saber para a prova. Determinar o número de estágios na coluna (item b) e a posição do prato de alimentação e composições que saem desse prato (item c) exige o conhecimento do equilíbrio vapor–líquido (VLE) da paira etanol–água ou, equivalentemente, a suposição de uma volatilidade relativa constante \alpha. Sem esses dados não dá para calcular numericamente o número de estágios. Vou explicar POR QUE e também mostrar passo a passo os métodos que você teria que aplicar se tivesse os dados (assim na prova você já sabe o que fazer).
Por que falta informação? Porque o número de estágios e as composições em cada estágio dependem da curva de equilíbrio y = f(x) (fração molar de etanol no vapor em equilíbrio com líquido de composição x). Existem dois caminhos principais para obter o número de estágios:
  1. Método gráfico de McCabe–Thiele (mais básico e usado com frequência em exames):
  • Precisa da curva de equilíbrio y = f(x) (VLE) ou de uma expressão aproximada (por exemplo, volatilidade relativa constante).
  • Desenha-se no gráfico y vs x:
    • a curva de equilíbrio,
    • a linha de identidade y=x,
    • a rectifying operating line (linha de operação superior),
    • a stripping operating line (linha de operação inferior),
    • a q-line (condição da alimentação).
  • A interseção da q-line com as linhas de operação e com a curva de equilíbrio e os “degraus” construídos entre a rectifying line e a stripping line dão o número de estágios teóricos (contando o prato de alimentação apropriadamente).
  • A rectifying operating line tem equação conhecida (condensador total):
y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1},
onde \;R é a razão de refluxo (L/D). Aqui R foi dado como \;1{,}2\,R_{\min}, mas precisamos do valor numérico de R_{\min} antes de obter R numérico.
  • A q-line tem equação (para alimentação com fração líquida q):
y = \frac{q}{q-1}\,x - \frac{z_F}{q-1}.
No seu caso q=0{,}5 e z_F=0{,}40, então a q-line é conhecida numericamente — isso é útil. Mas sem a curva de equilíbrio não dá para fazer os passos de McCabe–Thiele nem contar os estágios.
  1. Método analítico sequencial (Fenske–Underwood–Gilliland), usado para projetar colunas quando se assume volatilidade relativa constante:
  • Etapa 1 — Fenske (determina o número mínimo de estágios N_{\min} em refluxo total, isto é, para R\to\infty):
N_{\min} = \frac{\ln\left(\dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\ln \alpha},
onde \alpha é a volatilidade relativa constante (definição: \alpha = \dfrac{K_\text{etanol}}{K_\text{água}}á ou pode ser aproximada a partir de VLE experimentais). Note que aqui usamos somente x_D, x_B e \alpha.
  • Etapa 2 — Underwood (determina a razão de refluxo mínima R_{\min}):
    • Para mistura multicomponente usa-se a equação de Underwood para achar um parâmetro \theta a partir da composição do alimento z_i e das volatilidades \alpha_i:
    \sum_i \frac{z_i \alpha_i}{\alpha_i - \theta} = 1,e então R_{\min} = \sum_i \frac{\alpha_i x_{D,i}}{\alpha_i - \theta} - 1.
    • No caso binário (etanol + água) isto se reduz a uma equação simples com \alpha e z_F, e permite obter R_{\min}. Mas sem \alpha (ou sem curva VLE) não é possível calcular numericamente \theta nem R_{\min}.
  • Etapa 3 — Gilliland (correlação empírica que relaciona N, N_{\min}, R e R_{\min}): depois de ter N_{\min} e R_{\min} e escolher R, você usa a correlação de Gilliland (frequentemente via a forma aproximada de Molokanov ou tabelas) para obter N (número de estágios teóricos). A forma conveniente é usar a correlação de Eduljee/Gilliland em forma gráfica ou a expressão empírica:
Y = 1 - \exp\left(-1.33 \frac{X^{0.75}}{1 + 0.14 X^{0.75}}\right),
onde
X = \frac{R - R_{\min}}{R + 1},\qquad Y = \frac{N - N_{\min}}{N + 1}.
A partir dessa relação se resolve para N. Tudo isso depende numericamente de \alpha (ou de dados VLE) porque R_{\min} e N_{\min} só vêm depois de \alpha.
Resumo: para (b) precisamos de dados VLE ou do valor de \alpha. Sem isso, só posso mostrar o procedimento (como eu fiz acima), mas não posso entregar um número certo de estágios. Se você tiver um valor de \alpha (ou a curva y=f(x)), me diz e eu calculo rapidamente usando Fenske–Underwood–Gilliland (ou faço o McCabe–Thiele gráfico discretizado numericamente).

Passo 5

Procedimento detalhado para (c) — posição do prato de alimentação e composições que deixam o prato (passo a passo que você deverá aplicar na prova).
O que significa “posição do prato de alimentação”? É o número do prato, contado a partir do topo (ou da base, dependendo da convenção), no qual a alimentação é introduzida. Para determinar isso você procede assim (McCabe–Thiele):
  1. Trace a curva de equilíbrio y=f(x) (ou use a relação de volatilidade constante).
  2. Trace a linha de 45°: y=x.
  3. Trace a rectifying operating line (acima da alimentação) com a expressão y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1},onde R é a razão de refluxo usada (aqui R=1{,}2\,R_{\min} — precisa do R_{\min} numérico).
  4. Trace a q-line (linha da alimentação) com y = \frac{q}{q-1}\,x - \frac{z_F}{q-1}.No seu caso q=0{,}5 e z_F=0{,}40, então numericamente a q-line está pronta.
  5. A interseção entre a rectifying line e a q-line dá o ponto onde as duas linhas se cruzam; a partir desse ponto constrói-se a operação de “degraus” entre rectifying line e curva de equilíbrio até (x_D,x_D) e entre stripping line e curva de equilíbrio até (x_B,x_B). O número de “degraus” acima do ponto de interseção até o topo corresponde ao número de pratos teóricos acima da alimentação; abaixo corresponde ao número de pratos teóricos abaixo da alimentação. A soma dá o número total de pratos teóricos (coluna teórica).
  6. As composições que deixam o prato de alimentação:
    • A composição líquida que sai do prato de alimentação (corrente descendente) é o ponto x no eixo líquido correspondente à coordenada onde, no desenho de McCabe–Thiele, o passo cruza o ponto de alimentação (ou seja, o x na interseção do “degrau” com o eixo x). Em termos práticos, é o composto líquido imediatamente abaixo do ponto de entrada da alimentação no processo de stepping; chama-se x_F^{(L)}.
    • A composição de vapor que sai do prato de alimentação é y_F^{(V)}, que está em equilíbrio com x_F^{(L)} pela curva de equilíbrio: y_F^{(V)} = f\big(x_F^{(L)}\big).
    • Alternativamente, se você preferir equações, a interseção entre a q-line e a rectifying/stripping lines fornece coordenadas que permitem calcular explicitamente x_F^{(L)} e y_F^{(V)} desde que as linhas de operação sejam conhecidas (isto é, desde que R e a constante da stripping line sejam determinadas).
Conclusão sobre (c): sem a curva de equilíbrio (ou \alpha constante) e sem o valor numérico de R_{\min} não podemos fornecer numericamente a posição do prato de alimentação nem os valores de x_F^{(L)} e y_F^{(V)}. Posso, imediatamente, executar os cálculos se você me passar:
  • a curva y=f(x) (dados VLE) ou um valor de \alpha assumido;
  • ou o valor numérico de R_{\min} (então R já fica determinado por R=1{,}2\,R_{\min}).
Se quiser, eu já faço um exemplo rápido assumindo uma volatilidade relativa típica (por exemplo \alpha=2{,}5) para mostrar exatamente como se calcula N e a posição do prato. Mas isso seria uma ASSUNÇÃO adicional — posso fazer isso se você autorizar que eu use uma volatilidade relativa representativa.

Resposta

(a) D=165{,}789\\ \mathrm{kmol/h} \quad B=184{,}211\\ \mathrm{kmol/h}
(b) Não é possível determinar numericamente o número de estágios sem dados de equilíbrio vapor–líquido (curva VLE) ou sem a volatilidade relativa \alpha. Para resolver usaríamos Fenske (para N_{\min}), Underwood (para R_{\min}) e Gilliland (para N com R=1{,}2\,R_{\min}) ou o método gráfico de McCabe–Thiele se a curva VLE for fornecida.
(c) Não é possível determinar numericamente a posição do prato de alimentação nem as composições das correntes líquida e de vapor que deixam o prato sem os dados de equilíbrio VLE (ou a suposição numérica de \alpha). O procedimento exigido é desenhar a q-line ( q=0{,}5), a rectifying line (com R) e a stripping line no diagrama de McCabe–Thiele e identificar a interseção/degrafamento; as composições são então lidas/obtidas no ponto de interseção (liquid: x_F^{(L)}; vapor: y_F^{(V)}=f(x_F^{(L)})).

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