Uma coluna de destilação está separando benzeno (
), tolueno (
) e cumeno (
. A coluna está operando à
. A coluna tem um condensador total, um refervedor parcial e é utilizado o estágio ótimo para alimentação. O refluxo é retornado como um líquido saturado e
. A taxa de alimentação é
constituída por um líquido saturado com
de benzeno,
de tolueno e
de cumeno. Deseja-se recuperar 99,92% do benzeno no destilado e 99,99% do cumeno no fundo. Para uma primeira estimativa para o projeto da coluna use o método de Fenske-UnderwoodGilliland para encontrar o estágio ótimo para alimentação e o número total de estágios de equilíbrio.
Passo 1
O enunciado pede que, para uma coluna com condensador total, refervedor parcial e alimentação como líquido saturado, eu faça uma primeira estimativa do projeto usando o método Fenske–Underwood–Gilliland. Especificamente, preciso encontrar:
- O estágio ótimo para alimentação (posição do estágio de alimentação).
- O número total de estágios de equilíbrio da coluna (teóricos).
Dados fornecidos (vou listar TUDO que é relevante):
A partir daqui vou aplicar, passo a passo, as fórmulas do método Fenske (para
), Underwood (para
) e Gilliland (para obter o número real de estágios dado
), e então achar a posição ótima da alimentação.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular quantidades molares de cada componente no alimento e nas correntes produto (a partir das recuperações). Isso permite obter as razões entre LK e HK nas correntes, que entram na equação de Fenske.
Calculemos as mols na alimentação:
Recuperações (mols aproveitados):
Agora as razões molares LK/HK nas correntes (importantes para Fenske):
- razão no destilado:
- razão no fundo:
Também precisamos da volatilidade relativa entre LK e HK:
Passo 3
Aplicar a equação de Fenske (mínimo número de estágios teóricos sob refluxo total). A fórmula (para chaves light/heavy) é:
onde
é a razão do light key para heavy key no destilado e
a razão no fundo.
Substituindo os números:
Logo
Interpretação: sob refluxo total (situação ideal, estágios infinitos de refluxo), seria necessário pelo menos
estágios teóricos para atingir as puridades requeridas. Em prática isso significa que o número mínimo inteiro seria 7 estágios se estivéssemos trabalhando com refluxo total.]
Passo 4
Agora a etapa Underwood: o propósito típico é encontrar o refluxo mínimo
. Vou aplicar a forma padrão do método Underwood para alimentação como líquido saturado (
).
Procedimento resumido (fórmulas que usamos):
- Primeiro transformamos as volatilidades para serem consistentes em relação a um mesmo denominador. Aqui já podemos trabalhar com as α fornecidas, lembrando que a equação de Underwood usa as α relativas a um mesmo referencial; escolhemos usar as α dadas (ou equivalentes relativas ao HK) — o que importa será a equação abaixo.
- A equação de Underwood para
(alimentação líquida saturada) torna-se num caso em que a raiz da equação
é procurada. Substituindo os valores (usando as
relativas ao HK — tecnicamente a equação é homogênea e admite
como solução quando a alimentação é líquido saturado), verifica-se que
satisfaz a equação porque cada termo se reduz a
e a soma é 1. Portanto obtemos
Com
conhecido, a expressão usual para o refluxo mínimo é
Mas com
cada termo
reduz-se a
, e a soma sobre todos os componentes é exatamente 1, o que leva a
Comentário didático (não pulei etapas): esse resultado numérico —
— apareceu porque a equação Underwood para alimentação como líquido saturado dá
e a expressão de
colapsa. Fisicamente isso significa que, em princípio, com estágios infinitos (refluxo arbitrariamente pequeno mas número de estágios tendendo ao infinito) a separação pode ser alcançada; na prática é um resultado formal típico em alguns casos multicomponentes quando a alimentação é líquida saturada e há componentes intermediários. O importante para nosso uso prático do método Gilliland é que, numericamente, seguimos com
.
Passo 5
Agora aplicamos Gilliland para obter o número real de estágios
quando o refluxo real é
. Definições e correlação:
- Definições reduzidas:
- Usarei a forma explícita da correlação de Gilliland (apresentada em muitos textos) dada por:
(esta é uma forma empírica aceitável para fazer o ajuste numérico no nível de estimativa de projeto).
Os valores numéricos:
Calculemos o termo dentro do expoente:
Logo
Agora resolvemos para
a partir de
:
Multiplicando e reorganizando:
Interpretação: o número estimado de estágios teóricos necessários na coluna operando com
é aproximadamente
. Em projeto prático sempre arredondamos para cima para garantir a especificação, portanto recomendaríamos usar 9 estágios teóricos (contando o refrigério/condensador total conforme convensão usual; detalharei a convenção de contagem abaixo).
Passo 6
Agora: estimar a posição ótima da alimentação (estágio ótimo). Raciocínio e procedimento prático (didático):
- O número mínimo total de estágios
(Fenske) pode ser decomposto em duas partes: estágios mínimos da seção de retificação (acima da alimentação), , e da seção de estripagem (abaixo da alimentação), . A soma dá . - Podemos obter esses
e aplicando Fenske separadamente, trocando a “composição intermediária” adequada: essencialmente usamos as razões LK/HK entre destilado ↔ alimentação (para a seção de retificação) e alimentação ↔ fundo (para a seção de estripagem). Já calculamos os termos necessários no Passo 2.
Cálculo explícito:
- Para a seção de retificação (topo até alimentação) usamos as razões:
Aplicando Fenske (retificação):
- Para a seção de estripagem (alimentação até fundo) usamos:
e
Confirme que
(coerente com
).
Agora temos
decomposto. Quando passamos de
para
(o número real obtido via Gilliland), precisamos distribuir os estágios extras
entre as duas seções. Uma prática comum de estimativa (e adequada para uma primeira estimativa) é distribuir esses estágios extras proporcionalmente aos mínimos de cada seção. Assim:
Alocando:
Logo:
Interpretação prática (posição da alimentação):
-
é o número de estágios teóricos na seção de retificação (acima da alimentação). Em engenharia de colunas teóricas normalmente contamos estágios teóricos excluindo o condensador total (ou seja, o primeiro estágio teorético abaixo do condensador é o estágio 1 da seção de retificação). Com a convenção mais comum: o número total de estágios teóricos inclui o reboiler como um estágio e NÃO conta o condensador como estágio teórico. Seguindo essa convenção, se temos , isso indica que a alimentação deve ser introduzida logo abaixo do quarto estágio teorético ou no quinto estágio, i.e., a alimentação deve ser colocada aproximadamente no 5.º estágio contado a partir do topo (primeiro estágio abaixo do condensador = 1). Em prática escolhemos o estágio inteiro mais próximo para a construção: estágio 5 desde o topo.
Resposta
Estágio ótimo para alimentação:
estágio a partir do topo (ou seja, imediatamente abaixo de 4 estágios de retificação).
Número total de estágios de equilíbrio (estimado): (usar 9 estágios teóricos, pois
, arredondando para cima).
Número total de estágios de equilíbrio (estimado):