Uma coluna de pratos perfurados opera a pressao atmosferıca para produzır metanol quase puro (elevada pureza) a partir de uma solução aquosa com 40 \% molar de metanol. A taxa mássica de destilado é de 5800 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}.
Para razão de refluxo de 3,5 e espaçamento de pratos de 18 in , calcular a velocidade do vapor e o diâmetro da coluna. Sendo 1 \mathrm{ft}=0,3048 \mathrm{~m} ; 1 \mathrm{in}=25,4 \mathrm{~mm}.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos (o que o problema pede e o que nos deram):
  • Produzir metanol quase puro a partir de uma solução aquosa com 40\% molar de metanol.
  • Taxa mássica de destilado: \;5800\\ \mathrm{kg/h}.
  • Razão de refluxo: \;R=3{,}5.
  • Espaçamento de pratos: \;18\\ \mathrm{in}.
  • Operação à pressão atmosférica.
Perguntas:
  • Calcular a velocidade do vapor (superficial) na coluna.
  • Calcular o diâmetro da coluna.
Dados físicos e conversões que vamos usar (dados explícitos):
1\\ \mathrm{ft}=0{,}3048\\ \mathrm{m},\qquad 1\\ \mathrm{in}=25{,}4\\ \mathrm{mm}.
Vou também usar valores físicos padrão quando necessários (explicarei e justificarei cada suposição no passo apropriado).

Passo 2

Converter unidades e calcular o fluxo molar do destilado (passo necessário porque a razão de refluxo é normalmente dada em base molar ou massiva consistente; aqui como o destilado é quase puro metanol, usamos a massa do destilado para obter mol/s de metanol).
Massa molar do metanol (assumida):
M_{\text{MeOH}} = 32{,}04\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}03204\\ \mathrm{kg/mol}.
Fluxo molar do destilado (mols por hora):
\dot{n}_D = \frac{5800\\ \mathrm{kg/h}}{0{,}03204\\ \mathrm{kg/mol}}.
Calculemos numericamente:
\dot{n}_D \approx 181024{,}96\\ \mathrm{mol/h}.
(Comentário didático: eu dividi a massa do destilado pela massa de uma mol de metanol para obter quantos mols de metanol por hora estão sendo retirados. Como o destilado é “quase puro”, essa aproximação é adequada.)

Passo 3

Calcular o fluxo molar de vapor na seção de retificação usando a relação entre refluxo, líquido e vapor.
Definição de razão de refluxo:
R=\frac{L}{D},
onde L é o fluxo molar do refluxo (mol/h) e D é o fluxo molar do destilado (mol/h).
No topo da coluna (seção de retificação), o fluxo molar de vapor \dot{V} é aproximadamente:
\dot{V} = \dot{L} + \dot{D} = (R+1)\dot{D}.
Aplicando numericamente:
\dot{V} = (3{,}5 + 1)\cdot 181024{,}96 = 4{,}5\cdot 181024{,}96 \approx 814612{,}32\\ \mathrm{mol/h}.

Passo 4

Converter o fluxo molar de vapor para mol/s (para usar na lei dos gases ideais).
\dot{n}_V = \frac{814612{,}32}{3600}\\ \mathrm{mol/s} \approx 226{,}2812\\ \mathrm{mol/s}.
(Comentário didático: passamos para mol/s porque a lei dos gases ideais costuma ser usada com tempo em segundos quando queremos o fluxo volumétrico em \mathrm{m^3/s}.)

Passo 5

Calcular o fluxo volumétrico de vapor usando a lei dos gases ideais. Aqui preciso de uma temperatura do vapor no topo; como o destilado é quase puro metanol e a coluna opera à pressão atmosférica, assumimos que a temperatura do topo é aproximadamente o ponto de ebulição do metanol puro a 1 atm.
Assumimos:
T \approx 64{,}7^\circ\mathrm{C} = 337{,}85\\ \mathrm{K}\approx 338\\ \mathrm{K}.
Pressão:
P = 1\\ \mathrm{atm} = 101325\\ \mathrm{Pa}.
Constante dos gases:
R_u = 8{,}3145\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Lei dos gases para fluxo volumétrico:
\dot{V}_{\text{vol}} = \dot{n}_V\cdot\frac{R_u T}{P}.
Substituindo numericamente:
\dot{V}_{\text{vol}} \approx 226{,}2812\cdot\frac{8{,}3145\cdot 338}{101325}\\ \mathrm{m^3/s}.
Vamos calcular em etapas (para você conseguir refazer na prova):
8{,}3145\cdot 338 \approx 2810{,}30,
226{,}2812\cdot 2810{,}30 \approx 6{,}36\times 10^{5},
\dot{V}_{\text{vol}} \approx \frac{6{,}36\times 10^{5}}{101325}\\ \mathrm{m^3/s}\approx 6{,}28\\ \mathrm{m^3/s}.
(Comentário didático: este é o volume de vapor por segundo que passa pela coluna no topo.)

Passo 6

Calcular a densidade do vapor (útil para interpretar fluxos em massa e também para a equação de capacidade). A densidade do vapor ideal é:
\rho_V = \frac{P\cdot M_{\text{MeOH}}}{R_u T}.
Substituindo:
\rho_V \approx \frac{101325\cdot 0{,}03204}{8{,}3145\cdot 338}\\ \mathrm{kg/m^3}.
Cálculo:
\rho_V \approx 1{,}155\\ \mathrm{kg/m^3}.
(Comentário didático: usamos a forma \rho = \dfrac{P M}{R T}, que vem de PV = nRT e \rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{nM}{V}.)

Passo 7

Escolher e explicar a correlação de capacidade para obter a velocidade superficial permissível do vapor e, a partir dela, a área/diâmetro da coluna.
Nós vamos usar a equação empírica de Souders–Brown (forma usual em dimensionamento de colunas de pratos), que pode ser escrita como:
u_{\text{flood}} = C\sqrt{\frac{\rho_L-\rho_V}{\rho_V}},
onde
  • u_{\text{flood}} é a velocidade superficial de vapor na condição de flooding (início do arraste/arrastamento),
  • C é um fator de capacidade empírico que depende do tipo de prato e do espaçamento dos pratos,
  • \rho_L e \rho_V são as densidades do líquido e do vapor respectivamente.
Para projeto costuma-se adotar uma fração do flooding (por exemplo 80\% do flooding) para segurança:
u_{\text{design}} = 0{,}8\;u_{\text{flood}} = 0{,}8\;C\sqrt{\frac{\rho_L-\rho_V}{\rho_V}}.
Justificativas e escolhas (sempre essenciais em prova quando faltam dados tabulados):
  • Não foi fornecida na questão a tabela de fatores C para diferentes espaçamentos, mas o enunciado deu o espaçamento de 18\\ \mathrm{in}. Para pratos perfurados / “sieve trays” com espaçamento de 18\\ \mathrm{in} é comum (em tabelas-padrão) adotar um valor de C na faixa de 0{,}10 a 0{,}14\\ \mathrm{m/s}. Vou usar um valor típico e conservador:
C = 0{,}12\\ \mathrm{m/s}.
(Comentário didático: esse C é empírico; em provas normalmente lhe dão a curva/tabela ou você adota um valor padrão. Estou explicitando a escolha.)
  • Densidade do líquido \rho_L: no topo da coluna o líquido é rico em metanol (o destilado é quase puro), então tomamos a densidade aproximada do metanol líquido próximo ao seu ponto de ebulição. Vamos assumir:
\rho_L \approx 780\\ \mathrm{kg/m^3}
(uma escolha conservadora entre valores tabulados de metanol líquido à temperatura de ebulição). Vou mostrar o efeito de cada número para que você entenda como mudar se tiver outro dado.
Agora calculemos u_{\text{design}}:
\sqrt{\frac{\rho_L-\rho_V}{\rho_V}} = \sqrt{\frac{780-1{,}155}{1{,}155}} \approx \sqrt{674{,}55}\approx 25{,}97.
u_{\text{flood}} = C\cdot 25{,}97 \approx 0{,}12\cdot 25{,}97 \approx 3{,}116\\ \mathrm{m/s}.
u_{\text{design}} = 0{,}8\cdot 3{,}116 \approx 2{,}493\\ \mathrm{m/s}.
(Comentário didático: o passo mais “empírico” é a escolha de C e da fração do flooding. Em exame, se te der a curva C vs espaçamento, use-a; se não, justifique uma escolha típica como eu fiz.)

Passo 8

Calcular a área e o diâmetro da coluna a partir do fluxo volumétrico e da velocidade superficial de projeto.
Área necessária:
A = \frac{\dot{V}_{\text{vol}}}{u_{\text{design}}}.
Substituindo:
A \approx \frac{6{,}28\\ \mathrm{m^3/s}}{2{,}493\\ \mathrm{m/s}} \approx 2{,}519\\ \mathrm{m^2}.
Diâmetro correspondente (coluna de seção circular):
d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
d \approx \sqrt{\frac{4\cdot 2{,}519}{\pi}} \approx \sqrt{3{,}206}\approx 1{,}792\\ \mathrm{m}.
(Comentário didático: eu calculei a área dividindo o fluxo volumétrico pela velocidade superficial admissível; em seguida converti área em diâmetro supondo seção circular.)

Passo 9

Conversões e notas finais de verificação:
  • Espaçamento de pratos (conversão ornamental, pois foi usado para justificar C):
18\\ \mathrm{in} = 18\cdot 25{,}4\\ \mathrm{mm} = 457{,}2\\ \mathrm{mm} = 0{,}4572\\ \mathrm{m}.
  • Resultados finais numéricos (arredondados de forma consistente):
u_{\text{vapor, projetada}} \approx 2{,}49\\ \mathrm{m/s}, \qquad d_{\text{coluna}} \approx 1{,}79\\ \mathrm{m}.
Observação importante (para a prova): as principais suposições feitas foram
  1. vapor ideal à temperatura de ebulição do metanol puro a 1 atm ( T\approx 338\\ \mathrm{K});
  2. densidade do líquido no topo \rho_L\approx 780\\ \mathrm{kg/m^3};
  3. fator de capacidade C=0{,}12\\ \mathrm{m/s} para pratos perfurados com espaçamento 18\\ \mathrm{in};
  4. projeto a 80\% do flooding.
Se na sua prova você receber uma tabela com C ou outra fração de flooding, substitua C e refaça os cálculos exatamente como eu mostrei — o procedimento permanece o mesmo.

Resposta

Velocidade do vapor (superficial, projetada): \;2{,}49\\ \mathrm{m/s}.
Diâmetro da coluna: \;1{,}79\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados