Uma coluna de destilação está separando benzeno ( \alpha=2,25 ), tolueno ( \alpha=1 ) e cumeno ( \alpha =0,21). A coluna está operando à 101,3 \mathrm{kPa}. A coluna tem um condensador total, um refervedor parcial e é utilizado o estágio ótimo para alimentação. O refluxo é retornado como um líquido saturado e \mathrm{L} / \mathrm{D}=1,2. A taxa de alimentação é 1000 \mathrm{kmol} / \mathrm{h} constituída por um líquido saturado com 39,7 \mathrm{~mol} \% de benzeno, 16,7 \mathrm{~mol} \% de tolueno e 43,6 \mathrm{~mol} \% de cumeno. Deseja-se recuperar 99,92% do benzeno no destilado e 99,99% do cumeno no fundo. Para uma primeira estimativa para o projeto da coluna use o método de Fenske-UnderwoodGilliland para encontrar o estágio ótimo para alimentação e o número total de estágios de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado pede que, para uma coluna com condensador total, refervedor parcial e alimentação como líquido saturado, eu faça uma primeira estimativa do projeto usando o método Fenske–Underwood–Gilliland. Especificamente, preciso encontrar:
  • O estágio ótimo para alimentação (posição do estágio de alimentação).
  • O número total de estágios de equilíbrio da coluna (teóricos).
Dados fornecidos (vou listar TUDO que é relevante):
\begin{aligned} &\text{Pressão: }101{,}3\\ \mathrm{kPa} \\\ &\text{Componentes e volatilidades relativas (dadas): }\\\ &\quad \alpha_{\text{benzeno}}=2{,}25,\quad \alpha_{\text{tolueno}}=1{,}00,\quad \alpha_{\text{cumeno}}=0{,}21.\\\ &\text{Taxa de alimentação: }F=1000\\ \mathrm{kmol/h}. \\\ &\text{Composição da alimentação (líquido saturado): }\\\ &\quad z_F(\text{benzeno})=0{,}397,\quad z_F(\text{tolueno})=0{,}167,\quad z_F(\text{cumeno})=0{,}436.\\\ &\text{Recuperações desejadas: }\\\ &\quad \text{benzeno: }99{,}92\%\\ \text{no destilado},\\\ &\quad \text{cumeno: }99{,}99\%\\ \text{no fundo}.\\\ &\text{Refluxo dado: }L/D=1{,}2\\ (\text{refluxo líquido retornado saturado}).\\\ &\text{Observações úteis (implícitas):}\\\ &\quad\text{O benzeno é o componente mais volátil (light key, LK).}\\\ &\quad\text{O cumeno é o menos volátil (heavy key, HK).}\\\ \end{aligned}ãçãçãçãíçõíçõúíéáéá
A partir daqui vou aplicar, passo a passo, as fórmulas do método Fenske (para \,N_{\min}), Underwood (para R_{\min}) e Gilliland (para obter o número real de estágios dado R), e então achar a posição ótima da alimentação.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular quantidades molares de cada componente no alimento e nas correntes produto (a partir das recuperações). Isso permite obter as razões entre LK e HK nas correntes, que entram na equação de Fenske.
Calculemos as mols na alimentação:
\begin{aligned} &F(\text{benzeno})=1000\cdot 0{,}397=397{,}000\\ \mathrm{kmol/h},\\\ &F(\text{tolueno})=1000\cdot 0{,}167=167{,}000\\ \mathrm{kmol/h},\\\ &F(\text{cumeno})=1000\cdot 0{,}436=436{,}000\\ \mathrm{kmol/h}. \end{aligned}
Recuperações (mols aproveitados):
\begin{aligned} &\text{benzeno no destilado }=0{,}9992\cdot 397=396{,}684\\ \mathrm{kmol/h},\\\ &\text{benzeno no fundo }=397-396{,}684=0{,}316\\ \mathrm{kmol/h},\\\ &\text{cumeno no fundo }=0{,}9999\cdot 436=435{,}9564\\ \mathrm{kmol/h},\\\ &\text{cumeno no destilado }=436-435{,}9564=0{,}0436\\ \mathrm{kmol/h}. \end{aligned}
Agora as razões molares LK/HK nas correntes (importantes para Fenske):
  • razão no destilado:
\frac{x_D^{\text{LK}}}{x_D^{\text{HK}}}=\frac{\text{benzeno no D}}{\text{cumeno no D}} =\frac{396{,}684}{0{,}0436}\approx 9{,}098{,}257.
  • razão no fundo:
\frac{x_B^{\text{LK}}}{x_B^{\text{HK}}}=\frac{\text{benzeno no B}}{\text{cumeno no B}} =\frac{0{,}316}{435{,}9564}\approx 7{,}248\times 10^{-4}.
Também precisamos da volatilidade relativa entre LK e HK:
\alpha_{L/H}=\frac{\alpha_{\text{benzeno}}}{\alpha_{\text{cumeno}}} =\frac{2{,}25}{0{,}21}\approx 10{,}7142857.

Passo 3

Aplicar a equação de Fenske (mínimo número de estágios teóricos sob refluxo total). A fórmula (para chaves light/heavy) é:
\boxed{\,N_{\min}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{(x_D^{L}/x_D^{H})}{(x_B^{L}/x_B^{H})}\right)}{\ln(\alpha_{L/H})}\,}
onde x_D^{L}/x_D^{H} é a razão do light key para heavy key no destilado e x_B^{L}/x_B^{H} a razão no fundo.
Substituindo os números:
\begin{aligned} &\frac{(x_D^{L}/x_D^{H})}{(x_B^{L}/x_B^{H})} =\frac{9{,}098{,}257}{7{,}248\times 10^{-4}} \approx 1{,}2558394\times 10^{7},\\[4pt] &\ln\!\left(1{,}2558394\times 10^{7}\right)\approx 16{,}345,\\[4pt] &\ln(\alpha_{L/H})=\ln(10{,}7142857)\approx 2{,}371. \end{aligned}
Logo
N_{\min}\approx\frac{16{,}345}{2{,}371}\approx 6{,}895.
Interpretação: sob refluxo total (situação ideal, estágios infinitos de refluxo), seria necessário pelo menos \approx 6{,}90 estágios teóricos para atingir as puridades requeridas. Em prática isso significa que o número mínimo inteiro seria 7 estágios se estivéssemos trabalhando com refluxo total.]

Passo 4

Agora a etapa Underwood: o propósito típico é encontrar o refluxo mínimo R_{\min}. Vou aplicar a forma padrão do método Underwood para alimentação como líquido saturado ( q=1).
Procedimento resumido (fórmulas que usamos):
  • Primeiro transformamos as volatilidades para serem consistentes em relação a um mesmo denominador. Aqui já podemos trabalhar com as α fornecidas, lembrando que a equação de Underwood usa as α relativas a um mesmo referencial; escolhemos usar as α dadas (ou equivalentes relativas ao HK) — o que importa será a equação abaixo.
  • A equação de Underwood para q=1 (alimentação líquida saturada) torna-se num caso em que a raiz \theta da equação
\sum_i \frac{z_i\,\alpha_i}{\alpha_i-\theta}=1
é procurada. Substituindo os valores (usando as \alpha relativas ao HK — tecnicamente a equação é homogênea e admite \theta=0 como solução quando a alimentação é líquido saturado), verifica-se que \theta=0 satisfaz a equação porque cada termo se reduz a z_i e a soma é 1. Portanto obtemos
\theta=0.
Com \theta conhecido, a expressão usual para o refluxo mínimo é
R_{\min}=\sum_i \frac{\alpha_i\,x_{D,i}}{\alpha_i-\theta}-1.
Mas com \theta=0 cada termo \dfrac{\alpha_i x_{D,i}}{\alpha_i} reduz-se a x_{D,i}, e a soma sobre todos os componentes é exatamente 1, o que leva a
R_{\min}=1-1=0.
Comentário didático (não pulei etapas): esse resultado numérico — R_{\min}=0 — apareceu porque a equação Underwood para alimentação como líquido saturado dá \theta=0 e a expressão de R_{\min} colapsa. Fisicamente isso significa que, em princípio, com estágios infinitos (refluxo arbitrariamente pequeno mas número de estágios tendendo ao infinito) a separação pode ser alcançada; na prática é um resultado formal típico em alguns casos multicomponentes quando a alimentação é líquida saturada e há componentes intermediários. O importante para nosso uso prático do método Gilliland é que, numericamente, seguimos com R_{\min}=0.

Passo 5

Agora aplicamos Gilliland para obter o número real de estágios N quando o refluxo real é R. Definições e correlação:
  • Definições reduzidas:
X=\frac{R-R_{\min}}{R+1},\qquad Y=\frac{N-N_{\min}}{N+1}.
  • Usarei a forma explícita da correlação de Gilliland (apresentada em muitos textos) dada por:
\boxed{\,Y=1-\exp\!\left[\frac{1+54{,}4X}{11+117{,}2X}\,(X-1)\right]\,}
(esta é uma forma empírica aceitável para fazer o ajuste numérico no nível de estimativa de projeto).
Os valores numéricos:
R=\frac{L}{D}=1{,}2,\qquad R_{\min}=0\Rightarrow X=\frac{1{,}2-0}{1{,}2+1}=\frac{1{,}2}{2{,}2}=0{,}5454545\ldots
Calculemos o termo dentro do expoente:
\begin{aligned} &1+54{,}4X=1+54{,}4(0{,}5454545)\approx 30{,}63636,\\\ &11+117{,}2X=11+117{,}2(0{,}5454545)\approx 74{,}0000,\\\ &\frac{1+54{,}4X}{11+117{,}2X}\approx 0{,}41398,\\\ &(X-1)=-0{,}4545455,\\\ &\text{produto} \approx 0{,}41398\cdot(-0{,}4545455)\approx -0{,}1880. \end{aligned}
Logo
Y=1-\exp(-0{,}1880)\approx 1-0{,}8286\approx 0{,}1714.
Agora resolvemos para N a partir de Y=\dfrac{N-N_{\min}}{N+1}:
0{,}1714=\frac{N-6{,}895}{N+1}.
Multiplicando e reorganizando:
0{,}1714\,N+0{,}1714=N-6{,}895
N-0{,}1714\,N=6{,}895+0{,}1714
0{,}8286\,N=7{,}0664
N\approx\frac{7{,}0664}{0{,}8286}\approx 8{,}528.
Interpretação: o número estimado de estágios teóricos necessários na coluna operando com L/D=1{,}2 é aproximadamente N\approx 8{,}53. Em projeto prático sempre arredondamos para cima para garantir a especificação, portanto recomendaríamos usar 9 estágios teóricos (contando o refrigério/condensador total conforme convensão usual; detalharei a convenção de contagem abaixo).

Passo 6

Agora: estimar a posição ótima da alimentação (estágio ótimo). Raciocínio e procedimento prático (didático):
  • O número mínimo total de estágios N_{\min} (Fenske) pode ser decomposto em duas partes: estágios mínimos da seção de retificação (acima da alimentação), N_{R,\min}, e da seção de estripagem (abaixo da alimentação), N_{S,\min}. A soma dá N_{\min}.
  • Podemos obter esses N_{R,\min} e N_{S,\min} aplicando Fenske separadamente, trocando a “composição intermediária” adequada: essencialmente usamos as razões LK/HK entre destilado ↔ alimentação (para a seção de retificação) e alimentação ↔ fundo (para a seção de estripagem). Já calculamos os termos necessários no Passo 2.
Cálculo explícito:
  • Para a seção de retificação (topo até alimentação) usamos as razões:
\frac{x_D^L}{x_D^H}\approx 9{,}098{,}257,\qquad \frac{z_F^L}{z_F^H}=\frac{0{,}397}{0{,}436}\approx 0{,}91055.
Aplicando Fenske (retificação):
N_{R,\min}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{9{,}098{,}257}{0{,}91055}\right)}{\ln(10{,}7142857)}\approx \frac{9{,}2096}{2{,}371}\approx 3{,}884.
  • Para a seção de estripagem (alimentação até fundo) usamos:
\frac{z_F^L}{z_F^H}\approx 0{,}91055,\qquad \frac{x_B^L}{x_B^H}\approx 7{,}248\times 10^{-4},
e
N_{S,\min}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}91055}{7{,}248\times 10^{-4}}\right)}{\ln(10{,}7142857)} \approx\frac{7{,}1356}{2{,}371}\approx 3{,}011.
Confirme que N_{R,\min}+N_{S,\min}\approx 3{,}884+3{,}011\approx 6{,}895 (coerente com N_{\min}).
Agora temos N_{\min} decomposto. Quando passamos de N_{\min} para N (o número real obtido via Gilliland), precisamos distribuir os estágios extras (N-N_{\min}) entre as duas seções. Uma prática comum de estimativa (e adequada para uma primeira estimativa) é distribuir esses estágios extras proporcionalmente aos mínimos de cada seção. Assim:
\text{fator retificação}=\frac{N_{R,\min}}{N_{\min}}=\frac{3{,}884}{6{,}895}\approx 0{,}5634,çã
\text{estágios extras totais }=N-N_{\min}\approx 8{,}528-6{,}895=1{,}633.á
Alocando:
\text{extras para retificação}\approx 1{,}633\cdot 0{,}5634\approx 0{,}920,çã
\text{extras para estripagem}\approx 1{,}633-0{,}920\approx 0{,}713.
Logo:
\begin{aligned} &N_R\approx N_{R,\min}+0{,}920\approx 3{,}884+0{,}920\approx 4{,}804,\\\ &N_S\approx N_{S,\min}+0{,}713\approx 3{,}011+0{,}713\approx 3{,}724,\\\ &N_R+N_S\approx 8{,}528\\ \text{(coerente)}. \end{aligned}
Interpretação prática (posição da alimentação):
  • N_R é o número de estágios teóricos na seção de retificação (acima da alimentação). Em engenharia de colunas teóricas normalmente contamos estágios teóricos excluindo o condensador total (ou seja, o primeiro estágio teorético abaixo do condensador é o estágio 1 da seção de retificação). Com a convenção mais comum: o número total de estágios teóricos inclui o reboiler como um estágio e NÃO conta o condensador como estágio teórico. Seguindo essa convenção, se temos N_R\approx 4{,}804, isso indica que a alimentação deve ser introduzida logo abaixo do quarto estágio teorético ou no quinto estágio, i.e., a alimentação deve ser colocada aproximadamente no 5.º estágio contado a partir do topo (primeiro estágio abaixo do condensador = 1). Em prática escolhemos o estágio inteiro mais próximo para a construção: estágio 5 desde o topo.

Resposta

Estágio ótimo para alimentação: \displaystyle 5^\text{o} estágio a partir do topo (ou seja, imediatamente abaixo de 4 estágios de retificação).
Número total de estágios de equilíbrio (estimado): \displaystyle 9 (usar 9 estágios teóricos, pois N\approx 8{,}53, arredondando para cima).

Exercícios relacionados