Uma viga de seção retangular ( 12 mmx 60 mm ) é submetida a uma força axial de 60000 N . Se o material tem uma tensão de escoamento de 150 \mathrm{~N} / \mathrm{mm} 2, determine a tensão cisalhante máxima que pode ser aplicada na seção utilizando o critério de Tresca.

Passo 1

O enunciado dá uma viga de seção retangular com dimensões 12\\ \mathrm{mm}\times60\\ \mathrm{mm} e uma força axial de 60000\\ \mathrm{N}. O material tem tensão de escoamento (uniaxial) \,150\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.
A pergunta: determinar a máxima tensão cisalhante que pode ser aplicada na seção usando o critério de Tresca.
Informações relevantes listadas:
  • Dimensões da seção: 12\\ \mathrm{mm} por 60\\ \mathrm{mm}.
  • Força axial: F=60000\\ \mathrm{N}.
  • Tensão de escoamento uniaxial: \sigma_{y}=150\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.
  • Queremos a máxima tensão de cisalhamento \tau admissível na presença da tensão normal axial, segundo Tresca.

Passo 2

Calcular a área da seção e a tensão normal axial média. A área da seção transversal é produto das dimensões:
A = 12\\ \mathrm{mm}\times60\\ \mathrm{mm}=720\\ \mathrm{mm}^{2}.
A tensão normal média (tensão axial) é dada por
\sigma = \frac{F}{A},
onde \sigma é a tensão normal (positiva para tração), F é a força axial e A a área. Substituindo,
\sigma=\frac{60000}{720}=83{,}333\ldots\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.

Passo 3

Explicar o critério de Tresca e como aplicá‑lo aqui. O critério de Tresca diz que a cedência ocorre quando a máxima diferença entre tensões principais atinge a tensão de escoamento uniaxial \sigma_{y}. Em fórmulas:
\max\{|\sigma_{1}-\sigma_{2}|,|\sigma_{2}-\sigma_{3}|,|\sigma_{3}-\sigma_{1}|\}=\sigma_{y},
onde \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3} são as tensões principais. No nosso caso assumimos um estado de tensão plano com \sigma_{x}=\sigma (tensão axial calculada), \sigma_{y}=0 e tensão de cisalhamento de superfície \tau_{xy}=\tau (a que queremos achar). As tensões principais para um estado plano são
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau^{2}}.
Como \sigma_{y}=0, isso simplifica para
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^{2}+\tau^{2}}.
A diferença máxima entre as duas tensões principais é
|\sigma_{1}-\sigma_{2}|=2\sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^{2}+\tau^{2}}.
Pelo critério de Tresca, essa diferença máxima deve ser igual a \sigma_{y} no limite de escoamento:
2\sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^{2}+\tau^{2}}=\sigma_{y}.

Passo 4

Resolver a equação do Passo 3 em função de \tau. Dividindo por 2:
\sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^{2}+\tau^{2}}=\frac{\sigma_{y}}{2}.
Elevando ambos os lados ao quadrado:
\left(\frac{\sigma}{2}\right)^{2}+\tau^{2}=\left(\frac{\sigma_{y}}{2}\right)^{2}.
Isolando \tau:
\tau=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{y}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sigma}{2}\right)^{2}}.
Aqui \sigma é a tensão axial calculada no Passo 2 e \sigma_{y} é a tensão de escoamento do material.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular \tau. Temos \sigma=83{,}333\ldots\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2} e \sigma_{y}=150\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}. Calcule as metades:
\frac{\sigma}{2}=41{,}666\ldots\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2},\qquad \frac{\sigma_{y}}{2}=75\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.
Agora os quadrados e a diferença:
\left(\frac{\sigma_{y}}{2}\right)^{2}=75^{2}=5625,
\left(\frac{\sigma}{2}\right)^{2}=(41{,}666\ldots)^{2}=1736{,}111\ldots
\left(\frac{\sigma_{y}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sigma}{2}\right)^{2}=5625-1736{,}111\ldots=3888{,}888\ldots
Finalmente,
\tau=\sqrt{3888{,}888\ldots}=62{,}3538\ldots\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais), obtemos \tau\approx62{,}35\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}. Observação: \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2} é equivalente a \mathrm{MPa}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência: para \sigma=0 a fórmula dá \tau=\sigma_{y}/2=75\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}, que é o caso de cisalhamento puro — coerente com Tresca. Com \sigma=83{,}33 o valor permitido diminui para cerca de 62{,}35\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}, o que faz sentido físico: presença de tensão normal reduz a capacidade de suportar cisalhamento antes do escoamento.

Resposta

62{,}35\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}

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