QUESTÃO 3 (
pontos): Deseja-se separar os sólidos de uma suspensão de rocha fosfatada em água, através de um tanque gravitacional de 2 m de comprimento,
de altura e
de largura. Conhecendo-se:
- Vazão de alimentação:
- Concentração da alimentação: 5% em peso de sólidos
- Densidade da rocha fosfatada:
- Esfericidade das partículas: 0,8
- Análise granulométrica: (Di em
)
Estime a percentagem de sólidos (em massa) coletada e o efeito da concentração na eficiência de separação.
Passo 1
O enunciado pede que a gente estime a percentagem de sólidos (em massa) coletada num tanque gravitacional e que a gente discuta o efeito da concentração na eficiência. Dados fornecidos (vou listar tudo para não nos perdermos):
Observação operacional importante (que já nos prepara para os próximos passos): para um tanque horizontal convencional tomamos a condição de sedimentação do tipo “overflow rate” — partículas com velocidade terminal maior que a velocidade superficial do tanque serão removidas.
Passo 2
Definimos o critério de separação que vamos usar (é o mais usado em clarificação por gravidade): a velocidade superficial ou “overflow rate”
onde
é a área da superfície horizontal do tanque. Uma partícula será retirada (assumindo fluxo uniforme e sem reentradas) se sua velocidade de assentamento terminal
satisfizer
. Nosso plano: calcular
, determinar o diâmetro crítico
tal que
, e usar a curva granulométrica para obter a fração em massa que tem
.
Passo 3
Calcular
:
Passo 4
Vamos estimar a velocidade terminal para partículas na faixa provável (micrômetros). Para partículas pequenas e em regime laminar (Re<<1) podemos usar a lei de Stokes (balanço viscoso):
onde
é o diâmetro da partícula (m),
,
é a viscosidade dinâmica do fluido. Explico: essa fórmula vem do equilíbrio entre peso aparente e força de arrasto no regime laminar; é válida enquanto o número de Reynolds da partícula for muito pequeno (tipicamente
–
). Vamos calcular a constante multiplicativa útil:
Assim
com
em metros.
Passo 5
Corrigindo para esfericidade: partículas não-esféricas assentam mais devagar que esferas do mesmo volume. Uma correção prática para regime de Stokes é multiplicar a velocidade de Stokes por
(sphericidade) ou, mais formalmente, dividir por um fator dinâmico
com
. Vou usar a aproximação simples e usual
Explico em palavras: se
a velocidade diminui aproximadamente na mesma razão (isso é razoável para partículas minerais pouco alongadas). Aqui
, então a velocidade real será cerca de
da prevista para esfera.
Passo 6
Determinamos o diâmetro crítico
tal que
. Usando
,
Substituindo números:
Comentário: antes de usar Stokes era prudente verificar o número de Reynolds típico para
. Tomando
e
,
Portanto o uso de Stokes é justificado: estamos no regime laminar.
Passo 7
Usamos a lei granulométrica dada para achar a fração em massa mais fina do diâmetro crítico. O enunciado deu
com
em
. Para
:
Interpretação (assumindo
como fração mais fina em massa):
da massa está com
(ou seja, muito fina para assentar). Portanto a fração em massa que tem
(e que, na teoria diluída, será coletada) é
Então, no caso ideal de partículas isoladas (fluxo diluído), esperaríamos cerca de
da massa de sólidos sendo removida no fundo.
Passo 8
Agora avaliamos o efeito da concentração de sólidos (
em massa). Quando há partículas em volume significativo ocorre “hindered settling” — as partículas atrapalham umas às outras e a velocidade de assentamento diminui. Uma correlação prática e amplamente usada é a equação de Richardson–Zaki:
onde
é a fracção volumétrica de sólidos no suspenso e
é um expoente que depende de
(para baixos
tipicamente
). Primeiro convertemos a concentração mássica
para fracção volumétrica:
Isto é
em volume. Aplicando Richardson–Zaki com
:
Ou seja, as velocidades de assentamento ficam em cerca de
do valor isolado. Isso faz o diâmetro crítico aumentar:
Numérico:
Agora calculamos a nova fração mais fina:
portanto a fração coletada fica
Comparação: sem efeito de concentração esperávamos
; com o efeito (mais realista) temos
. A concentração de
(massa) causa aqui uma redução na eficiência de cerca de
pontos percentuais absolutos.
Passo 9
Interpretação e comentários práticos (didático e direto):
- O resultado final mais realista é a estimativa com hindered settling: aproximadamente
da massa de sólidos será coletada no tanque dado o granulométrico e as condições. - Por que a redução é pequena? Porque a fração volumétrica de sólidos
é baixa ( em volume), e a correção de Richardson–Zaki com gera um fator , isto é, uma redução moderada da velocidade. - Se a concentração subisse bastante (por exemplo dezenas de % em massa), o efeito de hindered settling seria muito maior e a eficiência cairia fortemente.
- Outros fenômenos não modelados aqui que podem alterar a eficiência: floculação/aglomeração (pode aumentar a captura, especialmente para partículas muito finas), correntes internas no tanque, tempo de retenção mal distribuído, ou partículas muito irregulares com comportamento mais complexo. Para uma previsão mais fina poderia-se usar a curva completa de eficiência de coleta (modelo contínuo) ou medição experimental.