Uma coluna de seção tubular com diâmetros externo de 350 mm e diâmetro interno de 300 mm e modulo de elasticidade de
está submetida a uma carga de 2000 kN . Determine a tensão que atua na coluna assim como seu encurtamento sabendo que a coluna tem uma altura inicial de 5 m .
Resp.:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
O que se pede:
- Determinar a tensão que atua na coluna (valor e sinal, lembrando compressão),
- Determinar o encurtamento (variação axial de comprimento) da coluna.
Passo 2
Conceito e fórmula da tensão normal média em uma barra submetida à força axial: a tensão média normal (ou tensão de engenharia) é a força axial dividida pela área da seção transversal. A fórmula é
onde:
-
é a tensão média (unidade , que é igual a MPa), -
é a força axial (unidade ), -
é a área da seção transversal (unidade ).
Observação sobre sinal: se a força é de compressão, adotamos
negativo (encurtamento).
Passo 3
Cálculo da área da seção transversal de uma coluna tubular (anel circular). A área é a diferença entre a área do círculo externo e a área do círculo interno:
Agora substituímos
e
:
Calculando os quadrados:
Portanto
Passo 4
Converter a carga para unidades compatíveis e calcular a tensão usando
.
Primeiro, .
Primeiro,
Agora aplicamos:
Fazendo a divisão:
Como a força é de compressão, escrevemos com sinal negativo:
(Observação:
é idêntico a
.)
Passo 5
Fórmula do encurtamento axial (deformação elástica linear). Podemos obter a fórmula a partir da relação entre deformação e tensão (lei de Hooke) e definição de deformação média:
- Deformação média (adimensional):
, onde é o encurtamento e o comprimento inicial. - Lei de Hooke (uniaxial, linear, regime elástico):
.
Combinando as duas equações:
Substituindo
obtemos a forma prática:
Aqui:
-
em se está em , em , em e em .
Passo 6
Aplicar a fórmula numérica para o encurtamento. Primeiro colocamos
. Já temos
,
e
.
Substituindo:
Calculemos passo a passo:
Logo
Arredondando de forma razoável:
(O sinal negativo indica encurtamento; aqui reportamos o valor absoluto e, se quisermos sinalizar, usamos
.)
Passo 7
Resultado final e interpretação rápida: a tensão média é compressiva de cerca de
, o encurtamento elástico esperado na coluna de
é aproximadamente
. Esses valores foram obtidos assumindo comportamento elástico linear e que a tensão é uniforme na seção (pressuposto válido para carregamento axial central).