Uma coluna biarticulada com seção transversal retangular de 15 \times 10 \mathrm{~cm} e 3 m de comprimento, é feita em madeira Abeto Douglas. Usando um coeficiente de segurança de 2,5 determine se a coluna suporta uma força crítica de 100 kN . Caso contrário, determine a dimensão da seção transversal para isto ser possível, mantendo fixa a largura de 10 cm e a outra dimensão como um múltiplo de 5 cm .

Passo 1

O enunciado dá uma coluna de madeira Abeto Douglas, biarticulada (apoio simples nas duas extremidades), de comprimento L=3{,}0\\ \mathrm{m} e seção retangular de 15\times10\\ \mathrm{cm}. Pede-se verificar se ela suporta uma carga de 100\\ \mathrm{kN} usando fator de segurança N_s=2{,}5. Se não, ajustar a altura da seção (mantendo a largura = 10\\ \mathrm{cm}) em múltiplos de 5\\ \mathrm{cm}. Vamos usar o Critério de Euler para flambagem, com k=1 (biarticulada) e E\approx12{,}0\\ \mathrm{GPa} para Abeto Douglas.

Passo 2

Calculamos o momento de inércia mínimo (eixo fraco) da seção atual. Para largura b=0{,}10\\ \mathrm{m} e altura h=0{,}15\\ \mathrm{m}, o eixo fraco tem
I = \frac{h\,b^3}{12} = \frac{0{,}15\,(0{,}10)^3}{12} =1{,}25\times10^{-5}\\ \mathrm{m^4}.

Passo 3

A carga crítica de Euler é
P_{cr} =\frac{\pi^2\,E\,I}{(kL)^2} =\frac{\pi^2\,(12\times10^9)\,(1{,}25\times10^{-5})}{(3{,}0)^2} \approx1{,}64\times10^5\\ \mathrm{N} =164\\ \mathrm{kN}.

Passo 4

Aplicando o fator de segurança, a carga admissível é
P_{adm} =\frac{P_{cr}}{N_s} =\frac{164\\ \mathrm{kN}}{2{,}5} \approx65{,}6\\ \mathrm{kN}.
Como 65{,}6\\ \mathrm{kN}<100\\ \mathrm{kN}, a seção original NÃO é suficiente.

Passo 5

Para obter P_{adm}\ge100\\ \mathrm{kN} precisamos de
P_{cr}\ge N_s\cdot100\\ \mathrm{kN} =2{,}5\times100\\ \mathrm{kN} =250\\ \mathrm{kN}.
Reescrevendo a fórmula de P_{cr} para o momento de inércia exigido I_{req}:
I_{req} =\frac{P_{cr}\,(kL)^2}{\pi^2\,E} =\frac{250\times10^3\,(3{,}0)^2}{\pi^2\,(12\times10^9)} \approx1{,}90\times10^{-5}\\ \mathrm{m^4}.

Passo 6

Com b=0{,}10\\ \mathrm{m} fixo, o momento de inércia em função de h é
I(h)=\frac{h\,b^3}{12} =\frac{h\,(0{,}10)^3}{12} =8{,}333\times10^{-4}\,h\quad(\text{com }h\text{ em m}).
Igualando a I_{req}:
8{,}333\times10^{-4}\,h =1{,}90\times10^{-5} \quad\Longrightarrow\quad h\approx0{,}228\\ \mathrm{m}.
O próximo múltiplo de 5\\ \mathrm{cm} é 0{,}25\\ \mathrm{m} (25 cm).

Passo 7

Verificação rápida para h=0{,}25\\ \mathrm{m}:
I=\frac{0{,}25\,(0{,}10)^3}{12} =2{,}083\times10^{-5}\\ \mathrm{m^4},
P_{cr} =\frac{\pi^2\,(12\times10^9)\,(2{,}083\times10^{-5})}{9} \approx274{,}2\\ \mathrm{kN}, \quad P_{adm}=\frac{274{,}2}{2{,}5}\approx109{,}7\\ \mathrm{kN}\ge100\\ \mathrm{kN}.

Resposta

A seção original não suporta 100\\ \mathrm{kN}. Mantendo b=10\\ \mathrm{cm}, deve-se adotar h=25\\ \mathrm{cm} (ou seja, seção de 10\times25\\ \mathrm{cm}).

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