Uma coluna retangular de concreto armado possui comprimento L= 7 m e largura b=15 \mathrm{~cm}. A coluna é submetida a uma força axial compressiva \underline{P=650 \mathrm{kN}}. Determine a outra dimensão desta coluna (denotada por ‘h’, em cm , e escolhida como múltiplo de 5 ) de modo que a coluna não apresente esmagamento nem flambagem, considerando um fator de segurança E S=2,5. Analise as seguintes situações:
A coluna funcionando como um poste.
Adote: E_{\text {con }}=35 \mathrm{GPa} ; E_{C A}=40 \mathrm{GPa} ; f_{c k}=40 \mathrm{MPa}; Aço CA-50; armadura longitudinal com 5 \% da área da seção transversal.

Passo 1

O enunciado fornece uma coluna de concreto armado de seção retangular com largura b=15\:\mathrm{cm} e profundidade h (a determinar, em múltiplos de 5\:\mathrm{cm}), comprimento útil L=7,0\:\mathrm{m} e carregamento axial P=650\:\mathrm{kN}. Há armadura longitudinal correspondente a 5\% da área da seção. Queremos escolher h de modo que a coluna não entre em escoamento por esmagamento nem por flambagem, adotando fator de segurança ES=2,5. Usaremos: módulo de elasticidade do concreto E_{\mathrm{con}}=35\:\mathrm{GPa}, módulo de elasticidade equivalente para flambagem E_{CA}=40\:\mathrm{GPa}, resistência característica do concreto f_{ck}=40\:\mathrm{MPa} e aço CA-50 f_{yk}=500\:\mathrm{MPa}.

Passo 2

CÁLCULO PELA AÇÃO DE ESMAGAMENTO (curta):
  1. Fatores de segurança em tensão
f_{cd}=\frac{f_{ck}}{ES}=\frac{40}{2,5}=16\:\mathrm{MPa},\quad f_{yd}=\frac{f_{yk}}{ES}=\frac{500}{2,5}=200\:\mathrm{MPa}.
  1. Áreas na seção
A = b\,h,\quad A_s=0,05\,A,\quad A_c=0,95\,A.
  1. Carga admissível por esmagamento
P_{adm,\,esm}=f_{cd}\,A_c + f_{yd}\,A_s = A\bigl(0{,}95\cdot16 + 0{,}05\cdot200\bigr)\:\mathrm{MPa} =25{,}2\,A.
Convertendo b=0{,}15\:\mathrm{m} e h em metros,
P_{adm,\,esm}=25{,}2\times10^6\,(0{,}15\,h) =3{,}78\times10^6\,h\quad[\mathrm{N}].
Impondo P_{adm,\,esm}\ge650\times10^3\:\mathrm{N}, vem
h\ge\frac{650\times10^3}{3{,}78\times10^6}=0{,}172\:\mathrm{m}\approx17{,}2\:\mathrm{cm}.
Logo, para evitar esmagamento basta h\ge20\:\mathrm{cm}.

Passo 3

CÁLCULO PELA AÇÃO DE FLAMBAGEM (longa, poste pino-pino):
  1. Carga de flambagem de Euler com ES:
P_{cr}=\frac{\pi^2\,E_{CA}\,I}{L^2},\quad P_{adm,\,flam}=\frac{P_{cr}}{ES}\ge P.
  1. Momento de inércia crítico (flambagem em torno do eixo fraco, b³):
I=\frac{h\,b^3}{12}.
  1. Condição P_{cr}/ES\ge650\times10^3:
\frac{\pi^2\,E_{CA}\,\bigl(h\,b^3/12\bigr)}{L^2\,ES}\ge P \quad\Longrightarrow\quad h\ge \frac{12\,L^2\,ES\,P}{\pi^2\,E_{CA}\,b^3}.
Substituindo
L=7,0\:\mathrm{m},\;b=0{,}15\:\mathrm{m},\;ES=2{,}5,\; E_{CA}=40\times10^9\:\mathrm{Pa},\;P=650\times10^3\:\mathrm{N},
obtém-se
h\ge0{,}717\:\mathrm{m}\approx71{,}7\:\mathrm{cm}.
Logo, para não flambar, escolhe-se h\ge75\:\mathrm{cm}.

Passo 4

Comparando os dois modos de falha:
  • Para evitar esmagamento basta h\ge20\:\mathrm{cm}.
  • Para evitar flambagem (poste pino-pino) é preciso h\ge75\:\mathrm{cm}.
    Como a coluna deve resistir a ambas, adota-se a maior dimensão.

Resposta

h = 75\:\mathrm{cm}.

Exercícios relacionados