A coluna de destilação que faz a separação da mistura clorofórmio-benzeno possui um condensador total, um refervedor parcial, e as vazões internas molares podem ser consideradas constantes. A carga possui uma vazão molar de 2000 \mathrm{kgmoles} / \mathrm{h} com 30 \% líquida, e com 55 \% molar de clorofórmio. O refluxo no topo é líquido subresfriado, onde 2 moles de vapor é condensado para cada 20 moles de refluxo. O produto de topo deverá ter uma composição de 90 \% molar de clorofórmio e o produto de fundo 20 \% molar de clorofórmio. Se a razão de refluxo externa de topo é igual a 4, determine o número de estágios teóricos e o prato ótimo de alimentação.

Passo 1

Vou traduzir e listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder: \n
  • Vazão molar da carga: F = 2000 \mathrm{kmol/h}. \n
  • Fração líquida da carga (isto é, fração molar que entra como líquido): q = 0{,}30. \n
  • Composição da carga em clorofórmio: z_F = 0{,}55 (fração molar). \n
  • Refluxo no topo é líquido subresfriado; o enunciado diz: “onde 2 moles de vapor é condensado para cada 20 moles de refluxo”. (Vou apontar adiante por que essa frase é ambígua e precisa de interpretação). \n
  • Produto de topo (destilado) desejado: x_D = 0{,}90 (fração molar de clorofórmio). \n
  • Produto de fundo (resíduo) desejado: x_B = 0{,}20 (fração molar de clorofórmio). \n
  • Razão de refluxo externa (refluxo fração molar retornada sobre distilado): R_\text{ext} = 4. \n
  • A coluna tem condensador total e refervedor parcial; as vazões internas molares podem ser consideradas constantes (ou seja, aproximamos L e V como constantes nas regiões apropriadas). \n
    O que o enunciado pede: determinar o número de estágios teóricos e o prato ótimo de alimentação. \n
    Observação importante (sem iniciar resolução ainda): para calcular número de estágios por McCabe–Thiele ou por relações Fenske/Underwood/Gilliland é imprescindível conhecer a curva de equilíbrio (ou a volatilidade relativa constante \alpha) entre clorofórmio e benzeno. O enunciado não fornece essa informação nem tabela de equilíbrio. Além disso, a frase sobre o refluxo subresfriado está ambígua e pode alterar as vazões internas usadas na construção das retas operacionais; isso também precisa ser esclarecido. Vou continuar mostrando tudo que se pode fazer com os dados dados, o que falta e como proceder passo a passo se tivéssemos os dados que faltam.

Passo 2

Primeiro, cálculos que podem ser feitos já com os dados fornecidos: balanços globais e de componente para encontrar D e B. \n
Balanço total de matéria (molar): F = D + B. \n
Balanço de componente (clorofórmio): F z_F = D x_D + B x_B. \n
Substituindo números: 2000 = D + B,
2000\cdot 0{,}55 = D\cdot 0{,}90 + B\cdot 0{,}20. \n
Compute o número de mols do componente na alimentação: 2000\cdot 0{,}55 = 1100\\ (\mathrm{kmol/h}). \n
Substituindo B = 2000 - D no balanço de clorofórmio: 1100 = 0{,}90D + 0{,}20(2000 - D). \n
Desenvolvendo: 1100 = 0{,}90D + 400 - 0{,}20D = 0{,}70D + 400. \n
Isolando D: 0{,}70D = 700 \implies D = 1000\\ (\mathrm{kmol/h}). \n
Portanto B = 2000 - 1000 = 1000\\ (\mathrm{kmol/h}). \n
Comentário motivador: olha que simpático — com esses números D e B ficam iguais, mas isso não resolve o número de pratos porque isso depende do quanto fácil é separar os componentes (curva de equilíbrio) e do refluxo efetivo dentro da coluna.

Passo 3

Agora explico por que, com os dados do enunciado, não é possível calcular numericamente o número de estágios teóricos nem o prato ótimo de alimentação sem informação adicional. Vou listar exactamente o que falta e por quê: \n
  1. Curva de equilíbrio vapor–líquido (VLE) ou volatilidade relativa \alpha: \n
  • Para construir o diagrama McCabe–Thiele precisamos da relação y = f(x) que dá a composição do vapor em equilíbrio com uma fase líquida de composição x. \n
  • Alternativamente, se a mistura for aproximada por volatilidade relativa constante, precisamos do valor numérico de \alpha para usar a expressão y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)x}. \n
Sem y(x) ou \alpha não há como traçar a curva de equilíbrio nem contar degraus (ou aplicar a equação de Fenske para N_{\min}). \n
2) Interpretação do refluxo subresfriado: a frase “2 moles de vapor é condensado para cada 20 moles de refluxo” é ambígua: \n
  • Interpretação A (comum fonte de confusão): pode significar que, além do vapor que chega do topo da coluna e que é condensado para formar D e L_0, o sistema condensa adicionalmente um certo fluxo de vapor equivalente a 0{,}1 vezes o refluxo (porque 2/20 = 0{,}1). Isso altera a relação entre o vapor que sai do topo da coluna e o fluxo líquido de refluxo real dentro da coluna; as retas operacionais precisam ser corrigidas. \n
  • Interpretação B: pode significar simplesmente que o refluxo é enviado subresfriado e, para tanto, na usina se consome refrigeração (mas a quantidade de mols condensados é apenas D+L_0); ou seja, a frase é apenas um dado operacional e não altera as vazões internas. \n
    Sem saber qual interpretação o problema quer, não dá para definir corretamente as vazões internas L e V dentro da coluna e, portanto, não dá para escrever corretamente as retas operacionais. \n
    Conclusão deste passo: faltam dados essenciais (VLE/ \alpha e clarificação do efeito do subresfriamento) — com isso, não é possível determinar numericamente N (nº de estágios teóricos) nem o local do prato ótimo de alimentação.

Passo 4

Como seu amigo/ajudante de prova, vou te ensinar passo a passo O PROCEDIMENTO que você deve aplicar assim que tiver os dados que faltam (curva de equilíbrio ou \alpha e clarificação do subresfriamento). Vou detalhar cada fórmula e por que usamos cada passo — assim, na prova você aplica direto. \n
Etapa geral (McCabe–Thiele, método gráfico ou equivalente numérico): \n
  1. Determinar D e B por balanços (já feito no Passo 2). \n
  2. Determinar refluxo líquido L_0 usando a razão de refluxo externa: R_\text{ext}=\frac{L_0}{D}. Então L_0 = R_\text{ext}\,D. \n
  • No seu caso, se a interpretação B for adotada (subresfriamento não altera vazões), temos L_0 = 4\cdot 1000 = 4000 \mathrm{kmol/h}. \n
  1. Se houver subresfriamento que condensa moles extras, corrigir as vazões internas: \n
  • Se for dada uma fração f de condensação extra tal que para cada 1 mol de refluxo há f mol de vapor extra condensado (no enunciado f = 2/20 = 0{,}1), então o total de vapor condensado no condensador seria V_\text{cond} = D + L_0 + f L_0. Dependendo de como o problema define isso, o fluxo de vapor que circula na coluna (abaixo do topo) e o fluxo de líquido (no rectifying) poderão ser ajustados. \n
  • Importante: existe potencial confusão sobre onde esse vapor extra vinha e para onde vai; por isso reforço: peça (ou verifique) no enunciado qual o significado. \n
  1. Construir as retas operacionais: \n
  • Reta operacional da seção de retificação (acima da alimentação): y = \frac{R'}{R'+1} x + \frac{x_D}{R'+1}, onde R' é a razão de refluxo interna apropriada (relacionada a L e D; se não houver correção do subresfriamento, R' = R_\text{ext}). Aqui (x,y) são frações molares de líquido e vapor na seção. \n
  • Reta operacional da seção de esgotamento (abaixo da alimentação): obtém-se por balanço entre o reboiler e a seção de esgotamento; geralmente se escreve: y = \frac{L_s}{V_s} x - \frac{B x_B}{V_s}, mas na prática se usa a reta unindo (x_B,x_B) com o ponto de interseção entre a reta de alimentação (q-line) e a reta de retificação. \n
  1. Traçar a q-line (linha de alimentação): \n
  • A q-line tem equação: y = \frac{q}{q-1} x - \frac{z_F}{q-1}. \n
  • Explicando: q é a fração molar de alimentação que entra como líquido; a q-line relaciona as composições líquida e vapor no ponto de alimentação e tem inclinação q/(q-1). Se q=1 (alimentação sub-resfriada líquida) a q-line é vertical; se q=0 (alimentação totalmente vapor) a q-line é horizontal. \n
  1. Traçar a curva de equilíbrio y(x) (necessária): \n
  • Se \alpha é constante, usa-se y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)x}. \n
  • Se a curva é dada por tabela, traça-se por pontos. \n
  1. McCabe–Thiele: \n
  • Começa-se em x_D na linha y=x (diagonal), sobe-se verticalmente até a curva de equilíbrio (porque partimos do líquido do prato superior até vapor em equilíbrio), depois move-se horizontalmente até a reta operacional (porque do vapor em equilíbrio desce ao líquido do prato seguinte conforme a reta operacional), e repete-se “degrau por degrau” até alcançar x_B. \n
  • O número de degraus + 1 (pelo refervedor contado como estágio) dá o número de estágios teóricos. \n
  1. Local do prato de alimentação (prato ótimo) \n
  • O prato ótimo é o degrau que intersecta a q-line; na construção gráfica, é o prato onde ocorre a mudança entre usar a reta da retificação e a reta da esgotamento. \n
  1. Atalhos analíticos (quando a curva de equilíbrio é aproximada por \alpha constante): \n
  • Fenske para número mínimo de pratos em refluxo infinito (total reflux): \;N_\text{min} = \frac{\ln\left( \dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)} \right)}{\ln \alpha}. \n
  • Underwood para calcular R_\text{min} (mínimo reflux) — requer as volatilidades e as composições. \n
  • Gilliland ou correlações para relacionar R/R_\text{min} com N/N_\text{min} e obter N para um refluxo finito. \n
    Resumo: esses são os passos com todas as fórmulas que você aplicaria assim que tiver a curva de equilíbrio ou o valor de \alpha e a interpretação do subresfriamento.

Passo 5

Vou detalhar com cuidado as fórmulas principais (explicando variáveis) para você decorar e aplicar rápido na prova — tudo em pedacinhos fáceis: \n
  • Balanço de componente (já usado): F z_F = D x_D + B x_B, onde F é fluxo da alimentação, z_F sua fração molar do composto (clorofórmio), D e B são fluxos de destilado e fundo, x_D e x_B as composições. \n
  • Refluxo externo: R_\text{ext}=\frac{L_0}{D}. Aqui L_0 é o fluxo de líquido que vai do condensador ao topo da coluna (refluxo). \n
  • Reta operativa de retificação: y = \frac{R'}{R'+1} x + \frac{x_D}{R'+1}. \n
    • y é fração molar no vapor; x é fração molar no líquido. \n
    • R' é a razão de refluxo relevante para a seção (pode ser igual a R_\text{ext} ou corrigida pelo subresfriamento). \n
  • q-line: y = \frac{q}{q-1} x - \frac{z_F}{q-1}. \n
    • Slope = q/(q-1). Para q=0{,}30 a inclinação é \dfrac{0{,}30}{0{,}30-1} = \dfrac{0{,}30}{-0{,}70} = -\dfrac{3}{7} \approx -0{,}4286. \n
  • Se a mistura aceita volatilidade relativa constante \alpha: y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha - 1)x}. \n
  • Fenske (mínimo estágios, refluxo infinito): N_\text{min} = \frac{\ln\left( \dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)} \right)}{\ln \alpha}. \n
  • Gilliland (correlação empírica) para aproximar N quando R é finito: usa-se curvas ou a forma empírica que relaciona X = \dfrac{R - R_\text{min}}{R + 1} e Y = \dfrac{N - N_\text{min}}{N + 1}. \n
    Todas as variáveis acima estão definidas e, repito, sem \alpha ou sem a curva y(x) não há como calcular números.

Passo 6

Explico a situação do refluxo subresfriado com mais calma (pois isso dá medo na prova, mas é só lógica): \n
  • Se o refluxo é subresfriado e o enunciado realmente quer dizer que há condensação adicional de vapor na operação do condensador, então o vapor que sai do topo da coluna (o fluxo que vem do prato superior) é maior do que o líquido devolvido como refluxo mais o destilado; o condensador está retirando esse vapor adicional e convertendo em líquido. Isso altera o balanço de moles no topo e, consequentemente, a vazão de vapor V que circula na coluna. \n
  • Operacionalmente: para construir a reta operativa da retificação precisamos de R' que é função de L e D (ou, de modo equivalente, do fluxo de vapor V). Se houver condensações extras, temos que ajustar V e daí obter R' = L/V (ou usar a forma da reta em função de L e D). \n
  • Fórmula rápida para o fator f mencionado: se forem efetivamente 2 mols condensados extras por 20 mols de refluxo, então a fração f=0{,}1. Neste caso o total condensado no condensador seria calculado como V_\text{cond} = D + L_0 + f L_0. Mas, repito: isso só é aplicável se o enunciado quiser exatamente isso; pode também ser que o número dado seja apenas informativo sem alterar os balanços (interpretação alternativa). \n
    Moral: antes de fazer conta, confirme (ou interprete claramente) o que o enunciado quer com essa frase — por causa disso não posso avançar com números.

Passo 7

Resumo final e o que eu te entrego já agora (para a sua prova): \n
  • Fiz os balanços e encontrei D = 1000\\ \mathrm{kmol/h} e B = 1000\\ \mathrm{kmol/h}. (Isso você já pode anotar no seu caderno.) \n
  • Para prosseguir e calcular o número de estágios teóricos e o prato ótimo de alimentação você precisa fornecer UM dos dois itens abaixo (qualquer um basta): \n
    a) a curva de equilíbrio y = f(x) (tabela ou equação), ou \n
    b) o valor numérico da volatilidade relativa \alpha (se for razoável assumir \alpha constante). \n
  • Além disso, é necessário esclarecer exatamente o que significa “2 moles de vapor é condensado para cada 20 moles de refluxo” (se isso altera as vazões internas ou se é apenas informação operacional). \n
    Se você me confirmar a curva de equilíbrio (ou \alpha) e a interpretação do subresfriamento, eu aplico imediatamente o método McCabe–Thiele passo a passo, conto os degraus e te dou o número de estágios e o prato ótimo — com todas as contas explicadinhas para você poder repetir na prova.

Resposta

Não é possível determinar o número de estágios teóricos nem o prato ótimo de alimentação com os dados fornecidos, porque faltam a curva de equilíbrio y(x) (ou o valor da volatilidade relativa \alpha) e uma clarificação sobre o significado exato do refluxo subresfriado (a frase “2 moles de vapor é condensado para cada 20 moles de refluxo” é ambígua). \n
(Balanços já feitos: D=1000\\ \mathrm{kmol/h} e B=1000\\ \mathrm{kmol/h}; com informação adicional eu prossigo e calculo N e o prato ótimo.)

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