Uma coluna de destilação com refervedor total e condensador parcial deve operar com duas misturas de etanol-acetona. A primeira mistura está 10 \% vaporizada com uma vazão de 1000 \mathrm{moles} / \mathrm{h} e a segunda mistura é 90 \% vaporizada com vazão de 500 \mathrm{moles} / \mathrm{h}. Ambas as misturas contêm 45 \% de acetona. Deseja-se um destilado com 85 \% de acetona e um produto de fundo com 2 \% de acetona. O refluxo de fundo é vapor saturado e as vazões molares podem ser consideradas constantes. Ao usar uma razão de refluxo externa igual ao dobro da razão de refluxo mínima, determine:
a) A localização ótima dos pratos;
b) O número de estágios teóricos necessários.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede as seguintes coisas.
  • Dados fornecidos:
    • Primeira mistura: vazão \;F_1 = 1000\\ \mathrm{mol/h}, 10\% vaporizada → fração de líquido \;q_1 = 0{,}90.
    • Segunda mistura: vazão \;F_2 = 500\\ \mathrm{mol/h}, 90\% vaporizada → fração de líquido \;q_2 = 0{,}10.
    • Ambas as misturas têm composição em acetona \;z_{F1}=z_{F2}=0{,}45 (fração molar de acetona).
    • Destilado desejado: composição em acetona \;x_D = 0{,}85.
    • Fundo (resíduo) desejado: composição em acetona \;x_B = 0{,}02.
    • Reboiler total e condensador parcial.
    • “Vazões molares podem ser consideradas constantes” (condição do fluxo molar constante).
    • O refluxo utilizado é \;R = 2 R_{\min} (ou seja, razão de refluxo externa é o dobro da mínima).
  • O que o exercício pede:
    • (a) Determinar a localização ótima das placas (onde alimentar cada corrente).
    • (b) Determinar o número de estágios teóricos necessários.
  • Observação crucial (informação necessária que não foi dada no enunciado):
    • Para calcular numericamentes R_{\min} e o número de estágios com os métodos clássicos (Fenske – para N_{\min} em refluxo total, Underwood – para R_{\min}, e Gilliland – para N a uma razão de refluxo finita) é necessário conhecer os dados de equilíbrio (curva VLE) ou, em aproximação de volatilidade constante, a volatividade relativa constante \;\alpha (acetona relativa ao etanol). Esses dados NÃO foram fornecidos no enunciado.
    • Portanto não é possível obter um valor numérico preciso e correto para R_{\min} nem para o número de estágios sem assumir/ter \alpha ou a curva VLE.
Vou, apesar disso, resolver todas as partes que podem ser resolvidas sem \alpha (balanços, onde é intuitivamente melhor colocar as correntes de alimentação) e explicar passo a passo o procedimento completo (com as fórmulas e o método) para que você saiba exatamente como calcular numericamente assim que tiver \alpha (ou a curva VLE). No final eu dou também um exemplo numérico ilustrativo assumindo uma volatividade típica para mostrar como aplicar as fórmulas na prática (mas esse valor de exemplo é uma suposição e não vem do enunciado).

Passo 2

Calculamos as vazões de destilado \;D e fundo \;B a partir dos balanços globais e de componente (acetona). Isso não depende de \alpha.
  • Balanço total:
    F = F_1 + F_2 = 1000 + 500 = 1500\\ \mathrm{mol/h} = D + B.
  • Balanço de acetona:
    F z_F = D x_D + B x_B,
    em que z_F é a composição global em acetona do alimento combinado. Como ambas as correntes têm 45\% de acetona,
    z_F = 0{,}45.
    Substituindo:
    1500\cdot 0{,}45 = D\cdot 0{,}85 + B\cdot 0{,}02.
  • Substituímos B = 1500 - D e resolvemos para D:
    675 = 0{,}85 D + 0{,}02(1500 - D) = 0{,}85 D + 30 - 0{,}02 D = 0{,}83 D + 30.
0{,}83 D = 645 \quad\Rightarrow\quad D = \frac{645}{0{,}83} \approx 777{,}108\\ \mathrm{mol/h}.
B = 1500 - D \approx 1500 - 777{,}108 = 722{,}892\\ \mathrm{mol/h}.
Interpretação: para obter \;x_D=0{,}85 e \;x_B=0{,}02 com a alimentação total de 1500\\ \mathrm{mol/h} e composição 0{,}45, o destilado será \approx 777{,}11\\ \mathrm{mol/h} e os fundos \approx 722{,}89\\ \mathrm{mol/h}.

Passo 3

Determinar as vazões de líquido e vapor que cada alimentação traz à coluna (parte importante para entender o efeito no balanço de energia e nas linhas operacionais).
  • Para a primeira mistura ( F_1 = 1000, 10\% vaporizada): \text{vapor}_1 = 0{,}10\cdot 1000 = 100\\ \mathrm{mol/h},
\text{líquido}_1 = 0{,}90\cdot 1000 = 900\\ \mathrm{mol/h}.í
  • Para a segunda mistura ( F_2 = 500, 90\% vaporizada): \text{vapor}_2 = 0{,}90\cdot 500 = 450\\ \mathrm{mol/h},
\text{líquido}_2 = 0{,}10\cdot 500 = 50\\ \mathrm{mol/h}.í
Esses valores mostram claramente que a primeira alimentação entrega majoritariamente líquido à coluna (é praticamente líquido saturado), enquanto a segunda entrega majoritariamente vapor.

Passo 4

Explicação didática sobre a influência do parâmetro q (qualidade da alimentação) e localização ótima de alimentação.
  • O que é a reta q-line?
    A reta q-line representa as condições termodinâmicas da alimentação em um diagrama x y (McCabe–Thiele). Para uma alimentação com fração líquida \;q, a q-line tem equação (em forma de reta no diagrama y vs x):
    y = \frac{q}{q-1} x - \frac{z_F}{q-1},
    onde z_F é a fração molar do componente volátil na alimentação. A inclinação e posição dessa reta dependem de q:
    • q=1 → alimentação líquida saturada → q-line vertical em x = z_F.
    • q=0 → alimentação vapor saturado → q-line horizontal em y = z_F.
    • 0<q<1 → reta com inclinação negativa.
    • q>1 ou q<0 para sobreaquecimento ou subresfriamento, não é o caso aqui.
  • Interpretação física e regra prática para localização de alimentação:
    • Uma alimentação que é majoritariamente líquida (grande q, aqui \;q_1 = 0{,}90) aumenta a carga de líquido na coluna; essa alimentação é mais bem colocada na seção de esgotamento (stripping), isto é, na parte inferior da coluna, pois fornece líquido que deve ser enriquecido pelo vapor que sobe.
    • Uma alimentação que é majoritariamente vapor (pequeno q, aqui \;q_2 = 0{,}10) aumenta a carga de vapor; ela é mais adequada na seção de retificação (rectifying), isto é, na parte superior da coluna, porque o vapor que desce/ sobe a partir desse ponto contribui para a separação na seção alta.
    • Em termos de McCabe–Thiele, a colocação ótima dos alimentadores é geralmente tal que cada alimentação entre no ponto onde a sua q-line cruza a respectiva linha operacional (ou, pragmaticamente, tão próxima quanto possível do estágio cujo composição líquida é próxima de z_F), minimizando movimentos desnecessários de material entre seções.

Passo 5

Conclusão quantitativa para a localização ótima das placas (resposta da parte (a)) — aqui não precisamos de \alpha:
  • Da análise dos q-values e das vazões:
    • A primeira alimentação ( \;F_1, \;q_1 = 0{,}90, praticamente líquida) deve ser alimentada na parte inferior da coluna, próxima à seção de esgotamento (stripping), ou seja, em placas baixas, próximas ao reboiler. Isso minimiza o número de estágios porque a corrente líquida extra cai diretamente onde é necessário enriquecer o vapor ascendente.
    • A segunda alimentação ( \;F_2, \;q_2 = 0{,}10, praticamente vapor) deve ser alimentada na parte superior da coluna, próxima à seção de retificação (rectifying), ou seja, em placas altas, próximas ao condensador. Assim o vapor fornecido ajuda diretamente a melhorar a separação na seção de cima.
Observação prática: para achar o estágio exato (número de placas a partir do topo ou do fundo) onde cada alimentação deve entrar, constrói‑se o diagrama de McCabe–Thiele com a curva de equilíbrio real (ou assumida) e as linhas operacionais; a posição ótima é o estágio em que a composição do líquido no prato é próxima de z_{F} e em que a q-line intercepta a linha operacional. Sem a curva de equilíbrio (ou \alpha) não é possível fornecer o número exato do prato (apenas a recomendação de seção).

Passo 6

Como calcular o número de estágios (metodologia completa, passo a passo, para quando se tenha os dados de equilíbrio):
  • Passo A — determinar \;N_{\min} (número mínimo de estágios no refluxo total) com a fórmula de Fenske (para separação binária com \alpha constante):
    N_{\min} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\ln(\alpha)}.
    • Aqui \;x_D = fração molar do componente mais volátil no destilado ( =0{,}85), \;x_B = fração no fundo ( =0{,}02), e \;\alpha = volatividade relativa (acetona/etanol).
    • Explicação: a razão \dfrac{x}{1-x} é a razão molar acetona/etanol; a fórmula dá quantos estágios teóricos seriam necessários no caso ideal de refluxo infinito (total), dependendo da volatividade relativa.
  • Passo B — determinar \;R_{\min} (razão de refluxo mínima) usando a equação de Underwood:
    • Para sistema binário com \alpha constante, resolve-se a equação de Underwood para o parâmetro \theta (raiz adequada) e então calcula-se R_{\min} por: \sum_i \frac{z_i \alpha_i}{\alpha_i - \theta} = 1,em que para binário i=1 é acetona ( \alpha_1=\alpha) e i=2 é etanol ( \alpha_2=1). Uma vez obtido \theta, R_{\min} = \frac{\alpha x_D}{\alpha - \theta} - 1,(as expressões podem aparecer escritas de forma equivalente em diferentes referências; o ponto importante é que é preciso resolver Underwood para \theta usando z_i, \alpha_i e x_D).
    • Observação: Underwood é um procedimento padrão; requer \alpha (ou curvas VLE).
  • Passo C — com \;R dado (aqui R = 2 R_{\min}), estima-se o número de estágios N usando a correlação de Gilliland (relação empírica entre redução de R e aumento de N):
    • Definimos: X = \frac{R - R_{\min}}{R + 1}, \qquad Y = \frac{N - N_{\min}}{N + 1}.A correlação de Gilliland dá Y em função de X (pode ser usada a forma aproximada empírica ou a correlação de Eduljee). A partir de Y obtém‑se N e, se necessário, ajusta‑se para o número de pratos inteiros.
    • Alternativamente, pode executar o gráfico de McCabe–Thiele (construção geométrica) com a linha de operação do retificador usando R e a linha de operação do estripador e contar degraus (esta é a forma mais didática e direta quando se tem a curva de equilíbrio).
  • Resumo das variáveis:
    • \;x_D, x_B: composições dos produtos (dadas).
    • \;z_F: composição do alimento (aqui 0{,}45).
    • \;\alpha: volatividade relativa (precisa ser conhecida ou estimada).
    • \;N_{\min}: número mínimo de estágios (Fenske).
    • \;R_{\min}: razão de refluxo mínima (Underwood).
    • \;N para \;R = 2 R_{\min}: obtido com Gilliland ou McCabe–Thiele.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (APENAS EXEMPLIFICATIVO — suposição de \alpha).
Para você ver na prática como aplicar: suponha que a volatividade relativa média constante seja \;\alpha = 2{,}3 (valor típico aproximado para acetona/etanol sob certas condições). Vou mostrar rapidamente os cálculos que você faria com esse \alpha.
  • Cálculo de N_{\min} (Fenske): \frac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)} = \frac{0{,}85/0{,}15}{0{,}02/0{,}98} = \frac{5{,}6666\ldots}{0{,}02040816\ldots} \approx 277{,}667.
N_{\min} = \frac{\ln(277{,}667)}{\ln(2{,}3)} \approx \frac{5{,}624}{0{,}8329} \approx 6{,}75.
Interpretação: com refluxo infinito precisaríamos de aproximadamente \;6{,}75 estágios teóricos → na prática pelo menos 7 estágios (inteiro).
  • Para continuar (Underwood → R_{\min}, depois R=2R_{\min} e Gilliland → N final) eu precisaria resolver a equação de Underwood com \alpha=2{,}3 para encontrar \theta e depois R_{\min}. Essa etapa é mecânica mas exige usar a expressão correta de Underwood (ou software/número iterativo). Com R_{\min} em mãos você aplicaria a correlação de Gilliland (ou o gráfico) para encontrar N correspondente a R = 2 R_{\min}.
    • Exemplo (apenas indicativo, sem resolver Underwood aqui): tipicamente, usar R=2R_{\min} leva a um número de estágios prático que pode ser entre \sim 1{,}2 a 1{,}8 vezes N_{\min} dependendo da dificuldade da separação; com o N_{\min}\approx 6{,}75 poderíamos esperar N final na faixa 8 12 estágios teóricos dependendo do resultado de Underwood/Gilliland. Mas repito: isto é apenas um intervalo indicativo, NÃO um cálculo exato.

Passo 8

Resumo final do que você pode afirmar com certeza agora e o que falta para um número preciso:
  • O que temos com certeza (resposta qualitativa / necessária para (a)):
    • A alimentação \;F_1 ( \;q_1=0{,}90, majoritariamente líquida) deve ser introduzida na seção inferior (próxima ao reboiler) — isto é a localização ótima em termos práticos.
    • A alimentação \;F_2 ( \;q_2=0{,}10, majoritariamente vapor) deve ser introduzida na seção superior (próxima ao condensador) — isto é a localização ótima em termos práticos.
  • O que falta para a resposta numérica de (b):
    • É necessária a curva de equilíbrio (VLE) ou a volatividade relativa média \;\alpha para calcular \;R_{\min} (Underwood) e então, com \;R = 2 R_{\min}, obter o número de estágios teóricos por Gilliland ou por construção de McCabe–Thiele.
    • Eu mostrei como calcular N_{\min} por Fenske e exemplifiquei com \alpha=2{,}3 (resultado \;N_{\min}\approx 6{,}75). Para o número final de estágios é preciso completar Underwood + Gilliland (ou McCabe–Thiele), que exigem \alpha.

Resposta

a) A primeira alimentação ( F_1, \;q_1=0{,}90, praticamente líquida) deve ser introduzida na seção inferior da coluna (próxima ao reboiler — pratos baixos).
A segunda alimentação ( F_2, \;q_2=0{,}10, praticamente vapor) deve ser introduzida na seção superior da coluna (próxima ao condensador — pratos altos).
b) Não é possível determinar numericamente o número de estágios teóricos sem dados de equilíbrio (curva VLE) ou, ao menos, a volatividade relativa média \;\alpha. Com esses dados usa‑se a sequência: Fenske (para \;N_{\min}) → Underwood (para \;R_{\min}) → Gilliland (ou McCabe–Thiele) para obter N a \;R=2R_{\min}. (Exemplo ilustrativo: assumindo \alpha=2{,}3, obtém‑se \;N_{\min}\approx 6{,}75 e a partir daí, com Underwood+Gilliland, calcula‑se o N final.)

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