Deseja-se projetar uma coluna de destilação para separar n-hexano do n-heptano a 1 atm. A tabela abaixo fornece as características das cargas e produtos.
Correntes Condição Térmica Vazão molar ( \frac{\text { lbmoles }}{h} ) Fração molar \mathrm{n}-\mathrm{C}_{6}
Carga 1 Vapor saturado 400 0,50
Carga 2 Líquido saturado 200 0,30
Produto de topo Líquido saturado 150 0,96
Produto de fundo Líquido saturado 0,04
Retirada lateral Líquido saturado 0,70
A razão de refluxo operacional é 2 vezes a razão de refluxo mínima. Considerando todas as simplificações do método McCabe-Thiele, determine o número de pratos teóricos necessários, sabendo-se que o condensador é total e o refervedor é parcial.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos (de forma clara e organizada).
  • Pedido: Determinar o número de pratos teóricos necessários para a coluna de destilação que separa n‑hexano de n‑heptano a 1 atm, usando o método de McCabe–Thiele com as simplificações usuais. A razão de refluxo operacional é 2 vezes a razão de refluxo mínima. O condensador é total e o refervedor é parcial. Há uma retirada lateral com composição dada.
  • Dados fornecidos (peguei da tabela do enunciado):
    • Carga 1: vapor saturado, F_1 = 400 (lbmoles/h), fração molar de n‑C _6 \;x_{F1}=0{,}50.
    • Carga 2: líquido saturado, F_2 = 200 (lbmoles/h), fração molar de n‑C _6 \;x_{F2}=0{,}30.
    • Produto de topo (destilado): líquido saturado, D = 150 (lbmoles/h), fração molar de n‑C _6 \;x_D = 0{,}96.
    • Produto de fundo (fundo): líquido saturado, fração molar de n‑C _6 \;x_B = 0{,}04. (vazão não dada)
    • Retirada lateral: líquido saturado, fração molar de n‑C _6 \;x_S = 0{,}70. (vazão não dada)
Observações importantes nesta etapa: o enunciado não fornece nenhuma informação sobre equilíbrio vapor–líquido (curva de VLE) nem a volatilidade relativa \alpha do par n‑hexano/n‑heptano. Esses dados são essenciais para traçar a curva de equilíbrio ou usar aproximações de volatilidade constante, passos fundamentais do método de McCabe–Thiele.

Passo 2

Balanços de matéria que podemos fazer imediatamente (resolver as vazões desconhecidas S e B).
Vamos usar balanços totais e de componente (n‑hexano) porque as vazões de retirada lateral S e de fundo B não foram dadas.
  1. Balanço total (somente somar vazões):
F = F_1 + F_2 = 400 + 200 = 600\\ \text{(lbmoles/h)}.
O balanço global: F = D + S + B \quad\Rightarrow\quad 600 = 150 + S + B,
portanto
S + B = 450. \tag{1}
  1. Balanço de componente (n‑hexano). Primeiro calcule a alimentação total de n‑hexano:
\dot{n}_{C6,\text{total}} = 400\cdot 0{,}50 + 200\cdot 0{,}30 = 200 + 60 = 260\\ \text{(lbmoles/h)}.
Distribuição nos produtos:
260 = D x_D + S x_S + B x_B.
Substituindo números:
260 = 150\cdot 0{,}96 + 0{,}70\,S + 0{,}04\,B.
Calcule 150\cdot 0{,}96:
150\cdot 0{,}96 = 144.
Substitua e use (1) para eliminar B = 450 - S:
260 = 144 + 0{,}70 S + 0{,}04(450 - S).
Resolva passo a passo:
260 = 144 + 0{,}70 S + 18 - 0{,}04 S,
260 = 162 + 0{,}66 S,
260 - 162 = 0{,}66 S,
98 = 0{,}66 S,
S = \frac{98}{0{,}66} \approx 148{,}4848\\ \text{(lbmoles/h)}.
Então
B = 450 - S \approx 450 - 148{,}4848 = 301{,}5152\\ \text{(lbmoles/h)}.
Conclusão deste passo (valores que obtivemos): \;S\approx 148{,}485\\ \text{lbmoles/h} e \;B\approx 301{,}515\\ \text{lbmoles/h}.

Passo 3

Cálculo do parâmetro q efetivo da alimentação combinada e explicação do que é q.
  • Definição (mini‑aula): q é a fração molar da alimentação que entra como líquido (ou, de outro modo, a fração de líquido no estado da alimentação). Tipos comuns:
    • alimentação saturada líquida: q=1,
    • alimentação saturada vapor: q=0,
    • alimentação líquida superaquecida: q>1,
    • alimentação vapor superaquecido: q<0.
No nosso caso temos duas correntes de alimentação: uma em vapor saturado ( q_1=0) e outra em líquido saturado ( q_2=1). Para efeitos do método McCabe–Thiele podemos definir um q médio ponderado pela vazão molar total:
q = \frac{\text{vazão de alimentação em forma líquida}}{\text{vazão total de alimentação}}.ãçãíãçã
Aqui a única parte líquida é F_2 = 200 (porque F_1 é vapor). Assim
q = \frac{200}{400+200} = \frac{200}{600} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333.
Observação didática: esse q é o valor que usamos para traçar a q‑linha no diagrama McCabe–Thiele. A q‑linha tem equação (reta) que passa por (x_F,x_F) com inclinação \dfrac{q}{q-1}. No nosso caso a inclinação será \dfrac{1/3}{1/3-1} = \dfrac{1/3}{-2/3} = -\tfrac{1}{2}. (Ou seja, a q‑linha tem declive -0{,}5.)

Passo 4

O que falta para aplicar o método McCabe–Thiele e a visão geral do procedimento (aulas práticas + fórmulas que você terá que usar na prova).
Importante: para montar o diagrama de McCabe–Thiele é indispensável conhecer a curva de equilíbrio vapor–líquido y = f(x) para o par n‑hexano / n‑heptano (na pressão de trabalho, aqui 1 atm). Essa curva pode ser obtida de duas formas típicas:
  • dados experimentais VLE (tabela ou curva y vs x), ou
  • assumindo volatilidade relativa constante \alpha, que dá a relação (modelo de atividade ideal e Raoult):
y = \frac{\alpha\, x}{1 + (\alpha - 1)\, x}.
Aqui \alpha é a volatilidade relativa do composto mais volátil (n‑hexano) em relação ao menos volátil (n‑heptano). Sem esse \alpha (ou sem a curva y=f(x)) não há como traçar a curva de equilíbrio e, portanto, não é possível obter numericamente nem R_\text{min} nem o número de pratos teóricos.
Resumo do procedimento que você deve executar na prova (passo a passo operacional):
  1. Traçar a curva de equilíbrio y=f(x) (com dados VLE ou usando a forma com \alpha).
  2. Marcar a reta identidade y=x.
  3. Plotar o ponto do destilado (x_D,y_D=x_D) e do fundo (x_B,y_B=x_B).
  4. Traçar a q‑linha passando por (x_F,x_F) com inclinação \dfrac{q}{q-1} (aqui já calculei q=1/3).
  5. Determinar R_\text{min}:
    • método gráfico: achar a reta que passa por (x_D,x_D) e é tangente à curva de equilíbrio; a inclinação m_\text{min} dessa reta relaciona‑se com R_\text{min} por m_\text{min} = \frac{R_\text{min}}{R_\text{min}+1} \quad\Rightarrow\quad R_\text{min}=\frac{m_\text{min}}{1-m_\text{min}}.
    • alternativa analítica: se você assume volatilidade relativa constante \alpha, dá para achar o ponto de tangência resolvendo as equações de igualdade e derivada (eu posso mostrar a equação para resolver quando você tiver \alpha).
    • alternativa com Underwood (mais geral / prática para multicomponentes): resolve uma equação para \theta e calcula R_\text{min} por fórmulas de Underwood (também precisa das \alpha_i).
  6. Calcular a razão de refluxo operacional:
R = 2\,R_\text{min}.
  1. Calcular fluxos de líquido e vapor na seção rectificante (acima do ponto de retirada lateral):
    • com condensador total, L = R\,D e V = L + D = (R+1)D.
    • abaixo do ponto de retirada lateral (se houver retirada de líquido S daquele ponto), o fluxo líquido que desce (no stripping) será L' = L - S enquanto o fluxo de vapor que sobe normalmente é V' = V (a retirada lateral líquida reduz o fluxo líquido para baixo).
    • a inclinação da reta de operação na seção stripping será m_\text{strip} = \dfrac{L'}{V'} = \dfrac{L - S}{V}; e a reta passa por (x_B,x_B).
  2. Montar no gráfico as retas de operação:
    • rectificante: y = \dfrac{R}{R+1}x + \dfrac{x_D}{R+1} (reta que passa por (x_D,x_D)).
    • stripping: reta passando por (x_B,x_B) com slope m_\text{strip} (ver item 7).
  3. Fazer o escalonamento (stairs) de McCabe–Thiele:
    • começar em x_D, saltar verticalmente até a curva de equilíbrio, então horizontalmente até a reta de operação, e assim por diante até atingir x_S (o ponto de retirada lateral); contar os degraus acima do ponto lateral para obter o número de pratos teóricos na seção rectificante (mais o prato onde ocorre a retirada se contar assim); em seguida trocar para a reta stripping e continuar o escalonamento até x_B para obter o número de pratos na seção de stripping.
  4. Alternativa de cálculo sem desenhar (quando se usa aproximações): pode-se usar Fenske para obter o número de pratos mínimo em refluxo total por seção e depois aplicar a correlação de Gilliland (ou a correlação de Eduljee) para estimar o número de pratos real para a razão de refluxo dada. Fórmulas úteis:
    • Fenske (para separação binária, refluxo total) entre uma fase com x_\text{top} e outra com x_\text{bottom}: N_{\min} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{x_\text{top}/(1-x_\text{top})}{x_\text{bottom}/(1-x_\text{bottom})}\right)}{\ln(\alpha)}.No caso de retirada lateral você aplica Fenske separadamente para a seção rectificante (entre x_D e x_S) e para a seção stripping (entre x_S e x_B), somando os estágios mínimos das duas seções.
    • Gilliland (correlação empírica) fornece a relação entre R/R_{\min}, N e N_{\min} para estimar o número de pratos real N a partir de N_{\min}. Usa‑se a variável adimensionalizada X = \frac{R - R_\min}{R + 1},\qquad Y = \frac{N - N_\min}{N + 1},e aplica uma curva empírica (tabela ou expressão aproximada) para achar Y e daí N. (Na prática em prova você pode usar a tabela ou uma expressão aproximada; se R=2R_\min então X é conhecido e você obtém Y e, finalmente, N.)

Passo 5

Fórmulas práticas e específicas que você usaria em prova — tudo pronto para aplicar assim que tiver a curva de equilíbrio ou \alpha.
  • Curva de equilíbrio (se assumir \alpha constante):
    y = \frac{\alpha\, x}{1 + (\alpha - 1)x}.
    Se tiver uma tabela VLE use a tabela para traçar pontos (x,y).
  • Tangência (método gráfico para R_\min):
    • traçar a reta que passa por (x_D,x_D) e é tangente à curva de equilíbrio. A inclinação dessa reta é m_\min = \frac{R_\min}{R_\min + 1} \quad\Longrightarrow\quad R_\min = \frac{m_\min}{1 - m_\min}.
  • Cálculo das retas de operação:
    • rectificante: y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1}.
    • stripping (com retirada lateral S em termos de D e R): L = R D,\quad V = (R+1)D,\quad L' = L - S.Logo a inclinação da reta de stripping é m_\text{strip} = \frac{L'}{V} = \frac{R D - S}{(R+1)D} = \frac{R - S/D}{R+1},e a reta passa por (x_B,x_B), portanto y = m_\text{strip}\,x + \bigl(x_B - m_\text{strip}\,x_B\bigr).
  • Estratégia de contagem de pratos:
    • No diagrama McCabe–Thiele você faz o escalonamento (stairs) a partir de (x_D,x_D) até x_S usando a reta rectificante; ao atingir x_S (nível onde a retirada lateral é feita) você troca para a reta de stripping e continua até x_B. Conta quantos degraus (estágios teóricos) existem em cada seção. Se for pedido número total de pratos teóricos normalmente soma‑se as duas seções e conta‑se o prato de alimentação conforme convenção adotada (verifique a convenção do seu exame / professor).

Passo 6

Por que eu não entrego aqui um número final de pratos teóricos (e o que exatamente você deve me fornecer ou consultar para que eu calcule passo a passo).
  • Falta crítica: não existe no enunciado a curva de equilíbrio VLE nem a volatilidade relativa \alpha do par n‑hexano/n‑heptano a 1 atm. Sem essa informação não dá para:
    • traçar a curva y=f(x),
    • determinar a reta tangente e assim obter R_\min,
    • nem montar corretamente as retas de operação nem fazer o escalonamento de McCabe–Thiele.
  • O que eu (ou você) precisa obter para concluir numericamente a questão:
    1. Tabela ou curva VLE y vs x do par n‑hexano/n‑heptano a 1 atm; ou
    2. Valor(es) da volatilidade relativa \alpha (se assumir \alpha constante) para a faixa de composições envolvidas. Com um valor razoável de \alpha dá para usar a fórmula analítica do equilíbrio e prosseguir.
  • Uma vez que você me der (ou localize) a curva VLE ou o valor de \alpha, eu:
    • calculo R_\min (gráfica ou analiticamente),
    • uso R = 2 R_\min,
    • calculo L, V, L' (com o S já calculado no Passo 2),
    • traço as retas de operação e faço o escalonamento McCabe–Thiele,
    • conto os pratos teóricos em cada seção e entrego o número total.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o número de pratos teóricos: falta a curva de equilíbrio VLE (ou o valor da volatilidade relativa \alpha) para o par n‑hexano/n‑heptano a 1 atm. Com a curva VLE (ou \alpha) eu aplico imediatamente o procedimento descrito e calculo o número de pratos.

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