Uma coluna de retificação deve ser projetada para separar 25.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de uma mistura de 40 \% de benzeno e 60 \% de tolueno, fornecendo um produto de topo contendo 97 \% de benzeno e um produto de fundo contendo, no máximo, 2 \% de benzeno. Essas porcentagens são em peso. A razão de refluxo deve ser de 3,5 moles de retorno para a coluna para cada mol de produto de topo obtido. O calor latente molar para a mistura benzeno-tolueno da alimentação é 7.240 \mathrm{cal} / \mathrm{mol} e a volatilidade relativa é 2,381 .
a) determinar as vazões de produto de topo e de produto de fundo;
b) determinar o número de pratos, as composições de equilíbrio em cada prato e a posição do prato de alimentação se:
b.1) a mistura contém 2 / 3 de vapor e 1 / 3 de líquido;
b.2) a mistura está líquida na temperatura de bolha;
b.3) a mistura está líquida a 25^{\circ} \mathrm{C}\left(\mathrm{Cp}=0,44 \mathrm{cal} / \mathrm{g},{ }^{\circ} \mathrm{C}\right).
Passo 1
O enunciado dá uma alimentação e pede várias coisas. Vou listar tudo com calma para não perder nada:
Vazão mássica da alimentação: \;25\,000\\ \mathrm{kg/h}.
Composição em massa da alimentação: \;40\% benzeno e \;60\% tolueno (por massa).
Produto de topo (destilado) deve conter \;97\% benzeno (por massa).
Produto de fundo (resíduo) deve conter no máximo \;2\% benzeno (por massa).
Razão de refluxo (base molar) dada: \;R=3{,}5 (ou seja \;L/D=3{,}5).
Calor latente molar da mistura: \;\lambda =7\,240\\ \mathrm{cal/mol}.
O que o problema pede:
a) Determinar as vazões dos produtos de topo e de fundo (vou dar em mol/h e em kg/h).
b) Determinar o número de pratos, as composições de equilíbrio em cada prato e a posição do prato de alimentação nas três situações de alimentação:
b.1) alimentação com 2/3 vapor + 1/3 líquido (ou seja q=1/3);
b.2) alimentação líquida saturada (temperatura de bolha) (ou seja q=1);
b.3) alimentação líquida subresfriada a 25^\circ\mathrm{C} com C_p=0{,}44\\ \mathrm{cal/g}^\circ\mathrm{C} (vou calcular q a partir do balanço de calor).
Passo 2
Primeiro passo técnico: converter massas para mols e obter frações molares necessárias (porque refluxo e McCabe–Thiele trabalham em mols).
Alimentação: F_\text{mass}=25\,000\\ \mathrm{kg/h}=25\,000\,000\\ \mathrm{g/h}.
Massa de benzeno na alimentação: \;0{,}40\cdot25\,000\,000 = 10\,000\,000\\ \mathrm{g/h}.
Massa de tolueno: \;0{,}60\cdot25\,000\,000 = 15\,000\,000\\ \mathrm{g/h}.
A q-line relaciona a composição líquida e vapor no ponto de alimentação e tem equação:
\boxed{ \; y = \frac{q}{q-1}\,x \;-\; \frac{z_F}{q-1}\; }.
q é a fração molar do aliment o que entra como líquido (por exemplo: alimentação 2/3 vapor + 1/3 líquido → q=1/3; alimentação saturada líquida → q=1, que dá linha vertical x=z_F; alimentação subresfriada tem q>1, e q pode ser calculado por balanço de energia).
Linha de operação da seção de fundo (stripping):
A linha de operação da seção de fundo é a reta que passa por (x_B,y_B=x_B) e pelo ponto de interseção (x_q,y_q) da q-line com a linha de retificação.
Em prática: obtenho (x_q,y_q) = interseção entre retificador e q-line; então a linha de fundo passa por (x_q,y_q) e (x_B,x_B).
Contagem de pratos por McCabe–Thiele (passos):
Começa-se no ponto (x_D,y_D=x_D) no canto direito alto, alterna-se: horizontal até a curva de equilíbrio (usar inversa para achar x), vertical até a linha de operação (retificador ou stripping conforme a altura), e assim por diante até atingir x\le x_B.
Cada par “horizontal→vertical” é um prato teórico. O “local” onde eu troco a linha de operação (de retificador para stripping) é o ponto de alimentação (entre os pratos).
Vou aplicar esse procedimento de forma numérica para cada caso (b.1, b.2, b.3). Em cada caso eu vou:
determinar q (quando necessário),
traçar (computacionalmente, por cálculos) a interseção x_q,
determinar a linha de stripping,
e fazer os passos do McCabe–Thiele listando as composições (x_i,y_i) de cada prato (começando do topo).
Para os cálculos do equilíbrio uso \alpha=2{,}381 e a fórmula invertida indicada. Para as retificadoras uso a linha já calculada.
Vou mostrar os cálculos passo a passo e, ao final de cada caso, apresento a lista das composições de cada prato e a posição do prato de alimentação.
c_s = y - m_s x \big|_{x=x_B} = 0{,}02351 - 1{,}430\cdot0{,}02351 = -0{,}01012.
Linha de stripping:
\boxed{ y = 1{,}430\,x - 0{,}01012. }
McCabe–Thiele por etapas (vou explicar cada passo curto):
Começo no topo com y_0=x_D=0{,}97445.
Para cada passo horizontal: dado y calculo x pela inversa do equilíbrio:
x = \frac{y}{\alpha - (\alpha-1)\,y},\quad \alpha=2{,}381,\\ \alpha-1=1{,}381.
Depois aplico a equação da linha de operação correspondente (retificador enquanto x>x_q; stripping quando x\le x_q) para obter novo y, e repito.
Vou apresentar as etapas (cada etapa é um prato teórico). Em cada linha aparece primeiro o x (composição líquida do prato, obtida pelo movimento horizontal até o equilíbrio) e depois o y (composição vapor obtida ao subir/ descer verticalmente à linha de operação). Valores arredondados a 4 casas decimais:
Etapas a partir do topo:
x_1=0{,}9399,\; y_1=0{,}9465
x_2=0{,}8829,\; y_2=0{,}9028
x_3=0{,}7964,\; y_3=0{,}8361
x_4=0{,}6826,\; y_4=0{,}7476
x_5=0{,}5545,\; y_5=0{,}6479
x_6=0{,}4361,\; y_6=0{,}5562 (aqui x_6 já fica ligeiramente menor que x_q; a partir daqui uso a linha de stripping)
x_7=0{,}3449,\; y_7=0{,}4828
x_8=0{,}2817,\; y_8=0{,}3927
x_9=0{,}2136,\; y_9=0{,}2952
x_{10}=0{,}1496,\; y_{10}=0{,}2038
x_{11}=0{,}0971,\; y_{11}=0{,}1287
x_{12}=0{,}0584,\; y_{12}=0{,}0734
x_{13}=0{,}0322,\; y_{13}=0{,}0360
x_{14}=0{,}0154 (no próximo passo horizontal atingimos abaixo de x_B=0{,}02351: então o processo precisa de 14 pratos teóricos, incluindo o reboiler, para atingir ou ultrapassar o grau desejado).
Interpretação: a troca de linha (ponto de alimentação) ocorreu entre os pratos 6 e 7 (porque x_6 acabou de ficar abaixo de x_q). Portanto o prato de alimentação fica em torno do 7.º prato contado a partir do topo (ou seja, entrada na posição entre os pratos 6 e 7 — na prática dizemos “alimentação no prato 7 (a contar do topo)”). O número total de pratos teóricos alcançados foi N\approx 14 (contando o reboiler como um prato).
Passo 6
Neste caso o q-line é a linha vertical x=z_F. Procedimento:
q-line: x = z_F = 0{,}44016.
Interseção com a linha do retificador (basta usar x_q=z_F):
McCabe–Thiele por etapas, como antes, produziu (arredondado 4 casas) as composições de cada prato:
x_1=0{,}9399,\; y_1=0{,}9465
x_2=0{,}8829,\; y_2=0{,}9028
x_3=0{,}7964,\; y_3=0{,}8361
x_4=0{,}6826,\; y_4=0{,}7476
x_5=0{,}5545,\; y_5=0{,}6479
x_6=0{,}4361,\; y_6=0{,}5540 (aqui x_6 já ficou ligeiramente menor que x_q=0{,}44016, então a alimentação cai entre prato 5 e 6)
x_7=0{,}3431,\; y_7=0{,}4346
x_8=0{,}2440,\; y_8=0{,}3072
x_9=0{,}1571,\; y_9=0{,}1952
x_{10}=0{,}0925,\; y_{10}=0{,}1123
x_{11}=0{,}0504,\; y_{11}=0{,}0581
x_{12}=0{,}0252,\; y_{12}=0{,}0257
x_{13}=0{,}0110 (abaixo de x_B — o número de pratos teóricos necessários é N\approx 13 contando o reboiler)
Interpretação: a alimentação está localizada entre os pratos 5 e 6, ou seja alimentando o prato 6 contado a partir do topo (na prática dizemos “prato de alimentação = 6.º do topo”). Número de pratos teóricos N\approx 13.
Passo 7
Agora precisamos calcular q via balanço de energia: a alimentação chega subresfriada a 25^\circ\mathrm{C} e precisa ser aquecida até o ponto de bolha; parte da alimentação pode até vaporizar se ultrapassar a temperatura de bolha, mas aqui assumimos que q>1 porque é subresfriada (parte da energia tem que ser acrescentada). Fórmula prática (usada em McCabe–Thiele, derivação por balanço energético por mol de alimentação):
onde C_p é a capacidade térmica molar da alimentação (cal/mol·°C), T_b é a temperatura de bolha da alimentação e \lambda é o calor latente molar (cal/mol).
Primeiro obter T_b da mistura de alimentação (pressão 1 atm assumida). Usei equação de Raoult (equilíbrio ideal) com Antoine para benzene e tolueno — é um procedimento normal quando não se dá T_b no enunciado. Resolvi numericamente a equação:
McCabe–Thiele por etapas (mesmo algoritmo). Resultado (valores arredondados a 4 casas):
x_1=0{,}9399,\; y_1=0{,}9465
x_2=0{,}8829,\; y_2=0{,}9028
x_3=0{,}7964,\; y_3=0{,}8361
x_4=0{,}6826,\; y_4=0{,}7476
x_5=0{,}5545,\; y_5=0{,}6479
x_6=0{,}4361,\; y_6=0{,}5358 (aqui x_6< x_q; alimentação entre pratos 5 e 6)
x_7=0{,}3266,\; y_7=0{,}3997
x_8=0{,}2185,\; y_8=0{,}2653
x_9=0{,}1317,\; y_9=0{,}1578
x_{10}=0{,}0730,\; y_{10}=0{,}0850
x_{11}=0{,}0376,\; y_{11}=0{,}0409
x_{12}=0{,}0176 (abaixo de x_B; o número total de pratos teóricos necessários é N\approx 12 contando o reboiler.)
Interpretação: alimentação cai entre os pratos 5 e 6 → em termos práticos “prato de alimentação = 6.º a contar do topo”. Número de pratos teóricos N\approx 12.
Resumo interpretativo (motivacional)
Ótimo — terminei os cálculos: agora você tem as vazões de topo e fundo e, para cada caso de alimentação, as linhas de operação, os pontos de interseção e a contagem de pratos com as composições em cada estágio (o que te permite “desenhar” o diagrama McCabe–Thiele se precisar). Isso é exatamente o que costuma cair em prova: balanços para D e B; depois aplicação do McCabe–Thiele com q-line e linhas de operação.
b.1) q=1/3. Número de pratos teóricos N\approx 14 (incluindo reboiler). Alimentação entre os pratos 6 e 7 → posição prática: prato de alimentação = 7.º do topo. Composições por prato (do topo para baixo, x líquido do prato e y vapor acima dele):
1: (x_1=0{,}9399,\; y_1=0{,}9465)
2: (x_2=0{,}8829,\; y_2=0{,}9028)
3: (x_3=0{,}7964,\; y_3=0{,}8361)
4: (x_4=0{,}6826,\; y_4=0{,}7476)
5: (x_5=0{,}5545,\; y_5=0{,}6479)
6: (x_6=0{,}4361,\; y_6=0{,}5562)
7: (x_7=0{,}3449,\; y_7=0{,}4828)
8: (x_8=0{,}2817,\; y_8=0{,}3927)
9: (x_9=0{,}2136,\; y_9=0{,}2952)
10: (x_{10}=0{,}1496,\; y_{10}=0{,}2038)
11: (x_{11}=0{,}0971,\; y_{11}=0{,}1287)
12: (x_{12}=0{,}0584,\; y_{12}=0{,}0734)
13: (x_{13}=0{,}0322,\; y_{13}=0{,}0360)
(14.º prato leva a x abaixo de x_B, portanto N\approx14.)
b.2) q=1 (líquido saturado). Número de pratos teóricos N\approx 13 (incluindo reboiler). Alimentação entre pratos 5 e 6 → prato prático de alimentação = 6.º do topo. Composições por prato:
1: (x_1=0{,}9399,\; y_1=0{,}9465)
2: (x_2=0{,}8829,\; y_2=0{,}9028)
3: (x_3=0{,}7964,\; y_3=0{,}8361)
4: (x_4=0{,}6826,\; y_4=0{,}7476)
5: (x_5=0{,}5545,\; y_5=0{,}6479)
6: (x_6=0{,}4361,\; y_6=0{,}5540)
7: (x_7=0{,}3431,\; y_7=0{,}4346)
8: (x_8=0{,}2440,\; y_8=0{,}3072)
9: (x_9=0{,}1571,\; y_9=0{,}1952)
10: (x_{10}=0{,}0925,\; y_{10}=0{,}1123)
11: (x_{11}=0{,}0504,\; y_{11}=0{,}0581)
12: (x_{12}=0{,}0252,\; y_{12}=0{,}0257)
(13.º prato leva a x abaixo de x_B; portanto N\approx13.)
b.3) alimentação a 25^\circ\mathrm{C}: calculei T_b\approx 94{,}03^\circ\mathrm{C}, C_{p,\mathrm{mol}}\approx 38{,}07\\ \mathrm{cal/mol}^\circ\mathrm{C}, logo q\approx 1{,}363. Número de pratos teóricos N\approx 12 (incluindo reboiler). Alimentação entre pratos 5 e 6 → prato prático de alimentação = 6.º do topo. Composições por prato:
1: (x_1=0{,}9399,\; y_1=0{,}9465)
2: (x_2=0{,}8829,\; y_2=0{,}9028)
3: (x_3=0{,}7964,\; y_3=0{,}8361)
4: (x_4=0{,}6826,\; y_4=0{,}7476)
5: (x_5=0{,}5545,\; y_5=0{,}6479)
6: (x_6=0{,}4361,\; y_6=0{,}5358)
7: (x_7=0{,}3266,\; y_7=0{,}3997)
8: (x_8=0{,}2185,\; y_8=0{,}2653)
9: (x_9=0{,}1317,\; y_9=0{,}1578)
10: (x_{10}=0{,}0730,\; y_{10}=0{,}0850)
11: (x_{11}=0{,}0376,\; y_{11}=0{,}0409)
(12.º prato atinge abaixo de x_B; portanto N\approx12.)