Uma mistura de benzeno e tolueno deve ser separada em um equipamento de destilação em batelada simples que opera a 1 atm , composto somente do vaporizador e condensador. A carga F é igual a 4 kgmoles com composição de 60 \% molar de benzeno e a volatilidade do benzeno em relação ao tolueno constante e igual a 2,5. Determine:
A composição e quantidade final do resíduo para \mathrm{X}_{\mathrm{p}}=0,7.

Passo 1

Enunciado resumido (o que o problema pede e os dados fornecidos):
  • Temos uma carga inicial F de 4 kmoles de uma mistura binária benzeno + tolueno, com fração molar de benzeno na carga igual a 60\%.
  • A volatilidade relativa do benzeno em relação ao tolueno é constante e igual a \alpha=2,5.
  • O equipamento é destilador em batelada simples (apenas evaporador e condensador) — ou seja, sem refluxo.
  • Foi especificado \mathrm{X}_p=0,7. Vou interpretar \mathrm{X}_p como a fração molar de benzeno no destilado (produto) no instante final de coleta — isto é, paramos quando o vapor (e, após condensação, o destilado) tem y_p=0,7.
  • O pedido: determinar a composição final do resíduo (fração molar de benzeno no líquido restante) e a quantidade final do resíduo quando o destilado atinge \mathrm{X}_p=0,7.
Dados numéricos que usarei:
F = 4\quad(\text{kmol}),\qquad z_F=0,60,\qquad \alpha=2,5,\qquad y_p=0,70.

Passo 2

Relação de equilíbrio líquido-vapor para volatilidade relativa constante — como a usamos aqui e o que cada símbolo significa.
Para mistura binária, assumindo comportamento ideal e volatilidade relativa constante \alpha (benzeno é o componente mais volátil), a composição do vapor y (fração molar de benzeno no vapor) em equilíbrio com o líquido de composição x (fração molar de benzeno no líquido) é dada por:
y=\frac{\alpha\,x}{1+(\alpha-1)\,x}.
Explicando as variáveis:
  • x = fração molar de benzeno no líquido (no líquido dentro do evaporador).
  • y = fração molar de benzeno no vapor que está em equilíbrio com esse líquido.
  • \alpha = volatilidade relativa \dfrac{K_{\text{benzeno}}}{K_{\text{tolueno}}}, constante aqui.
Essa fórmula vem da definição de volatilidade relativa e do balanço de fugacidades para comportamento ideal; para nosso objetivo basta usá-la como relação entre x e y.

Passo 3

Determinar a composição do resíduo (fração molar de benzeno no líquido final) a partir de \mathrm{X}_p=0,7.
Interpretação: quando o destilado final tem y_p=0,70, esse y está em equilíbrio com a composição líquida final do resíduo, que chamaremos de x_W. Logo colocamos y=0,70 na relação de equilíbrio e resolvemos para x_W:
0,70=\frac{2,5\,x_W}{1+(2,5-1)\,x_W} .
Agora resolvemos passo a passo:
0,70\bigl(1+1,5\,x_W\bigr)=2,5\,x_W
0,70+1,05\,x_W=2,5\,x_W
0,70 = 2,5\,x_W - 1,05\,x_W = 1,45\,x_W
x_W = \frac{0,70}{1,45} = 0,4827586207\ldots
Arredondando convenientemente:
x_W \approx 0,4828.
Portanto a fração molar de benzeno no resíduo final é \approx 0,4828.

Passo 4

Equação de Rayleigh para destilação em batelada (sem refluxo) — fórmula que relaciona a quantidade inicial F, a quantidade final W e as composições inicial e final do líquido.
A equação diferencial de balanço de material para destilação em batelada (retificando para o componente mais volátil) e integrando dá a conhecida equação de Rayleigh:
\ln\!\left(\frac{F}{W}\right)=\int_{x_W}^{x_F}\frac{dx}{y(x)-x},
onde:
  • x_F é a fração molar de benzeno no líquido inicial (a carga), aqui x_F=z_F=0,60.
  • x_W é a fração molar de benzeno no líquido final (resíduo), que encontramos no passo anterior.
  • y(x) é dada pela relação de equilíbrio do passo 2.
Com volatilidade relativa constante, podemos substituir y(x) e integrar em forma fechada. Já que
y-x = \frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}-x = \frac{(\alpha-1)\,x(1-x)}{1+(\alpha-1)x},
o integrando fica
\frac{1}{y-x}=\frac{1+(\alpha-1)x}{(\alpha-1)\,x(1-x)}.
Fazendo a decomposição e integrando (detalhe do procedimento):
\int\frac{dx}{y-x}=\frac{1}{\alpha-1}\int\frac{dx}{x(1-x)}+\int\frac{dx}{1-x}.
E como
\int\frac{dx}{x(1-x)}=\ln x - \ln(1-x),\qquad \int\frac{dx}{1-x}=-\ln(1-x),
ao combinar obtemos a forma fechada:
\ln\!\left(\frac{F}{W}\right)=\frac{1}{\alpha-1}\ln\!\left(\frac{x_F}{x_W}\right)-\frac{\alpha}{\alpha-1}\ln\!\left(\frac{1-x_F}{1-x_W}\right).
Essa é a expressão que usaremos para calcular W.

Passo 5

Substituir os valores numéricos na equação de Rayleigh e calcular W.
Temos:
\alpha=2,5,\qquad \alpha-1=1,5,\qquad x_F=0,60,\qquad x_W\approx0,4827586207.
Aplicando a fórmula:
\ln\!\left(\frac{F}{W}\right)=\frac{1}{1,5}\ln\!\left(\frac{0,60}{0,4827586207}\right)-\frac{2,5}{1,5}\ln\!\left(\frac{1-0,60}{1-0,4827586207}\right).
Calculemos passo a passo (valores aproximados das razões e logaritmos naturais):
  1. Razões:
\frac{0,60}{0,4827586207}\approx 1,243243243, \qquad \frac{1-0,60}{1-0,4827586207}=\frac{0,40}{0,5172413793}\approx 0,773333333.
  1. Logaritmos naturais:
\ln(1,243243243)\approx 0,2180,\qquad \ln(0,773333333)\approx -0,2560.
  1. Coeficientes:
\frac{1}{1,5}=0,6666667,\qquad \frac{2,5}{1,5}=1,6666667.
  1. Avaliando a expressão:
\ln\!\left(\frac{F}{W}\right) \approx 0,6666667\times 0,2180 - 1,6666667\times(-0,2560)
\ln\!\left(\frac{F}{W}\right)\approx 0,1453 + 0,4267 = 0,5720.
  1. Portanto:
\frac{F}{W}=e^{0,5720}\approx 1,7719 \quad\Longrightarrow\quad W=\frac{F}{1,7719}=\frac{4}{1,7719}\approx 2,257\\ (\text{kmol}).

Passo 6

Interpretando o resultado e conclusão (resumindo):
  • A fração molar de benzeno no resíduo final (líquido restante no evaporador) é x_W\approx 0,4828.
  • A quantidade final do resíduo é W\approx 2,257 kmol (ou seja, do total de 4 kmol foram destilados aproximadamente 4-2,257=1,743 kmol de destilado com y\approx0,70 no instante final).

Resposta

x_W \approx 0,4828
W \approx 2,257\\ \text{kmol}

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