QUESTÃO 3 ( \mathbf{3 , 5} pontos): Deseja-se separar os sólidos de uma suspensão de rocha fosfatada em água, através de um tanque gravitacional de 2 m de comprimento, 0,3 \mathrm{~m} de altura e 1,5 \mathrm{~m} de largura. Conhecendo-se:
  • Vazão de alimentação: 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}
  • Concentração da alimentação: 5% em peso de sólidos
  • Densidade da rocha fosfatada: 2,85 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3
  • Esfericidade das partículas: 0,8
  • Análise granulométrica: (Di em \mu \mathrm{m} )
X_{i}=\left(\frac{D_{i}}{90,97}\right)^{1,4903}
Estime a percentagem de sólidos (em massa) coletada e o efeito da concentração na eficiência de separação.

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime a percentagem de sólidos (em massa) coletada num tanque gravitacional e que a gente discuta o efeito da concentração na eficiência. Dados fornecidos (vou listar tudo para não nos perdermos):
\begin{aligned} &\text{Dimensões do tanque: } L=2{,}0\\ \mathrm{m},\\ H=0{,}3\\ \mathrm{m},\\ B=1{,}5\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Vazão de alimentação: } Q=10\\ \mathrm{m^3/h},\\\ &\text{Concentração mássica de sólidos: } 5\% \\ (\text{isto é }0{,}05\\ \text{em massa}),\\\ &\text{Densidade do sólido: } \rho_p=2{,}85\\ \mathrm{g/cm^3}=2850\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &\text{Densidade do fluido (água): } \rho_f\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &\text{Viscosidade cinemática (água) usada: } \mu\approx1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\\ &\text{Esfericidade das partículas: } \psi=0{,}8,\\\ &\text{Análise granulométrica (com }D_i\text{ em }\mu\mathrm{m}\text{): } X_i=\left(\dfrac{D_i}{90{,}97}\right)^{1{,}4903}. \end{aligned}õãçãçãáóéóáááíáé
Observação operacional importante (que já nos prepara para os próximos passos): para um tanque horizontal convencional tomamos a condição de sedimentação do tipo “overflow rate” — partículas com velocidade terminal maior que a velocidade superficial do tanque serão removidas.

Passo 2

Definimos o critério de separação que vamos usar (é o mais usado em clarificação por gravidade): a velocidade superficial ou “overflow rate”
u_0=\dfrac{Q}{A},
onde A é a área da superfície horizontal do tanque. Uma partícula será retirada (assumindo fluxo uniforme e sem reentradas) se sua velocidade de assentamento terminal v_t satisfizer v_t>u_0. Nosso plano: calcular u_0, determinar o diâmetro crítico D_c tal que v_t(D_c)=u_0, e usar a curva granulométrica para obter a fração em massa que tem D\ge D_c.

Passo 3

Calcular u_0:
\begin{aligned} &Q=\dfrac{10\\ \mathrm{m^3}}{3600\\ \mathrm{s}}=0{,}0027777778\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &A=L\cdot B=2{,}0\cdot1{,}5=3{,}0\\ \mathrm{m^2},\\\ &u_0=\dfrac{0{,}0027777778}{3{,}0}=0{,}0009259259\\ \mathrm{m/s}\approx9{,}259\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}

Passo 4

Vamos estimar a velocidade terminal para partículas na faixa provável (micrômetros). Para partículas pequenas e em regime laminar (Re<<1) podemos usar a lei de Stokes (balanço viscoso):
v_{\text{Stokes}}=\dfrac{(\rho_p-\rho_f)\,g\,D^2}{18\,\mu},
onde D é o diâmetro da partícula (m), g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, \mu é a viscosidade dinâmica do fluido. Explico: essa fórmula vem do equilíbrio entre peso aparente e força de arrasto no regime laminar; é válida enquanto o número de Reynolds da partícula for muito pequeno (tipicamente Re<0{,}1 1). Vamos calcular a constante multiplicativa útil:
k=\dfrac{(\rho_p-\rho_f)\,g}{18\,\mu}=\dfrac{(2850-1000)\cdot9{,}81}{18\cdot1{,}0\times10^{-3}} =1{,}00825\times10^{6}\\ \mathrm{s^{-1} m^{-1}}.
Assim v_{\text{Stokes}}=k\,D^2 com D em metros.

Passo 5

Corrigindo para esfericidade: partículas não-esféricas assentam mais devagar que esferas do mesmo volume. Uma correção prática para regime de Stokes é multiplicar a velocidade de Stokes por \psi (sphericidade) ou, mais formalmente, dividir por um fator dinâmico \chi com \chi\approx 1/\psi. Vou usar a aproximação simples e usual
v_t \approx \psi\; v_{\text{Stokes}}=\psi\,k\,D^2.
Explico em palavras: se \psi<1 a velocidade diminui aproximadamente na mesma razão (isso é razoável para partículas minerais pouco alongadas). Aqui \psi=0{,}8, então a velocidade real será cerca de 80\% da prevista para esfera.

Passo 6

Determinamos o diâmetro crítico D_c tal que v_t(D_c)=u_0. Usando v_t=\psi k D^2,
D_c=\sqrt{\dfrac{u_0}{\psi\,k}}.
Substituindo números:
D_c=\sqrt{\dfrac{9{,}259\times10^{-4}}{0{,}8\cdot1{,}00825\times10^{6}}} =3{,}388\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=33{,}88\\ \mu\mathrm{m}.
Comentário: antes de usar Stokes era prudente verificar o número de Reynolds típico para D_c. Tomando v\approx u_0 e D=D_c,
Re=\dfrac{\rho_f\,u_0\,D_c}{\mu}\approx\dfrac{1000\cdot9{,}259\times10^{-4}\cdot3{,}388\times10^{-5}}{1\times10^{-3}}\approx0{,}028\ll1.
Portanto o uso de Stokes é justificado: estamos no regime laminar.

Passo 7

Usamos a lei granulométrica dada para achar a fração em massa mais fina do diâmetro crítico. O enunciado deu
X(D)=\left(\dfrac{D}{90{,}97}\right)^{1{,}4903},
com D em \mu\mathrm{m}. Para D_c=33{,}88\\ \mu\mathrm{m}:
X(D_c)=\left(\dfrac{33{,}88}{90{,}97}\right)^{1{,}4903}=0{,}2299\approx22{,}99\%.
Interpretação (assumindo X como fração mais fina em massa): 22{,}99\% da massa está com D\le D_c (ou seja, muito fina para assentar). Portanto a fração em massa que tem D\ge D_c (e que, na teoria diluída, será coletada) é
\text{Coletada (diluída)}=1-X(D_c)=1-0{,}2299=0{,}7701\approx77{,}0\%.í
Então, no caso ideal de partículas isoladas (fluxo diluído), esperaríamos cerca de 77{,}0\% da massa de sólidos sendo removida no fundo.

Passo 8

Agora avaliamos o efeito da concentração de sólidos ( 5\% em massa). Quando há partículas em volume significativo ocorre “hindered settling” — as partículas atrapalham umas às outras e a velocidade de assentamento diminui. Uma correlação prática e amplamente usada é a equação de Richardson–Zaki:
v_h=v_t\,(1-\varphi)^n,
onde \varphi é a fracção volumétrica de sólidos no suspenso e n é um expoente que depende de Re (para baixos Re tipicamente n\approx4{,}65). Primeiro convertemos a concentração mássica w_s=0{,}05 para fracção volumétrica:
\varphi=\dfrac{w_s/\rho_p}{w_s/\rho_p+(1-w_s)/\rho_f} =\dfrac{0{,}05/2850}{0{,}05/2850+0{,}95/1000}\approx0{,}01813.
Isto é \varphi\approx1{,}813\% em volume. Aplicando Richardson–Zaki com n=4{,}65:
(1-\varphi)^n=(1-0{,}01813)^{4{,}65}\approx0{,}9186.
Ou seja, as velocidades de assentamento ficam em cerca de 91{,}86\% do valor isolado. Isso faz o diâmetro crítico aumentar:
D_{c,\text{hindered}}=\sqrt{\dfrac{u_0}{\psi k (1-\varphi)^n}}=\dfrac{D_c}{\sqrt{(1-\varphi)^n}}.
Numérico:
D_{c,\text{hindered}}=33{,}88\\ \mu\mathrm{m}/\sqrt{0{,}9186}=35{,}36\\ \mu\mathrm{m}.
Agora calculamos a nova fração mais fina:
X(D_{c,\text{hindered}})=\left(\dfrac{35{,}36}{90{,}97}\right)^{1{,}4903}=0{,}2447\approx24{,}47\%,
portanto a fração coletada fica
\text{Coletada (a 5\% m/m, com hindered)}=1-0{,}2447=0{,}7553\approx75{,}5\%.
Comparação: sem efeito de concentração esperávamos \approx77{,}0\%; com o efeito (mais realista) temos \approx75{,}5\%. A concentração de 5\% (massa) causa aqui uma redução na eficiência de cerca de 1{,}5 pontos percentuais absolutos.

Passo 9

Interpretação e comentários práticos (didático e direto):
  • O resultado final mais realista é a estimativa com hindered settling: aproximadamente 75{,}5\% da massa de sólidos será coletada no tanque dado o granulométrico e as condições.
  • Por que a redução é pequena? Porque a fração volumétrica de sólidos \varphi é baixa ( \approx1{,}8\% em volume), e a correção de Richardson–Zaki com n\approx4{,}65 gera um fator \sim0{,}92, isto é, uma redução moderada da velocidade.
  • Se a concentração subisse bastante (por exemplo dezenas de % em massa), o efeito de hindered settling seria muito maior e a eficiência cairia fortemente.
  • Outros fenômenos não modelados aqui que podem alterar a eficiência: floculação/aglomeração (pode aumentar a captura, especialmente para partículas muito finas), correntes internas no tanque, tempo de retenção mal distribuído, ou partículas muito irregulares com comportamento mais complexo. Para uma previsão mais fina poderia-se usar a curva completa de eficiência de coleta (modelo contínuo) ou medição experimental.

Resposta

\text{Percentagem de sólidos coletada (massa), estimativa realista (com hindered)} = 75{,}5\%ó
\text{Efeito da concentração: a }5\%\\ \text{(massa) reduz a eficiência em cerca de }1{,}5\\ \text{p.p. (de }77{,}0\%\\ \text{para }75{,}5\%\text{) devido ao hindered settling; concentrações maiores reduzem a eficiência muito mais.}çãêçõê

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