Uma coluna de seção tubular com diâmetros externo de 350 mm e diâmetro interno de 300 mm e modulo de elasticidade de 200000 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2} está submetida a uma carga de 2000 kN . Determine a tensão que atua na coluna assim como seu encurtamento sabendo que a coluna tem uma altura inicial de 5 m .
Resp.: \sigma=-78,4 \mathrm{MPa} \quad \delta=1,95 \mathrm{~mm}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
D_{\text{ext}}=350\\ \text{mm},\qquad D_{\text{int}}=300\\ \text{mm},
E=200000\\ \mathrm{N/mm^{2}},\qquad P=2000\\ \mathrm{kN},\qquad L=5\\ \mathrm{m}.
O que se pede:
  • Determinar a tensão que atua na coluna (valor e sinal, lembrando compressão),
  • Determinar o encurtamento (variação axial de comprimento) da coluna.

Passo 2

Conceito e fórmula da tensão normal média em uma barra submetida à força axial: a tensão média normal (ou tensão de engenharia) é a força axial dividida pela área da seção transversal. A fórmula é
\sigma=\frac{P}{A},
onde:
  • \sigma é a tensão média (unidade \mathrm{N/mm^{2}}, que é igual a MPa),
  • P é a força axial (unidade \mathrm{N}),
  • A é a área da seção transversal (unidade \mathrm{mm^{2}}).
Observação sobre sinal: se a força é de compressão, adotamos \sigma negativo (encurtamento).

Passo 3

Cálculo da área da seção transversal de uma coluna tubular (anel circular). A área é a diferença entre a área do círculo externo e a área do círculo interno:
A=\frac{\pi}{4}\left(D_{\text{ext}}^{2}-D_{\text{int}}^{2}\right).
Agora substituímos D_{\text{ext}}=350\\ \text{mm} e D_{\text{int}}=300\\ \text{mm}:
A=\frac{\pi}{4}\left(350^{2}-300^{2}\right)\\ \mathrm{mm^{2}}.
Calculando os quadrados:
350^{2}=122500,\qquad 300^{2}=90000,
350^{2}-300^{2}=122500-90000=32500.
Portanto
A=\frac{\pi}{4}\cdot 32500=8125\pi\\ \mathrm{mm^{2}}\approx 25525{,}44\\ \mathrm{mm^{2}}.

Passo 4

Converter a carga para unidades compatíveis e calcular a tensão usando \sigma=P/A.
Primeiro, P=2000\\ \mathrm{kN}=2000\times 10^{3}\\ \mathrm{N}=2{,}000{,}000\\ \mathrm{N}.
Agora aplicamos:
\sigma=\frac{P}{A}=\frac{2{,}000{,}000\\ \mathrm{N}}{25525{,}44\\ \mathrm{mm^{2}}}\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Fazendo a divisão:
\sigma\approx 78{,}395\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Como a força é de compressão, escrevemos com sinal negativo:
\sigma\approx -78{,}4\\ \mathrm{MPa}.
(Observação: \mathrm{N/mm^{2}} é idêntico a \mathrm{MPa}.)

Passo 5

Fórmula do encurtamento axial (deformação elástica linear). Podemos obter a fórmula a partir da relação entre deformação e tensão (lei de Hooke) e definição de deformação média:
  • Deformação média (adimensional): \varepsilon=\dfrac{\delta}{L}, onde \delta é o encurtamento e L o comprimento inicial.
  • Lei de Hooke (uniaxial, linear, regime elástico): \sigma=E\varepsilon.
Combinando as duas equações:
\varepsilon=\frac{\sigma}{E}\quad\Rightarrow\quad \frac{\delta}{L}=\frac{\sigma}{E}\quad\Rightarrow\quad \delta=\frac{\sigma L}{E}.
Substituindo \sigma=P/A obtemos a forma prática:
\delta=\frac{P\,L}{A\,E}.
Aqui:
  • \delta em \mathrm{mm} se P está em \mathrm{N}, L em \mathrm{mm}, A em \mathrm{mm^{2}} e E em \mathrm{N/mm^{2}}.

Passo 6

Aplicar a fórmula numérica para o encurtamento. Primeiro colocamos L=5\\ \mathrm{m}=5000\\ \mathrm{mm}. Já temos P=2{,}000{,}000\\ \mathrm{N}, A\approx 25525{,}44\\ \mathrm{mm^{2}} e E=200000\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Substituindo:
\delta=\frac{2{,}000{,}000\cdot 5000}{25525{,}44\cdot 200000}\\ \mathrm{mm}.
Calculemos passo a passo:
\text{numerador}=2{,}000{,}000\times 5000=10{,}000{,}000{,}000,
\text{denominador}=25525{,}44\times 200000=5{,}105{,}088{,}000.
Logo
\delta=\frac{10{,}000{,}000{,}000}{5{,}105{,}088{,}000}\\ \mathrm{mm}\approx 1{,}958\\ \mathrm{mm}.
Arredondando de forma razoável:
\delta\approx 1{,}95\\ \mathrm{mm}.
(O sinal negativo indica encurtamento; aqui reportamos o valor absoluto e, se quisermos sinalizar, usamos \delta=-1{,}95\\ \mathrm{mm}.)

Passo 7

Resultado final e interpretação rápida: a tensão média é compressiva de cerca de -78{,}4\\ \mathrm{MPa}, o encurtamento elástico esperado na coluna de 5\\ \mathrm{m} é aproximadamente 1{,}95\\ \mathrm{mm}. Esses valores foram obtidos assumindo comportamento elástico linear e que a tensão é uniforme na seção (pressuposto válido para carregamento axial central).

Resposta

\sigma=-78{,}4\\ \mathrm{MPa}
\delta=1{,}95\\ \mathrm{mm}

Exercícios relacionados