Uma coluna de pratos perfurados opera a pressao atmosferıca para produzır metanol quase puro (elevada pureza) a partir de uma solução aquosa com 40 \% molar de metanol. A taxa mássica de destilado é de 5800 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}.
Calcular a queda de pressão em cada prato perfurado com as seguintes características: 1 / 8 in de espessura, furos de diâmetro igual a 1 / 4 in e espaçamento triangular de \frac{3}{4} in e , altura de vertedouro de 2 in . Para \mathrm{L}_{\mathrm{w}}=1,84 \mathrm{~m}.
Dados:
\checkmark Para o metanol \rightarrow \rho_{\mathrm{V}}=1,15 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \rho_{\mathrm{L}}=750 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \sigma=19 dina / \mathrm{cm}.
\checkmark Área disponível para o borbulhamento do vapor \left(\mathrm{A}_{\mathrm{b}}\right) é 70 \% da área da secção transversal da coluna, sabendo que a vazão volumétrica de vapor é: Q=u_{c} \cdot A_{b}.
\checkmark Sabe-se que u_{c}=0,1008 \cdot u_{o}, pois a razão entre a área dos furos e a área da coluna é 10,08%. Adote: \beta=0,60 (fator de aeração).

Passo 1

O problema pede: calcular a queda de pressão em cada prato perfurado da coluna, dado que a taxa mássica de destilado é 5800\\ \mathrm{kg/h} e fornecendo dados geométricos e propriedades físicas. Vou listar todas as informações importantes que o enunciado dá (e uma hipótese necessária para prosseguir):
Dados fornecidos (vou usar exatamente os valores dados):
\dot m_D = 5800\\ \mathrm{kg/h}
\rho_V = 1{,}15\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \rho_L = 750\\ \mathrm{kg/m^3}
\sigma = 19\\ \text{dina/cm} \quad(\text{não será necessária explicitamente nesta solução})ãááçã
Dimensões do prato:
\text{espessura do prato } = \tfrac{1}{8}\\ \text{in (não usada diretamente)}ã
\text{diâmetro dos furos } = \tfrac{1}{4}\\ \text{in (será usada implicitamente através da razão de área dos furos)}âáéãá
\text{espaçamento triangular } = \tfrac{3}{4}\\ \text{in (não usada explicitamente)}̧ã
\text{altura do vertedouro (weir) } h_w = 2\\ \text{in} = 0{,}0508\\ \mathrm{m}
L_w = 1{,}84\\ \mathrm{m} \quad(\text{vou interpretar }L_w\text{ como o diâmetro interno da coluna})â
Informações sobre áreas e velocidades:
A_b = 0{,}70\\ A_{col}\quad(\text{área disponível para borbulhamento = }70\%\\ \text{da seção})áíçã
A razão área dos furos / área da coluna = 10{,}08\% (isto será usada para obter a área total dos furos).
Relação dada (no enunciado): u_c = 0{,}1008\cdot u_o — aqui vou usar a definição prática que aparece no enunciado: usarei u_c como velocidade média do vapor na área disponível para borbulhamento A_b (calculada por Q = u_c\cdot A_b). A razão de 10{,}08\% será usada para calcular a área dos furos e, portanto, a velocidade do vapor através dos furos u_h.
Adote:
\beta = 0{,}60 \quad(\text{fator de aeração})çã
O objetivo final: determinar a queda de pressão por prato \Delta P_{prato}. A abordagem que usarei (detalhada nos próximos passos) considera duas contribuições dominantes para a perda de carga num prato perfurado:
  1. componente hidrostática associada à coluna de espuma/froth sobre o prato (proporcional a \rho_L-\rho_V e à altura efetiva da espuma);
  2. componente dinâmica associada ao escoamento do vapor através dos furos (cerca de um termo do tipo \tfrac{1}{2}\rho_V u_h^2).

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica de vapor Q a partir da vazão mássica do destilado e da densidade do vapor.
A vazão mássica é \dot m_D = 5800\\ \mathrm{kg/h}. A densidade do vapor é \rho_V = 1{,}15\\ \mathrm{kg/m^3}. Primeiro passo: converter a vazão mássica em vazão volumétrica (em \mathrm{m^3/s}):
Q = \frac{\dot m_D}{\rho_V}.
Fazendo as contas (cuidado com unidades: \dot m em \mathrm{kg/h} deve ser convertido para \mathrm{kg/s} ou dividir por \rho e depois converter horas para segundos):
Q = \frac{5800}{1{,}15}\\ \mathrm{m^3/h} = 5043{,}478\\ \mathrm{m^3/h}.
Converter para \mathrm{m^3/s}:
Q = \frac{5043{,}478}{3600} = 1{,}4010\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Calcular a área da coluna A_{col} (assumindo L_w como diâmetro) e a área disponível para borbulhamento A_b.
A área da seção da coluna é
A_{col} = \frac{\pi D^2}{4},\quad D = L_w = 1{,}84\\ \mathrm{m}.
Calcule:
A_{col} = \frac{\pi (1{,}84)^2}{4} = 2{,}659\\ \mathrm{m^2}\quad(\text{aprox.})
A área disponível para borbulhamento (dada como 70\% da área da coluna) é
A_b = 0{,}70\cdot A_{col} = 0{,}70\cdot 2{,}659 = 1{,}8613\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Calcular a velocidade média do vapor na área de borbulhamento u_c e a área total dos furos A_{furos} e a velocidade do vapor através dos furos u_h.
Velocidade média na área de borbulhamento:
u_c = \frac{Q}{A_b} = \frac{1{,}4010}{1{,}8613} = 0{,}7527\\ \mathrm{m/s}.
A razão área dos furos/área da coluna é 0{,}1008 (ou 10{,}08\%), logo a área total dos furos é
A_{furos} = 0{,}1008\cdot A_{col} = 0{,}1008\cdot 2{,}659 = 0{,}2683\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média do vapor através dos furos:
u_h = \frac{Q}{A_{furos}} = \frac{1{,}4010}{0{,}2683} = 5{,}220\\ \mathrm{m/s}.
Observação rápida: u_h é maior que u_c porque o vapor é forçado a passar por uma área bem menor (apenas a área dos furos).

Passo 5

Determinar a altura efetiva da espuma/froth e a contribuição hidrostática para a queda de pressão.
O fator de aeração \beta (dado =0{,}60) relaciona grosso modo a altura de espuma efetiva ao vertedouro. Vou usar a simplificação comum:
H_{f} = \beta\cdot h_w,
onde h_w é a altura do vertedouro (weir) e \beta é o fator de aeração. Assim:
H_f = 0{,}60\cdot 0{,}0508\\ \mathrm{m} = 0{,}03048\\ \mathrm{m}.
A contribuição hidrostática (pressão necessária para suportar a coluna de espuma) é dada por:
\Delta P_{hidro} = (\rho_L - \rho_V)\,g\,H_f,
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Substituindo:
\Delta P_{hidro} = (750 - 1{,}15)\cdot 9{,}81\cdot 0{,}03048.
Calcule:
\rho_L-\rho_V = 748{,}85\\ \mathrm{kg/m^3},
\Delta P_{hidro} = 748{,}85\cdot 9{,}81\cdot 0{,}03048 = 223{,}96\\ \mathrm{Pa}\quad(\text{aprox.}).

Passo 6

Determinar a contribuição dinâmica (cinética) do vapor ao atravessar os furos.
Uma aproximação comum para a perda de carga dinâmica associada ao escoamento do vapor através dos furos é usar a pressão dinâmica típica:
\Delta P_{din} \approx \tfrac{1}{2}\,\rho_V\,u_h^2.
Isto representa a energia cinética por volume do vapor; em prática outros coeficientes (coeficiente de descarga) poderiam ajustar este termo, mas para exercícios didáticos esta aproximação é aceitável e simples de aplicar.
Substituindo os valores:
\Delta P_{din} = \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}15\cdot (5{,}220)^2.
Calcule:
(5{,}220)^2 = 27{,}2524,
\Delta P_{din} = 0{,}575\cdot 27{,}2524 = 15{,}67\\ \mathrm{Pa}\quad(\text{aprox.}).

Passo 7

Somar as contribuições para obter a queda de pressão total por prato.
A perda total por prato é aproximadamente:
\Delta P_{prato} = \Delta P_{hidro} + \Delta P_{din}.
Substituindo os valores calculados:
\Delta P_{prato} = 223{,}96\\ \mathrm{Pa} + 15{,}67\\ \mathrm{Pa} = 239{,}63\\ \mathrm{Pa}.

Passo 8

Converter a queda de pressão para unidades usuais e dar uma interpretação física simples.
Conversões:
239{,}63\\ \mathrm{Pa} = 0{,}2396\\ \mathrm{kPa} = 2{,}396\\ \mathrm{mbar}.
Também podemos expressar em altura de líquido (altura equivalente da fase líquida sobre o prato):
h_{eq} = \frac{\Delta P_{prato}}{\rho_L g} = \frac{239{,}63}{750\cdot 9{,}81} = 0{,}0326\\ \mathrm{m} = 32{,}6\\ \mathrm{mm}.
Interpretação rápida: a maior parcela da queda de pressão vem da coluna de espuma/hidrostatic (≈224 Pa), enquanto a parcela dinâmica do vapor através dos furos é pequena (≈15,7 Pa) com os dados fornecidos.

Resposta

\Delta P_{prato}\approx 239{,}6\\ \mathrm{Pa} (≈ 0{,}2396\\ \mathrm{kPa} 2{,}396\\ \mathrm{mbar} 32{,}6\\ \mathrm{mm} de líquido).

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